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课时跟踪检测(六) 三角函数的图象与性质


课时跟踪检测(六) 三角函数的图象与性质

(限时 50 分钟) π ? 3 ?π 3π? 1.(2014· 辽宁五校联考)已知 cos? ?2+α?=5且 α∈?2, 2 ?,则 tan α= 4 A. 3 3 C.- 4 3 B. 4 3 D.± 4

π π π 2.(2014· 山西四校联考)已知函数 f(x)=cos2 x+ 3sin xcos x-2,则函数 f(x)在[-1,1] 2 2 2 上的单调递增区间为 2 1? A.? ?-3,3? 1 ? C.? ?3,1? 1? B.? ?-1,2? 3 2? D.? ?-4,3? )

x 3.(2014· 西安一模)函数 y=sin 的图象的一条对称轴的方程是( 2 A.x=0 C.x=π π B.x= 2 D.x=2π

4.三角形 ABC 是锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A-cos B,cos A-sin C),则 sin θ cos θ tan θ + + 的值是( |sin θ| |cos θ| |tan θ| ) B.-1 D.4

A.1 C.3

π 5. (2014· 忻州联考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|<2? ?在一个周期内的 图象如图所示.若方程 f(x)=m 在区间[0,π]上有两个不同的实数解 x1,x2,则 x1+x2 的值为 ( )

π A. 3 4π C. 3

2π B. 3 π 4π D. 或 3 3

π 3π? 6.(2014· 云南师范大学附属中学月考)已知 α∈? ?12, 8 ?,点 A 在角 α 的终边上,且|OA| =4cos α,则点 A 的纵坐标 y 的取值范围是________. 3π ? 7. 函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π, 且函数图象关于点? ?- 8 ,0?对 称,则函数的解析式为____________. 8.(2014· 北京高考)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在 π π? ?π? ?2π? ?π? 区间? ?6,2?上具有单调性,且 f?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期为________. π? 9.(2014· 合肥一模)已知函数 f(x)=2sin? ?2ωx-4? (ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数 f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为________. π π 10.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,- <φ< ,x∈R 的部分图 2 2 象如图所示. (1)求函数 y=f(x)的解析式; π -π,- ?时,求 f(x)的取值范围. (2)当 x∈? 6? ?

11.(2014· 湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足 π π 函数关系:f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?

12. (2014· 菏泽一模)已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+2 3sin2ωx- 3(ω>0)的最小正周期 为 π. (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到函数 y=g(x)的图象, 6 若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

答案 π 3 3 4 ? 1.选 B 因为 cos? ?2+α?=5,所以 sin α=-5,显然 α 在第三象限,所以 cos α=-5, 3 故 tan α= . 4 1+cos πx π π π 3 3 1 2.选 A f(x)=cos2 x+ 3sin xcos x-2= + sin πx-2= sin πx+ cos πx 2 2 2 2 2 2 2 π? 3 3 π π π ? 2 1? - =sin? ?πx+6?-2,令-2≤πx+6≤2,解得 x ∈?-3,3?. 2 3.选 C 轴的方程. 4.选 B 因为三角形 ABC 是锐角三角形,所以 A+B>90° ,即 A>90° -B,则 sin A> sin θ sin(90° -B)=cos B,sin A-cos B>0,同理 cos A-sin C<0,所以点 P 在第四象限, + |sin θ| cos θ tan θ + =-1+1-1=-1. |cos θ| |tan θ| 5.选 D 要使方程 f(x)=m 在区间[0,π]上有两个不同的实数解,只需函数 y=f(x)与函 π 数 y=m 的图象在区间[0,π]上有两个不同的交点,由图象知,两个交点关于直线 x= 或关 6 2π π π 2π 4π 于 x= 对称,因此 x1+x2=2× = 或 x1+x2=2× = . 3 6 3 3 3 π 3π? 6.解析:由题意,点 A 的纵坐标 y=4cos αsin α=2sin 2α,因为 α∈? ?12, 8 ?,所以 2α π 3π? ?1 ? ∈? ?6, 4 ?,所以 sin 2α∈?2,1?, 所以 y=2sin 2α∈[1,2]. 答案:[1,2] 2π 7.解析:由题意知最小正周期 T=π= , ω 3π - ?+φ=kπ(k∈Z), ∴ω=2,2×? ? 8? 3π ∴φ=kπ+ (k∈Z). 4 3π 3π 2x+ ?. 又 0<φ<π,∴φ= ,∴y=sin? 4? ? 4 3π 2x+ ? 答案:y=sin? 4? ? π π? π 2π π 2π , 上具有单调性,且 f? ?=f? ?,∴x= 和 x= 均不是 f(x) 8.解析:∵f(x)在区间? ?6 2? ?2? ? 3 ? 2 3 x π x 由 = +kπ,得 x=π+2kπ(k∈Z).故 x=π 是函数 y=sin 的图象的一条对称 2 2 2

π 2π + 2 3 7π 的极值点,其极值应该在 x= = 处取得, 2 12 π? ?π? ∵f? ?2?=-f?6?, π π? π ∴x= 也不是函数 f(x)的极值点,又 f(x)在区间? ?6,2?上具有单调性, 6 7π π? π π - = 为 f(x) 的另一个相邻的极值点,故函数 f(x) 的最小正周期 T = ∴ x= - ? 6 ?12 2? 12 7π π ? 2×? ?12-12?=π. 答案:π 9.解析:由最小正周期 T= 2π π π π = ,f(x)的最大值为 2,得 =2,即 ω= ,即 f(x)= 2ω ω ω 2

π π π π 1 3 πx- ?, 2sin? 所以当 2 k π - ≤ π x - ≤ 2 k π + , 即 2 k - ≤ x ≤ 2 k + (k∈Z)时单调递增, 故 f(x) 4 ? ? 2 4 2 4 4 1 3 - , ?. 在[-1,1]上的单调递增区间为? ? 4 4? 1 3 - , ? 答案:? ? 4 4? π ? T 2π π π 10.解:(1)由图象得 A=1, = - = ,所以 T=2π,则 ω=1.将? ?6,1?代入得 1= 4 3 6 2 π π π π ? ? π? sin? ?6+φ?,而-2<φ<2,所以 φ=3.因此函数 f(x)=sin?x+3?. π? 2π π π ? π? 1 (2)由于 x∈? ?-π,-6?,- 3 ≤x+3≤6,所以-1≤sin?x+3?≤2, 1? 所以 f(x)的取值范围是? ?-1,2?. 11.解:(1)因为 f(t) =10-2? 3 π 1 π ? cos t+ sin t ? 2 12 2 12 ?

π π t+ ?, =10-2sin? ?12 3? 又 0≤t<24, π π π 7π 所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3 π π t+ ?≤1. -1≤sin? ?12 3? π π t+ ?=1; 当 t=2 时,sin? ?12 3? π π t+ ?=-1. 当 t=14 时,sin? ?12 3?

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π π? 由(1)得 f(t)=10-2sin? ?12t+3?, π π? 故有 10-2sin? ?12t+3?>11, π π? 1 即 sin? ?12t+3?<-2. 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < ,即 10<t<18. 6 12 3 6 在 10 时至 18 时实验室需要降温. 12.解:(1)由题意得 f(x)=2sin ωxcos ωx+2 3sin2ωx- 3=sin 2ωx- 3cos 2ωx= π? π? ? 2sin? ?2ωx-3?,由最小正周期为 π,得 ω=1,所以 f(x)=2sin?2x-3?,函数的单调增区间为 π π π 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 整理得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12 所以函数 f(x)的单调增区间是

?kπ- π ,kπ+5π?,k∈Z. 12 12? ?
π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y=2sin 2x+1 的图 6 象,所以 g(x)=2sin 7π 11π 2x+1.令 g(x)=0,得 x=kπ+ 或 x=kπ+ (k∈Z),所以在[0,π]上 12 12

恰好有两个零点, 若 y=g(x)在[0, b]上有 10 个零点, 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可 , 11π 59π 即 b 的最小值为 4π+ = . 12 12


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