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2007广东高考文科数学试题及答案


2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时l20分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡 相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试 卷上。 3.非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息 点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P(B) .

用最小二乘法求线性同归方程系数公式

一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={x| 1 ? x ? 0 },N={x| A.{x|-1≤x<0} C.{x|-1<x<0}

1 ? 0 },则M∩N= 1? x

B.{x |x>1} D.{x |x≥-1}

2.若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数),则 b ? A.-2 B. ?

1 2

C.

D.2

3 3.若函数 f ( x) ? x ( x ? R ),则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是

A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数 4.若向量 a 、 b 满足| a |=| b |=1, a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a? a + a ?b ? A.

1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D.2

5.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以 80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是

6若l、m、n是互不相同的空间直线,n、口是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? n, m ? n ,则 l // m B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

7.图l是某县参加2007年高考的 学生身高条形统计图,从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为A 1 、 A2 、…、 Am (如 A2 表示身高(单位: cm )在[150, 155)内的学生人数).图2是统计 图l中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图.现要统计 身高在160~180 cm (含 160 cm ,不含180 cm )的学生人 数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A. i ? 9 B. i ? 8 C. i ? 7 D. i ? 6

8.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字 外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是

A.

3 10

B.

1 5

C.

9.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 小正周期 T 和初相 ? 分别为 A. T ? 6, ? ?

?
3

1 10

D.

x ? ? )( ? ?

?
2

1 12

) 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最

?
6

B. T ? 6, ? ?

?
3

C. T ? 6? , ? ?

?
6

D. T ? 6? , ? ?

?
3

10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在 相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次( n 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n )为 A.18 B.17 C.16 D.15 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 11.在平面直角坐标系 xoy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O ,且过点P(2,4), 则该抛物线的方程是 . . ;若它的第 k 项满足

12.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 13.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ?

5 ? ak ? 8 ,则 k ?



14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,则点 (2, 直线 l 的距离为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上 一点, BC ? 3 过 C 作圆的切线 l ,过A作 l 的垂线AD,垂足为D, 则 ∠DAC= .

?
6

)到

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分14分) 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (1)若 AB?AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求sin∠A的值.

17.(本小题满分12分) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视 图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图 (或称左视图) 是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S

18.(本小题满分12分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

x
y

3 2.5

4

5
4

6
4.5

3

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归 方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 )

19.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为2/2的圆 C 与直线 y ? x 相切

于坐标原点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF 的 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ?1 , ? 、 ? 是方程 f ( x ) ? 0 的两个根( ? ? ? ), f ? ( x) 是的 导数 设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ? 、 ? 的值; (2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 前 n 项和 Sn .

f (an ) , (n ? 1, 2,?) . f ?(an )

an ? ? , (n ? 1, 2,?) .求数列{ bn }的 an ? ?

21.(本小题满分l4分)
2 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有

零点,求 a 的取值范围.

2007 年普通高考广东(文科数学)试卷(A 卷)参考答案
一选择题: 1-10 CDBBC 二填空题: 11. 三解答题: 16.解: (1) DBAAC 12.

y 2 ? 8x

?1 ? , ?? ? ? ?e ?

13.

2n-10

; 8

14.

2

15.

30?

??? ? AB ? (?3, ?4)


? ? ?? A C? ( c? 3 , ? 4 )

? ? ?? ? ? ?? 25 AB ? AC ?? 3( c ? 3 ) ? 1 6? 2 5 ? c 3? 得 0 c? 3 ??? ? ??? ? (2) AB ? (?3, ?4) AC ? (2, ?4) ??? ? ???? AB?AC ?6 ? 16 1 cos ?A ? ??? ? ? ???? ? 5 20 5 AB ? AC
sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ? 2 5 5

17 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥 V-ABCD ; (1)

1 V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
2

2

AB 边上的高为 因此

?6? h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2?
2

2

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

18 解: (1) 散点图略 (2)

? X Y ? 66.5
i ?1 i i

4

?X
i ?1

4

2 i

? 3 2 ?4 2 ?5 2 ?6 2 ?8 6 X ? 4 . 5

Y ? 3.5

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ; b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81
所求的回归方程为 (3)

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX a

y?0.7 x? 0.35

x ? 100 ,

y ? 100 ? 0.35

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨)

19 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n) 则 ?

? ?

m ? ?n

? ? n? 2 ? 2 2

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8
a?5

2a ? 1 0

x2 y 2 ? ? 1 , 右焦点为 F( 4, 0) ; 25 9

假设存在 Q 点 ?2 ? 2 2 cos ? , 2 ? 2 2 sin ? 使 QF ? OF ,

?

?

? ?2 ? 2
整理得

2 cos ? ? 4 ? 2 ? 2 2 sin ?

? ?
2

?

2

?4
2 2

sin ? ? 3cos? ? 2 2
,

代入 sin ? ? cos ? ? 1

得:

10cos2 ? ? 12 2 cos ? ? 7 ? 0
因此不存在符合题意的 Q 点. 20 解:(1) 由 x ? x ? 1 ? 0
2

cos ? ?

?12 2 ? 8 ?12 2 ? 2 2 ? ? ?1 10 10

得x?

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 2

?? ?

?1 ? 5 2

??

(2)

f ? ? x ? ? 2x ? 1

2 2 an ? an ? 1 an ?1 an?1 ? an ? ? 2an ? 1 2an ? 1

an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? an 2 ? 1 ? 5 an ? an ?1 ? ? 2an ? 1 2 2 ? ? an ?1 ? ? an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? an 2 ? 1 ? 5 an ? 2an ? 1 2 2

? ?

? ?

? 1? 5 ? ? an ? ? ? a ? ? ?2 2 ? ?? n ?? ? 1 ? 5 ? ? an ? ? ? ? ? an ? ? ? 2 ?

2

? bn?1 ? 2bn



b1 ? l n

a1 ? ? 3? 5 ? ln ? a1 ? ? 3? 5

1 ? 5 4 ln 2

? 数列 ?bn ? 是一个首项为 4 ln

1? 5 ,公比为 2 的等比数列; 2

?

Sn ?

4 ln

1? 5 1 ? 2n ? ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln 1? 2 2
a?0

21 解: 若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在上没有零点, 所以 令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0



a?

?3 ? 7 2

当 a? 当

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ??1,1? 上;


f ? ?1??f ?1? ? ? a ?1?? a ? 5? ? 0
个零点在 ??1,1? 上;

1? a ? 5

时 , y ? f ? x ? 也恰有一



y ? f? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点时, 则
a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 2 4 a? 4 ? ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a ?

0

a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 或? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 5 2
a ?1 或

因此 a 的取值范围是

a?

?3 ? 5 ; 2


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