伤城文章网 > 数学 > 立体几何教案 (专题复习,家教)

立体几何教案 (专题复习,家教)


个性化辅导教案

学科:数学

任课教师:杨老师

授课时间:2013 年 03 月 17 日(星期日)

10:00—12:00

姓名 阶段

林婉盈

年级:高二

教学课题

空间立体几何专题复习(文科)
第(1)次课,共()次课

基础( ) 提高(√)

强化( ) 课时计划

教学 重点: 目标

知识点:直线和平面的三种位置关系 综合能力:知识迁移能力、逻辑推理、类比思想、理解和记忆、灵活运用所学知识解决问题

教 学 教法:启发式教学、合作探索、讲练结合法 方法 辅助教具:演算纸、笔 课前 检查 作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 一、知识点总结 知识点一:直线和平面的三种位置关系
1. 线面平行
l α

符号表示:
α
l A

β

l

2. 线面相交

α

符号表示: 3. 线在面内
l

n

l

α

α

符号表示:

知识点二:平行关系
1. 线面平行
l α

符号表示:
α
l A

β

l

2. 线面相交

α

符号表示: 3. 线在面内
α

n

l

1

个性化辅导教案

α

l

符号表示:

一.平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
l ?
α β l' m' m l

?

m

? ? l? ? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

l // ?

l

方法二:用面面平行实现。
l β γ α

β α

m

? // ?
m

? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。 方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、 不重合, l // m 。 m 则 2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。
? ? m ? ? ? ? l // ? l ? ? ? ? l // m

l α A C B

方法二:用面面平行实现。
? // ? ?
? ? l // ? l ? ??

方法三:用平面法向量实现。 若 n 为平面 ? 的一个法向量, n ? l 且 l ? ? ,则 l // ? 。 3. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。
2

个性化辅导教案

? ? m // m ' ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交 ? l ' , m ' ? ? 且相交 ? ? l // l '

方法二:用线面平行实现。
l // ? ? ? m // ? ? ? ? // ? ? l , m ? ? 且相交 ?

知识点三、垂直关系
1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。
l ? AC ? ? l ? AB ? ?? l ?? AC ? AB ? A ? AC , AB ? ? ? ?

方法二:用面面垂直实现。

β

? ? ?

l m

? ? ? ? ? ? m ?? l ? ? l ? m,l ? ? ? ?

α
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。
C
β l

l ? ? ? ?? ? ? ? l ? ??

θ A B

α

方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
l m α

l ? ? ? ?? l ? m m ? ??

方法二:三垂线定理及其逆定理。

3

个性化辅导教案

P A O l

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA ? l ? ? ?

α

方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。

知识点四:夹角问题
(一) 异面直线所成的角: (1) 范围: ( 0 ? , 90 ? ] (2)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理:
a
cos ? ? a
2

n α A θ

P O

?b ?c
2

2

c b

θ

2 ab

(计算结果可能是其补角) 方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):
cos ? ? AB ? AC AB ? AC

(二) 线面角
? (1)定义: 直线 l 上任取一点 P 交点除外)作 PO ? ? 于 O,连结 AO, AO 为斜线 PA 在面 ? 内的射影, P A O (图 ( , 则

中 ? )为直线 l 与面 ? 所成的角。
P A θ

α

O

(2)范围: [ 0 ? , 90 ? ] 当 ? ? 0 ? 时, l ? ? 或 l // ?
4

个性化辅导教案

当 ? ? 90 ? 时, l ? ? (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角 ? — l— ? 的平面角。
? ? ? m P n l

(2)范围: [ 0 ? ,180 ? ] (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1:如图,若平面 POA 同时垂直于平面 ? 和 ? ,则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。
β P θ α O A

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

n1 θ

n2

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n 2 步骤一:计算 c o s ? n1 ? n 2 ? ? ?? ?? ? n1 ? n 2

步骤二:判断 ? 与 ? n1 ? n 2 ? 的关系,可能相等或者互补。
5

?? ?? ?

个性化辅导教案

知识点五:距离问题
二.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。
P

? A

O

步骤 1:过点 P 作 PO ? ? 于 O,线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。
m

?

n

如图,m 和 n 为两条异面直线,n ? ? 且 m // ? ,则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面 ? 之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。
B c a A m

d n ? b D m'

C

如图,AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段, m // m ' ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:
d ? c ? a ? b ? 2 ab cos ?
2 2 2

二、例题讲解
考点 1 点到平面的距离 例 1 如图,正三棱柱 A B C
? A1 B1 C 1 的所有棱长都为 2

, D 为 C C 1 中点.
A1 D ? B

(Ⅰ)求证: A B1 ⊥ 平面 A1 B D ;(Ⅱ)求二面角 A ? (Ⅲ)求点 C 到平面 A1 B D 的距离. 解答过程(Ⅰ)取 B C 中点 O ,连结 A O .

的大小;

6

个性化辅导教案
?△ A B C

为正三角形,? A O ⊥ B C . A F C O 平面 A1 B D .
A1 D

? 正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,平面 A B C ⊥ 平面 B C C 1 B1 ,
? AO ⊥

A1

平面 B C C 1 B1 .连结 B1 O ,在正方形 B B1C 1C 中,O , D 分 ,
? A B1 ⊥ B D

别为
C1

B C, C C1

的中

点,

? B1 O ⊥ B D


? A B1 ⊥

D
B1

在正方形 A B B1 A1 中, A B1 ⊥

A1 B



B

(Ⅱ)设 A B 1 与 A1 B 交于点 G ,在平面 A1 B D 中,作 G F ⊥ (Ⅰ)得 A B1 ⊥ 平面 A1 B D .
? A F ⊥ A1 D

于 F ,连结 A F ,由
A1 D ? B



?∠ AFG

为二面角 A ?

的平面角.

在 △ A A1 D 中,由等面积法可求得 A F 又?
AG ? 1 2 A B1 ? 2

?

4 5 5


2 4 5 5 ? 10 4



? s in ∠ A F G ?

AG AF

?



所以二面角 A ?

A1 D ? B

的大小为 a rc s in
? A1 D ?

10 4


2, S △ A B D ? ?
1

(Ⅲ) △ A1 B D 中, B D

5, A1 B ? 2

6

, S △ BCD

?1



在正三棱柱中, A1 到平面 B C C 1 B1 的距离为 设点 C 到平面 A1 B D 的距离为 d . 由V A ? BCD
1

3



? V C ? A B D ,得
1

1 3

S △ BCD ? 3 ?

1 3

S △ A B D ?d
1



?d ?

3 S △ BCD S △ A BD
1

?

2 2



? 点 C 到平面 A1 B D 的距离为 2 .
2

考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E 、 D 分别为
BC 、 AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离.

解答过程: 如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,
? EF 为 ? BCD 的中位线, EF ∥ CD ,? CD ∥面 SEF ,? CD ?

到平面 化为线

SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又? 线面之间的距离可转 CD 上一点 C 到平面 SEF

的距离,设其为 h,由题意知, BC ? 4 2 ,D、E、F 分别是 AB、 的中点,
7

BC、BD

个性化辅导教案

? CD ? 2

6 , EF ?

1 2

CD ?

6 , DF ?

2 , SC ? 2

? V S ? CEF ?

1 3

?

1 2

? EF ? DF ? SC ?

1 3

?

1 2

?

6 ?

2 ?2 ?

2 3 3

在 Rt ? SCE 中, SE ? 在 Rt ? SCF 中, SF ? 又 ? EF ?

SC SC

2

? CE ? CF

2

? 2 3 ? 4 ? 24 ? 2 ?
1 3

2

2

30
1 3 2 3 3 2 3 3

6 , ? S ? SEF ? 3

由于 V C ? SEF ? V S ? CEF ?

? S ? SEF ? h ,即

?3?h ?

,解得 h ?



CD 与 SE 间的距离为

2 3 3

.

考点 3 直线到平面的距离 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC 1 中,G 是 AA 1 的中点,求 BD 到平面 GB 1 D 1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程:解析一? BD ∥平面 GB 1 D 1 ,
? BD 上任意一点到平面 GB 1 D 1 的距离皆为所求,以下求

D1 O1

C1 B1

A1

H G D C O A B

点 O 平面 GB 1 D 1 的距离,
? B 1 D 1 ? A1 C 1 , B 1 D 1 ? A1 A ,? B 1 D 1 ? 平面 A 1 ACC
1

,

又? B 1 D 1 ? 平面 GB 1 D 1

? 平面 A1 ACC

1

? GB 1 D 1 ,两个平面的交线是 O 1 G ,

作 OH ? O 1 G 于 H,则有 OH ? 平面 GB 1 D 1 ,即 OH 是 O 点到平面 GB 1 D 1 的距离. 在 ? O 1 OG 中, S ? O OG ?
1

1 2

? O 1 O ? AO ?

1 2

?2?

2 ?

2.

又 S ? O OG ?
1

1 2

? OH ? O 1 G ?

1 2

?

3 ? OH ?

2 ,? OH ?

2 6 3

.

即 BD 到平面 GB 1 D 1 的距离等于 解析二 ? BD ∥平面 GB 1 D 1 ,

2 6 3

.

? BD 上任意一点到平面 GB 1 D 1 的距离皆为所求,以下求点 B 平面 GB 1 D 1 的距离.

设点 B 到平面 GB 1 D 1 的距离为 h,将它视为三棱锥 B ? GB 1 D 1 的高,则

8

个性化辅导教案

V B ? GB 1 D 1 ? V D 1 ? GBB 1 ,由于 S ? GB 1 D 1 ?

1 2

?2

2?

3 ?

6,

V D 1 ? GBB 1 ?

1 3

?

1 2

?2?2?2 ?

4 3

,

?h ?

4 6

?

2 6 3

,

即 BD 到平面 GB 1 D 1 的距离等于

2 6 3

.

小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准 恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图,在 R t △ A O B 中, ? O A B
? π 6

,斜边 A B ? 4 . R t △ A O C 可以通过 R t △ A O B 以直线 A O 为轴旋转得到,

且二面角 B ? A O ? C 的直二面角. D 是 A B 的中点. (I)求证:平面 C O D ? 平面 A O B ; (II)求异面直线 A O 与 C D 所成角的大小. 解答过程:(I)由题意, C O ? A O , B O ? A O ,
? ? B O C 是二面角 B ? A O ? C 是直二面角, ? C O ? B O ,又? A O ? B O ? O ,? C O ? 平面 A O B ,
E A

D

又 C O ? 平面 C O D .? 平面 C O D ? 平面 A O B . (II)作 D E ? O B ,垂足为 E ,连结 C E (如图),则 D E ∥ A O ,
? ?CDE

z

O

B

A C

是异面直线 A O 与 C D 所成的角.
? BO ? 2

D
CO ? OE
2 2

在 R t △ C O E 中, C O 又DE
? 1 2 AO ? 3

,OE

?

1 2

B O ? 1 ,? C E ?

?

5



.? 在 R t △ C D E 中, ta n C D E

?

CE DE

?

5 3

?

15 3


O
B y

? 异面直线 A O 与 C D 所成角的大小为 a rc ta n 1 5 .
3

x

C

小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直线上选 择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成熟 悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求 异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围: ? 0 , ? ? . ?
? 2? ?

考点 5 直线和平面所成的角 例 5. 四棱锥 S 知∠ A B C
? 45
?

? ABCD

中, 底面 A B C D 为平行四边形, 侧面 S B C
? 2 2

?

S

底面 A B C D . 已

, AB ? 2 , BC

, SA

? SB ?

3


C B A D

9

个性化辅导教案

(Ⅰ)证明 S A

? BC

;(Ⅱ)求直线 S D 与平面 S A B 所成角的大小.
BC

解答过程:(Ⅰ)作 S O ⊥

,垂足为 O ,连结 A O ,由侧面 S B C ⊥ 底面 A B C D ,得 S O ⊥ 底面 A B C D . S

因为 S A ? S B ,所以 A O ? B O , 又 ∠ A B C ? 45? , 故 △ AO B 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,
A O ⊥ B O ,由三垂线定理,得 S A ⊥ B C .

C D
2 ,
2

O

B A

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 S A ⊥ B C ,依题设 A D ∥ B C , 故 S A ⊥ A D , A D ? B C ? 2 2 ,S A ? 由 得 SO ? 1 , SD ?
11 .
3 ,A O ?

△ S A B 的面积 S
1 2

1

?

1

?1 ? 2 AB ? SA ? ? AB ? 2 ?2 ?
?

?

2



连结 D B ,得 △ D A B 的面积 S 2 ?

A B ?A D sin 1 3 5 ? 2
? 1 3 S O ?S 2

设 D 到平面 S A B 的距离为 h ,由于 V D ? S A B ? V S ? A B D ,得 1 h ?S 1
3

,解得 h

?

2



设 S D 与平面 S A B 所成角为 ? ,则 s in ?

?

h SD

?
22 11

2 11

?

22 11



所以,直线 S D 与平面 S B C 所成的我为 a rc s in



小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜 交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算— —常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角 例 6.如图,已知直二面角 ? ? P Q ? ? , A ? P Q , B ? ? , C ? ? , C A ? C B ,
?
? B A P ? 4 5 ,直线 C A 和平面 ? 所成的角为 3 0 .(I)证明 B C ⊥ P Q
? ?

C A Q

P (II)求二面角 B ? A C ? P 的大小. 过程指引:(I)在平面 ? 内过点 C 作 C O ⊥ P Q 于点 O ,连结 O B . 因为 ? ⊥ ? , ? ? ? ? P Q ,所以 C O ⊥ ? , 又因为 C A ? C B ,所以 O A ? O B .
? ? ? 而 ? B A O ? 4 5 ,所以 ? A B O ? 4 5 , ? A O B ? 9 0 ,

B
?
?

C

H A O Q

P
?

B

从而 B O ⊥ P Q ,又 C O ⊥ P Q , 所以 P Q ⊥ 平面 O B C .因为 B C ? 平面 O B C ,故 P Q ⊥ B C .

10

个性化辅导教案

(II)由(I)知, B O ⊥ P Q ,又 ? ⊥ ? , ? ? ? ? P Q ,
B O ? ? ,所以 B O ⊥ ? .过点 O 作 O H ⊥ A C 于点 H ,连结 B H ,由三垂线定理知, B H ⊥ A C .故 ? B H O

是二面角 B ? A C ? P 的平面角. 由(I)知, C O ⊥ ? ,所以 ? C A O 是 C A 和平面 ? 所成的角,则 ? C A O ? 3 0 ? ,
3 2

不妨设 A C ? 2 ,则 A O ?

3 , O H ? A O s in 3 0 ?

?



在 R t△ O A B 中 , ? A B O ? ? B A O ? 4 5? , 所 以 B O ? A O ?
BO OH 3 3 2 ? 2 .故二面角 B ? A C ? P 的大小为 arctan 2 .

3

, 于 是 在 R t△ B O H

中 ,

ta n ? B H O ?

?

小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的 确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找 出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方 法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.

考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7. 如图,已知 点E 在
A A1

A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1
C C1

是棱长为 3 的正方体, .
C1
F

D1
B1

A1

上,点 F 在

上,且

A E ? F C1 ? 1

(1)求证:

E , B, F , D 1

四点共面;
2

E

M

BG ?

D
H

A

(2)若点 G 在 B C 上,
B C C 1 B1 证: E M ⊥ 平面 ;

3 ,点 M 在 B B 1 上, G M ⊥ B F , C

G

B

垂足为 H ,求

(3)用 ? 表示截面

E B F D1

和侧面

B C C 1 B1

所成的锐二面角的大小,求 tan ? .
D1
C1
F

过程指引: 1)如图,在 (

D D1

上取点 N ,使 D N ? 1 ,连结 E N , C N ,


A1 B1

A E ? D N ? 1 , C F ? N D1 ? 2 .

因为 A E ∥ D N , N D 1 ∥ C F ,所以四边形 A D N E , C F D 1 N 都为平行四 形.从而 E N ∥A D , F D 1 ∥ C N . 又因为 A D ∥B C ,所以 E N ∥B C ,故四边形 B C N E 是平行四边形,由此
11

N
M D H

E A



C

G

B

推知

个性化辅导教案

C N ∥ B E ,从而 F D 1 ∥ B E .因此, E , B, F , D 1 四点共面.

(2)如图, G M ⊥ B F ,又 B M ⊥ B C ,所以∠ B G M ? ∠ C F B ,
BC 2 3 B M ? B G ?tan ∠ B G M ? B G ?tan ∠ C F B ? B G ? ? ? ? 1. CF 3 2

因为 A E ∥B M ,所以 A B M E 为平行四边形,从而 A B ∥ E M . 又 A B ⊥ 平面 B C C 1 B 1 ,所以 E M ⊥ 平面 B C C 1 B 1 . (3)如图,连结 E H .因为 M H ⊥ B F , E M ⊥ B F ,所以 B F ⊥ 平面 E M H ,得 E H ⊥ B F .于是∠ E H M 是所求的二面角的平面角,即∠ E H M ? ? . 因为∠ M B H ? ∠ C F B ,所以 M H ? B M ?sin ∠ M B H ? B M ?sin ∠ C F B
? BM ? BC BC
2

? 1?
2 2

3 3 ?2
2

?

3 13



ta n ? ?

EM MH

?

13



? CF

三、强化训练
6.(2011 年高考浙江卷文科 4)若直线 l 不平行于平面 a ,且 l ? a ,则 (A) a 内的所有直线与 l 异面 (C) a 内存在唯一的直线与 l 平行 (B) a 内不存在与 l 平行的直线 (D) a 内的直线与 l 都相交

6【解析】:直线 l 不平行于平面 a , l ? a 所以 l 与 a 相交,故选 B 7. (2011 年高考四川卷文科 6) l1 , l 2 , l 3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ? l 2 , l 2 ? l 3 ? l1 // l 2 (C) l1 // l 2 // l 3 ?
l1 , l 2 , l 3 共面

(B) l1 ? l 2 , l1 // l 3 ? l1 ? l 3 (D) l1 , l 2 , l 3 共点 ? l1 , l 2 , l 3 共面

7 答案: B,若 l1 ? l 2 , l 2 ? l 3 , 则 l1 , l 3 有三种位置关系, 可能平行、 相交或异面, A 不对.虽然 l1 / / l 2 / / l 3 , l1 , l 2 , l 3 故 或 共点,但是 l1 , l 2 , l 3 可能共面,也可能不共面,故 C、D 也不正确. 1. (2011 年高考全国卷文科 8)已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ? ? , A C ? l , C 为垂足,B ? ? , B D ? l , D 为垂足, 若 A B ? 2, A C ? B D ? 1, 则 D 到平面 A B C 的距离等于
2 3 3 3 6 3

(A)

(B)

(C)

(D) 1

α

A

11【解析】如图,作 D E ? B C 于 E ,由 ? ? l ? ? 为直二面角,
A C ? 平面 ? ,进而 A C ? D E ,又 B C ? D E , B C ? A C ? C ,

l β B

D E

C

A C ? l ,得

于是 D E ? 平面 A B C 。故 D E 为 D 到平面 A B C 的距离。

12

个性化辅导教案

在 R t ? B C D 中,利用等面积法得 D E ?

BD ? DC BC

?

1? 3

2

?

6 3

.

12.设在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90° ,E,F 依次为 C1C,BC 的中点. (1)求异面直线 A1B、EF 所成角 θ 的余弦值; (2)求点 B1 到平面 AEF 的距离. 12[解析] 以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则各点坐 B(2,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0), → → (1)A1B=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1), → → A1B· EF 4 6 cosθ= = = , → → 2 2× 3 3 |A1B|· | |EF (2)设平面 AEF 的一个法向量为 n=(a,b,c), → → ∵AE=(0,2,1),AF=(1,1,0), → ?n· =0 ?2b+c=0 ? AE ? 由? 得,? ,令 a=1 可得 n=(1,-1,2), ? → ?a+b=0 ? AF ?n· =0 → |AB1· n| 6 → ∵AB1=(2,0,2),∴d= = = 6.∴点 B1 到平面 AEF 的距离为 6. |n| 6 13.如图,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 BC=4,E 是 PD 的中点. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)求点 B 到平面 PCD 的距离; ABCD, PA=AB=2, 标为 A1(0,0,2),

(2)方法 1:过 A 作 AF⊥PD,垂足为 F.

13

个性化辅导教案

在 RtPAD 中,PA=2,AD=BC=4,PD= 42+22=2 5, 2×4 4 5 4 5 AF· PD=PA· AD,∴AF= = ,即点 B 到平面 PCD 的距离为 . 5 5 2 5 方法 2:如图,以 A 为原点,AD、AB、AP 所在的直线分别为 x 轴、 轴建立空间直角坐标系 A-xyz,则依题意可知 A(0,0,0),B(0,2,0), D(4,0,0),P(0,0,2), → → → PD=(4,0,-2),CD=(0,-2,0),BC=(4,0,0), 设面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 → ? CD ?y=0 ?-2y=0 ?n· =0 ? ? ? ?? ?? 1 , ? → ?4x-2=0 ? PD ? ?n· =0 ?x=2 14.如图,长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, D A ? D C ? 2 ,
E
D1 A1

y 轴、z C(4,2,0),

D D1 ?

3 , E 是 C 1 D 1 的中点, F 是 C E 的中点.

C1

B1

(1)求证: E A // 平面 B D F ; (2)求证:平面 B D F ? 平面 B C E . 14. 【解析】(1)连接 A C 交 B D 于 O 点,连接 O F , 可得 O F 是 ? A C E 的中位线, O F // A E , 又 A E ? 平面 B D F , O F ? 平面 B D F , 所以 E A // 平面 B D F ???6 分 C E 的中点, (2)计算可得 D E ? D C ? 2 ,又 F 是 所以 D F ? C E , 又 B C ? 平面 C D D 1 C 1 ,所以 D F ? B C , 又 B C ? C E ? C ,所以 D F ? 平面 B C E

F

D

A

C

B

又 D F ? 平面 B D F ,所以平面 B D F ? 平面 B C E ???12 分 15.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,PA=AB=4, G 为 PD 中点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面 PDC. P (Ⅰ)求证:AG⊥平面 PCD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 PEC; G (Ⅲ)求点 G 到平面 PEC 的距离. A 15.(Ⅰ)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥AG, P E 又 PD⊥AG ,∴AG⊥平面 PCD ????4 分 G (Ⅱ)证明:作 EF⊥PC 于 F,因面 PEC⊥面 PCD C B ∴EF⊥平面 PCD,又由(Ⅰ)知 AG⊥平面 PCD A F ∴EF∥AG,又 AG ? 面 PEC,EF ? 面 PEC, O ∴AG∥平面 PEC ??????7 分 E (Ⅲ)由 AG∥平面 PEC 知 A、G 两点到平面 PEC 的距离相等 由(Ⅱ)知 A、E、F、G 四点共面,又 AE∥CD ∴ AE∥平面 PCD B ?????8 分
C

D

∴ AE∥GF,∴ 四边形 AEFG 为平行四边形,∴ AE=GF

14

个性化辅导教案

1 PA=AB=4, G 为 PD 中点,FG ∥ = 2 CD

∴ FG=2 ∴
V P ? AEC ?

∴ AE=FG=2
1 1 16 ( ? 2 ? 4) ? 4 ? 3 2 3 1 2
1 16 3

?????????9 分 ?????????10 分

又 EF⊥PC,EF=AG ? 2 2 ∴ S ? EPC ?
1 2 PC ? EF ? ?4 3 ?2 2 ? 4 6

?????????11 分
2 6 3

又 V P ? A E C ? V A ? P E C ,∴ S ? E P C ? h ?
3
2 6 3

,即 4 6 h ? 1 6 ,∴ h ?

∴ G 点到平面 PEC 的距离为

.

?????????13 分



16 . 已 知 四 棱 锥 P ? A B C D 中 P A ? 平 面 A B C D , 且 P A ? 4 P Q ? 4 , 底 面 为 直 角 梯 形 ,
? C D A ? ? B A D ? 9 0 , A B ? 2 , C D ? 1, A D ?
0

2 , M , N 分别是 P D , P B 的中点.

P

(1)求证: M Q // 平面 P C B ; (2)求点 A 到平面 M C N 的距离. 16. 解析(一): 以 A 为原点,以 A D , A B , A P 分别为 x , y , z 建立空间直角坐标系 O ? x y z , 由 A B ? 2 , C D ? 1, A D ?
2 , P A ? 4 P Q ? 4 , M , N 分别是 P D , P B 的中点,

Q N M A D C B

可 得 : A ? 0, 0, 0 ? , B ? 0, 2, 0 ? , C
???? BC ?

?

2 ,1, 0 , D

?

?

? 2 ? 2 , 0, 0 , P ? 0, 0, 4 ? , Q ? 0, 0, 3 ? , M ? , 0 , 2 ? , N ? 0 ,1, 2 ? , ∴ ? 2 ? ? ?

?

?

???? ? ? ??? ? ? 2 , 0 ,1 ? ???2 分 2 , ? 1, 0 , P B ? ? 0, 2, ? 4 ? , M Q ? ? ? ? ? 2 ? ?

?

[来源:Zxxk.Com]

设平面的 P B C 的法向量为 n 0 ? ? x , y , z ? ,

?? ?

z

?? ? ???? ?n ? BC ? ? x, y, z ? ? 2 , ? 1, 0 ? 0 ? 2 x ? y ? 0 ? 0 则有: ? ?? ? ??? ? ? n0 ? P B ? ? x , y , z ? ? ? 0, 2, ? 4 ? ? 0 ? 2 y ? 4 z ? 0 ?

P Q N M A C B
y

?

?

令 z ? 1 ,则 x ? ?????3 分

?? ? 2 , y ? 2 ? n0 ?

?

2 , 2 ,1 ,

?

, 0 ,1 ? ? ? 2 , 2 ,1 ? ? 0 ,又 M Q ? 平面 P Cx D B ∴ M Q ? n0 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2

???? ?? ? ?

?

?

∴ M Q //平面 P C B
15

?????4 分

个性化辅导教案

(2)∵ C A ? ? ? 解析(二):

??? ?

? ??? ? ? n ?CA ? 2 , ? 1, 0 ,∴所求的距离 d ? ? n

?

2?

2 ? 1?1 ? 1? 0 2

?

3 2

(1) 取 A P 的 中 点 E , 连 结 E D , 则 E D // C N ,

????1 分 ????2 分 ?????4 分

依 题 有 Q 为 E P 的 中 点 , 所 以 M Q / / E D, 所 以 M Q / / C N ,

又 M Q ? 平面 P C B , C N

平面 P C B , ∴ M Q // 平面 P C B

(2) 因 为 E P的 中 点 为 Q , 且 平 面 M C N 与 P A 交 于 点 Q ,
所 以 点 A到 平 面 M C N 的 距 离 是 点 E 到 平 面 M C N 的 距 离 的 3 倍 ,

由 (2)知 : M N ? 平 面 Q EF, 则 平 面 M C N Q ? 平 面 Q EF 且 交 线 为 Q F, 作 E H ? Q F , 垂 足 为 H , 则 E H ? 平 面 M C N Q, 故 E H 即 为 点 E 到 平 面 M C N 的 距 离 。
3 3

在 R t?EQ F中 , EF =

, ?EQF =

?
3

, 故 EH =

1 2

. 即 : 点 A 到E 面 M C N 的 距 离 为 平
D

3

. 2 17. 在如图 4 所示

的几何体中, AE ? 平面 ABC , CD // AE , F 是 BE 的中点 , AC ? BC ? 1 , ? A C B ? 9 0 ? , A E ? 2 C D ? 2 . (Ⅰ)求证: DF // 平面 ABC ;
F

(Ⅱ)求证: DF ? 平面 ABE ;
C

(Ⅲ)求三棱锥 D ? BCE 的体积. 17. 解:(Ⅰ)证明:取 AB 的中点 M ,连接 FM , CM 在 ? ABE 中, F , M 分别 EB , AB 的中点,∴ FM 又∵ CD // AE , CD ?
1 2 AE ∴ FM 平行且等于 CD
1 AE // = 2 A
E 图4 B

D

∴四边形 FMCD 为平行四边形 ∴ DF // CM 又∵ CM ? 平面 ABC , DF ? 平面 ABC ∴ DF // 平面 ABC ??????????4 分 (II)证明:∵ AC ? BC , M 为 AB 的中点 ∴ CM ? AB 又 AE ? 平面 ABC , CM ? 平面 ABC

F C B

∴ CM ? AE 又 AE ? AB ? A ,∴ CM ? 面 ABE M A 由(1)得 DF // CM ∴ DF ? 平面 ABE ??????????8 分 图 4 (III)解:∵ CD // AE ∴ V 三棱锥 D ? BCE ? V 三棱锥 E ? BCD ? V 三棱锥 A ? BCD


∴ V 三棱锥

D ? BCE

?

1 3

S ? BCD ? AC ?

1 3

?

1 2

?1?1?1 ?

1 6

???????12 分
3,

18. 已知直角梯形 A B C D 中, A B // C D , A B ? B C , A B ? 1, B C ? 2, C D ? 1 ?
E , G、 F 分 别 为 A D 、 C E 的中点,现将 ? A D E 沿 A E 折叠, 使得 D E ? E C .
16

过 A 作 A E ? C D ,垂足为

个性化辅导教案

(1)求证: F G // 面 B C D ; (2)设四棱锥 D-ABCE 的体积为 V,其外接球体积为 V ,求 V : V 的值. D D E F · C G E A B
/ /



F

C

A

B

19.如图 1,直角梯形 A B C D 中, A D / / B C , ? A B C ? 9 0 , E , F 分别为边 A D 和 B C 上的点,且 E F / / A B ,
A D ? 2 A E ? 2 A B ? 4 F C ? 4 .将四边形 E F C D 沿 E F 折起成如图 2 的位置,使 A D ? A E .

?

(1)求证: B C // 平面 D A E ; (2)求四棱锥 D ? A E F B 的体积.

B

A
C

D

F
C

E
F

A B

E

19. 解 (1)证:? C F // D E , F B // A E , B F ? C F ? F , A E ? D E ? E 图1 图2 所以 B C // 平面 D A E .--------------------------6 分 ? 面 C B F // 面 D A E ,又 B C ? 面 C B F (2)取 A E 的中点 H ,连接 D H ,? E F ? E D , E F ? E A ? E F ? 平面 D A E 又 D H ? 平面 D A E ? E F ? D H
? AE ? ED ? DA ? 2 ? DH ? AE , DH ? 3

D

? D H ? 面 A E F B --------------------------------------9 分

所以四棱锥 D ? A E F B 的体积 V ?

1 3

?

3? 2? 2 ?

4 3 3
17

.- --------------12 分

个性化辅导教案

20.如图, A B 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, A B ∥ E F ,矩形 A B C D 所在的平面和圆 O 所在的平面互相 垂直,且 A B
? 2

, AD
?

? EF ? 1 .
C

(1)求证: A F

平面 C B F ;

(2)设 F C 的中点为 M ,求证: O M ∥平面 D A F ; (3) 设平面 C B F 将几何体 E F A B C D 分成的两个锥体
V F ? ABCD

的体积 分别为
D

,V F ?CBE ,
: V F ? CBE

B

M E

求 V F ? ABCD


O

20.解 (1)? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB , CB ? 平面 ABEF ,
? AF ? 平面 ABEF

A

F

,? AF ? CB ,?? 2 分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF 。 ???? 4 分 (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN //
1 2 CD ,又 AO // 1 2
D

C

CD ,
M
E
O

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形,
? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ? OM // 平面 DAF .

B

????? 8 分 (3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ,
1 3 S ABCD ? FG ? 2 3 FG ,
A

? FG ? 平面 ABCD ,? V F ? ABCD ? ? CB ? 平面 ABEF
? V F ? CBE ? V C ? BFE ?

F


1 3 S ? BFE ? CB ? 1 1 1 ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 2 6

? V F ? ABCD : V F ? CBE ? 4 : 1 .

???? 12 分

21. 如 图 是 以 正 方 形 A B C D 为 底 面 的 正 四 棱 柱 被 一 平 面 所 截 得 的 几 何 体 , 四 边 形 E F G H 为 截 面 , 且
AB ? BC ? 2 , AE ? 1 , BF ? DH ? 2 , CG ? 3
H G

(Ⅰ)证明:截面四边形 EFGH 是菱形; (Ⅱ)求几何体 C ? EFGH 的体积. 21.【解析】(Ⅰ)证明:因为平面 ABFE ∥平面 C D H G ,且平面 E F G H 分 别交平面 A B F E 、平面 C D H G 于直线 E F 、 G H ,所以 E F ∥ G H . 同理, F G ∥ E H . 因此,四边形 E F G H 为平行四边形. ??(1) 因为 B D ? A C ,而 A C 为 E G 在底面 A B C D 上的射影,所以 E G ? B D . 因为 B F ? D H ,所以 F H ∥ B D . 因此, F H ? E G . ??(2) 由(1)、(2)可知:四边形 E F G H 是菱形;…………………6 分 (Ⅱ)连结 CE 、 CF 、 CH 、 CA ,则 V C ? EFGH ? V ? V C ? ABFE ? V C ? ADHE

F E D A B C

H

G

F

?

AE ? 1 , BF ? DH ? 2 , CG ? 3 且几何体是以正方形 A B C D 为底

E D

面的
C B

正四棱柱的一部分,? 该几何体的体积为 V ?

2

2

?2 ? 4,

A

18

个性化辅导教案

V C ? ABFE ?

1 3

? S 四边形

ABFE

? BC ?

1 3

?

1 2

(AE ? BF) ? AB ? BC ?

1 6

(1 ? 2)

2

2 ?1

同理,得 V C ? ADHE ? 1



所以, V C ? EFGH ? V ? V C ? ABFE ? V C ? ADHE ? 4 ? 1 ? 1 ? 2 , …………………12 分

即几何体 C ? EFGH 的体积为 2.

课后 作业: 巩固

预习布置:

课后 评价 及备 注 签字 教务主管/科组长:
日期:

19


搜索更多“立体几何教案 (专题复习,家教)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com