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3.2.2(二)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)


3.2.2
一、基础过关

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1.下列结论不正确的是 A.若 y=3,则 y′=0 B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 C.若 y=- x+x,则 y′=- +1 2 x 1

(

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D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x x 2.函数 y= 的导数是 1-cos x 1-cos x-xsin x A. 1-cos x 1-cos x-xsin x B. ?1-cos x?2 1-cos x+sin x C. ?1-cos x?2 1-cos x+xsin x D. ?1-cos x?2 3.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 x+1 4.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于 x-1 1 1 A.2 B. C.- D.-2 2 2 在点(1,f(1))处切线的斜率为 1 A.4 B.- 4

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5.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1, 则曲线 y=f(x) ( C.2 1 D.- 2 )

6.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且 f′(-1)=0,则 a=________. 7.若某物体做 s=(1-t)2 的直线运动,则其在 t=1.2 s 时的瞬时速度为________. 二、能力提升 sin θ 3 3cos θ 2 5π 8.设函数 f(x)= x+ x +tan θ, 其中 θ∈[0, ], 则导数 f′(1)的取值范围是( 3 2 12 A.[-2,2] C.[ 3,2] B.[ 2, 3] D.[ 2,2] 1 3 9.若函数 f(x)= x -f′(-1)· x2+x+5,则 f′(1)=________. 3 10.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=( x-2)2; x x (3)y=x-sin cos . 2 2 )

11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的表达式. b 12.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积 为定值,并求此定值. 三、探究与拓展 13.已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1 和 C2 都相切,求直线 l 的方程.

答案
1.D 2.B 1 3.B 4.D 5.A 6. 2 9.6 7.0.4 m/s 8.D

10.(1)y′=18x2-4x+9 1 (2)y′=1-2x- 2 1 (3)y′=1- cos x 2 11.f(x)=x2+2x+1 12.(1)解 由 7x-4y-12=0 7 得 y= x-3. 4 1 1 当 x=2 时,y= ,∴f(2)= ,① 2 2 b 7 又 f′(x)=a+ 2,∴f′(2)= ,② x 4 b 1 2a- = , ? 2 2 ?a=1 3 由①,②得 解之得? .故 f(x)=x- . x b 7 ?b=3 ? a+ = . 4 4 3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知 x

? ? ?

曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 3 y-y0=(1+ 2)(x-x0), x0 3 3 即 y-(x0- )=(1+ 2)(x-x0). x0 x0 6 6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ). x0 x0 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 1 6 |- ||2x |=6. 2 x0 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定 值为 6.
2 13.解 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x2 1),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2) ).

对于 C1:y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x2 1=2x1(x-x1), 即 y=2x1x-x2 1.① 对于 C2:y′=-2(x-2),则与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2), 即 y=-2(x2-2)x+x2 2-4.② 因为两切线重合, ?2x1=-2?x2-2?, ?x1=0, ?x1=2, ? ? ? 所以由①②,得? 2 2 解得? 或? ? ? ? ?-x1=x2-4 ?x2=2 ?x2=0. 所以直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4.


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