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高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法


高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
类型一:形如 f ( x ) ? a , f ( x ) ? a ( a ? R ) 型不等式 解法:根据 a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类 型的解题基础. 1、当 a ? 0 时,
f ( x) ? a ? ?a ? f ( x) ? a f ( x) ? a ? f ( x) ? a 或 f (x) ? ?a

2、当 a ? 0
f (x) ? a f (x) ? a ?

,无解

使 f ( x ) ? 0 的解集

3、当 a ? 0 时,
f (x) ? a f (x) ? a ?

,无解

使 y ? f ( x ) 成立的 x 的解集. )

例 1 (2008 年四川高考文科卷)不等式 x 2 ? x ? 2 的解集为( A. ( ? 1, 2 ) C. ( ? 2 ,1) 解: 因为
x ? x ? 2,
2

B. (? 1,1) D. (? 2 , 2 )

所以
?2? x ? x ? 2
2

.


?x2 ? x ? 2 ? 0 ? , ? 2 ?x ? x ? 2 ? 0 ?

解得:
?x ? R ? ?? 1 ? x ? 2



所以 x ? (? 1, 2 ) ,故选 A.

类型二:形如 a ? f ( x ) ? b ( b ? a ? 0 ) 型不等式 解法:将原不等式转化为以下不等式进行求解:
a ? f ( x ) ? b (b ? a ? 0 ) ? a ? f ( x ) ? b

或 ? b ? f ( x) ? ?a 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为:
a ? f ( x ) ? b (b ? a ? 0 ) ? a ? f ( x ) ? b

例 2 (2004 年高考全国卷)不等式 1 ? x ? 1 ? 3 的解集为( ) A. ( 0 , 2 ) C. ( ? 4 , 0 ) 解:
1 ? x ? 1 ? 3 ? 1 ? x ? 1 ? 3 或 ? 3, ? x ? 1 ? ? 1
? 0? x ? 2

B. ( ? 2 , 0 ) ? ( 2 , 4 ) D. ( ? 4 , ? 2 ) ? ( 0 , 2 )

或 ? 4 ? x ? ? 2 ,故选 D

类型三:形如 f ( x ) ? g ( x ) , f ( x ) ? g ( x ) 型不等式,这类不等式如果用分类 讨论的方法求解,显得比较繁琐,其简洁解法如下 解法:把 g ( x ) 看成一个大于零的常数 a 进行求解,即:
f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) , f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或 f ( x) ? ? g ( x)

例 3 (2007 年广东高考卷)设函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 3 ,若 f ( x ) ? 5 ,则 x 的取值范围是 解:
f ( x) ? 5 ? 2 x ? 1 ? x ? 3 ? 5 ? 2x ?1 ? ?x ? 2 ? x ? 2 ? 2x ?1 ? ?x ? 2
?2 x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?2 x ? 1 ? ? x ? 2 ? x ? ?1 ? ? ? ? 1 ? x ? 1 ,故填: ?? 1,1? . ?x ? 1

类型四:形如 f ( x ) ? g ( x ) 型不等式

解法:可以利用两边平方,通过移项,使其转化为: “两式和”与“两式差” 的积的方法进行,即:
f (x) ? g (x) ? f (x)
2

? g (x)

2

? [ f ( x )] ? [ g ( x )]
2

2

? 0 ? [ f ( x ) ? g ( x )][ f ( x ) ? g ( x )] ? 0

例 4 (2009 年山东高考理科卷)不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 解:
2x ?1 ? x ? 2 ? 0 ? 2x ?1 ? x ? 2
? 2x ?1
2

? x?2

2

? ( 2 x ? 1) ? ( x ? 2 )
2

2

? 0

? [( 2 x ? 1) ? ( x ? 2 )][( 2 x ? 1) ? ( x ? 2 )] ? 0
? ?1 ? x ? 1

所以原不等式的解集为 ?x ? 1 ? x ? 1? 类型五:形如 f ( x ) ? f ( x ), f ( x ) ? f ( x ) 型不等式 解法:先利用绝对值的定义进行判断,再进一步求解,即:
f ( x ) ? f ( x ) ,无解 f (x) ? f (x) ? f (x) ? 0
x x ?1 x x ?1

例 5 (2004 年海南卷)解关于 x 的不等式 解:
x x ?1 ?1? a ? x x ?1 ?1? a ?

?1? a ?

?1? a

x x ?1

?1? a ? 0

?

1 x ?1 1 x ?1

?a ? 0 ?

1 x ?1

? ?a

(1) 当 a ? 0 时,原不等式等价于:
? 0 ? x ?1

(2) 当 a ? 0 时,原不等式等价于:
? 1 a ? x ?1? 0 ? 1? 1 a 1 a ? x ?1

(3) 当 a ? 0 时,原不等式等价于:
x ?1 ? 0 或x ?1 ? ?

? x ? 1或x ? 1?

1 a

综上所述 (1) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为:

?x x ? 1?
(2) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为:
1 ? ? ? x ? 1? ?x1 ? a ? ?

(3) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为:
1? ? ? x x ? 1或 x ? 1 ? ? a? ?

类型六:形如使 x ? m ? x ? n ? c , x ? m ? x ? n ? c 恒成立型不等式. 解法:利用和差关系式: a ? b ? a ? b ? a ? b ,结合极端性原理即可解 得,即:
c ? x?m ? x?n ? c ?

?x ? m

? x?n

?

max

?

?x ? m ? ? ?x ? n ?

? n?m

; ;

c ? x?m ? x?n ? c ?

?x ? m

? x?n

?

min

?

?x ? m ? ? ?x ? n ?

? n?m

例 6 (2010 高考安徽卷)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3 a 对任意的实数恒成 立,则实数 a 的取值范围是( A. ? ? ? , ? 1? ? ?4 , ?? ? C. ?1, 2 ? 解: 设函数
f (x) ? x ? 3 ? x ? 1 ?

) B. ? ? ? , ? 2 ? ? ?5 , ?? ? D. ? ? ? , ? 1? ? ?2 , ?? ?

? x ? 3 ? ? ? x ? 1?

? 4

所以
f ( x ) max ? 4

而不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3 a 对任意的实数 x 恒成立 故 a 2 ? 3 a ? 4 ? a ? ? 1或 a ? 4 ,故选择 A 类型七:形如
f ( x ) ? g ( x ) ? a , f ( x ) ? g ( x ) ? a ?a 为常数

?

f ( x) ? g ( x) ? h( x) , f ( x) ? g ( x) ? h( x) f ( x ) ? g ( x ) ? a , f ( x ) ? g ( x ) ? a ?a 为常数 f ( x) ? g ( x) ? h( x) , f ( x) ? g ( x) ? h( x)

?

1、解法:对于解含有多个绝对值项的不等式,常采用零点分段法,根据绝 对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案,其步骤是:找出 零点,确定分段区间;分段求解,确定各段解集;综合取并,去掉所求解集,亦 可集合图像进行求解. 例 7 (2009 年高考福建理科卷)解不等式 2 x ? 1 ? x ? 1 分析:找出零点:
x ? 0, x ? 1 2

确定分段区间:
x ? 0 ,0 ? x ? 1 2 ,x ? 1 2

解: (1)当 x ? 0 时,原不等式可化为:
? 2x ? 1 ? ?x ? 1

解得:
x ? 0

因为 x ? 0 ,所以 x 不存在 (2)当 0 ? x ? 解得:
x ? 0

1 2

时,原不等式可化为:
? 2x ? 1 ? x ? 1

又因为
x ? x ? 1 2



所以
x ? x ? 1 2

(3)当 x ? 解得:

1 2

时,原不等式可化为:
2x ?1 ? x ? 1, x ? 2


x ? 1 2



所以

1 2

? x ? 2

综上所述,原不等式的解集为: ?x 0 ? x ? 2 ? 2、特别地,对于形如
f ( x ) ? g ( x ) ? a , f ( x ) ? g ( x ) ? a ?a 为常数 f ( x) ? g ( x) ? h( x) , f ( x) ? g ( x) ? h( x)

?

型不等式的解法,除了可用零点分段法外,更可转化为以下不等式,即:
f ( x) ? g ( x) ? h( x) ?
? f (x) ? g (x) ? h(x) ? ? ? f (x) ? g (x) ? h(x) ?

f (x) ? g (x) ? h(x) ?

f (x) ? g ( x) ? h(x) 或 f (x) ? g (x) ? h(x)

例 8 (2009 年辽宁高考理科卷)设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? a (1)若 a ? ? 1 ,解不等式 f ( x ) ? 3 (2)如果 ? x ? R , f ( x ) ? 2 , 求 a 的范围 解: (1) 当 a ? ? 1时,
f (x) ? x ? 1 ? x ? 1

由 f ( x ) ? 3 得:
f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 3

即:

? x ? 1? ? ? x ? 1? ?
解得:

3

或 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 3

2 x ? 3 ,即: x ? ?

3 2

或 x?

3 2

故不等式 f ( x ) ? 3 的解集为:
3 3? ? ?x x ? ? 或x ? ? 2 2? ?

(2)由 f ( x ) ? 2 得:

x ?1 ? x ? a ? 2

即:

? x ? 1? ? ? x ? a ?
即:

? 2

或 ? x ? 1? ? ? x ? a ? ? 2

2 x ? ?a ? 1? ? 2

或 a ?1 ? 2

因为 ? x ? R , f ( x ) ? 2 恒成立, 所以 a ? 1 ? 2 成立,解得:
a ? ?1

或 a?3

故 a 的取值范围为:

? ? ? , ? 1? ? ?3 , ?? ?
绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点,我们通过化归思想将其进行 等价变换,从而避免了繁琐的讨论,减小了运算量,以上所介绍的七种类型的含 有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目, 当然方法可能并不为 一, 在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理,这其 实也体现了数学形式多样化的统一美. 方法是多种多样的,只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具, 如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想, 那么就 有点得不偿失了.


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