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第1课时 直线的方向向量与直线的向量方程


2011 级高二数学导学案

Q、R 分别是 O1B1、AE 的中点,求证:PQ∥RS。

3.2 空间向量在立体几何中的应用
第 1 课时 直线的方向向量与直线的向量方程
时间:2013.3.6 编写:刘卫东 审核:高秀德 【知识梳理】

变式应用 2
在正方体 AC1 中,O,M 分别为 BD1,D1C1 的中点,证明:OM∥BC1

1.给定一个定点 A 和一个向量 a ,再任给一个实数,以 A 为起点作向量 AP ? ta , 这时点 P 的位置被完全确定,当 t 在 R 上变化时,点 P 的轨迹是一条通过点 A 且平 行于向量 a 的一条直线 l0 。反之,在直线上任取一点 P,一定存在一个实数 t,使

AP ? ta ,向量方程 AP ? ta 通常称作
O P? O? A 及 t OP a ? (1 ? t )OA ? tOB

, 也 表 示 为

2.设 O 是空间任一点, M 是线段 AB 的中点, 则线段 AB 中点的向量表示式是 OM ? 。 3.设空间直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1、 v2 ,则 l1 ∥ l2 (或 l1与l2 重合) ? 。 4.已知两个非零向量 v1、 v2 与平面 ? 共面,一条直线 l 的一个方向向量为 v ,则 l∥ ? (或 l ? ? ) ? 5.设两条直线所成角为 ? (锐角) ,则直线方向向量的夹角与 ? 相等或互补,设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2 ,则 l1⊥l2 ? 【思路方法技巧】 根据方向向量确定两直线位置关系 例 1 设 a、 b 分别是直线 l1、l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1、l2 的位置关系。 (1) a ? (2, ?1, ?2), b ? (6, ?3, ?6) ; (2) a ? (1,2, ?2), b ? (?2,3,2) ; (3) a ? (0,0,1), b ? (0,0, ?3)

线面平行问题 例 3 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M、 N 分别是 C1C、 B1C1 的中点, 求证:MN∥平面 A1BD.

变式应用 3
如图所示, 已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 相交于 AB, 点 M、 N 分别在 AE、 BD 上,且 AM=DN。 求证:MN∥平面 BCE。 )

变式应用 1

l , m 是两条直线, 方向向量分别是 a ? ( x1, y1, z1), b ? ( x2 , y2 , z2 ) , 若 l∥ m , 则 (
A. x1 ? x 2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 C. x1x 2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 B. x1 ? kx 2 , y1 ? py2 , z1 ? qz2 D. x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2

直线平行问题 例 2 在长方体 OAEB-O1A1E1B1 中,|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点 P 在棱 AA1 上,且|AP|=2|PA1|,点 S 在棱 BB1 上,且|SB1|=2|BS|,点
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线线垂直问题、夹角问题 例 4 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AC 的中点, 证明: (1)BD1⊥AC; (2)BD1⊥EB1.

【课堂巩固训练】 一、选择题 1.设 M (5, ?1,2) A(4,2, ?1) ,若 OM ? AB ,则点 B 应为( ) A.(-1,3,-3) C.(1,-3,3) B.(9,1,1) D.(-9,-1,-1)

2.已知 A(3,-2,4) ,B(0,5,-1) ,若 OC ?

2 AB ,则 C 的坐标是( 3



变式应用 4
如图所示,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,E、F、G 是 DD1、BD、 BB1 的中点. 求证:EF⊥CF.

3.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C(3,7, ? ) , 若 AB⊥AC ,则 ? 等于( ) A. ? ? 28 B. ? ? ?28 二、填空题 C. ? ? 14 D. ? ? ?14

14 10 , ) 3 3 14 10 C. (2, ? , ? ) 3 3
A. (2, ?

14 10 ,? ) 3 3 14 10 D. (?2, ? , ) 3 3
B. (?2,

4.已知 a ? (2, ?2,3), b ? (4,2, x) ,且 a⊥b ,则 x= 5.已知两点 A(?3, 2,3) , B(3, ?3, 2) ,O 是坐标原点,则 cos 〈OA, OB〉 ? 三、解答题 6.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF =1,M 是线段 EF 的中点,求证:AM∥平面 BDE。 例 5 如图,已知 F 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 C1D1 的中点,试求异面直线

AC 1 1 与 DF 所成角的余弦值。

变式应用 5
在本例给出的正方体中,E 为棱 AA1 的中点,求异面直线 BE 与 AC 所成角的大 小。

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