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含有绝对值的不等式(学生版)


大东方学校高 2014 级高二秋周专题讲座 11

2013- 5-24

第十一讲
【要点】1、含绝对值不等式的证明 【例题】 .题型 1

含有绝对值的不等式
2、含绝对值不等式的解法 3、绝对值不等式中的综合问题

含绝对值不等式的证明

1.已知|x-a|<1,求证:|a|-1<|x|<|a|+1.

2.已知|x-a|<

?
2M

,0<|y-b|<

?
2a

,y∈(0,M).求证:|xy-ab|<ε .

3.已知 f(x)=x -x+13,且|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。

2

4.已知 a,b∈R.求证:

|a ?b| |a| |b| ≤ + . 1? | a ? b | 1? | a | 1? | b |

5. 已知 | a |? 1, | b |? 1, 求证 : |

a?b |? 1 . 1 ? ab

6. 设 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ,当 x ? 1 时,总有 f ?x ? ? 1 ,求证: 当 x ? 2 时, f ?x? ? 7 .

7. 函数 f ( x) 的定义域为[0,1],且 f (0) ? f (1) ,当 x1、x

2

? [0,1], x1 ? x2 时都有

| f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| x2 ? x1 | ,求证: | f ( x 2 ) ? f ( x1 ) |?

1 . 2

1

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2013- 5-24

题型 2

含绝对值不等式的解法
? 1? ?x x ? ? . 2? ?

1.解不等式|x+1|>2-x.

2.解不等式 | 2 x ? 1 ? x | <2.

? 1 ? ?x ? x ? 5 ? ? 2 ?

3. 解不等式|x+2|-|2x-1|≥1。

[0,2]。

4. 解下列不等式: 2 2 (1)|x-x -2|>x -3x-4;

{x|x>-3}。

(2)|log 1 x|+|log3
3

1 |≥1. 3? x

(0,

3 9 ] ? [ , 3)。 4 4
1 或x>2} 2

5. 解不等式:|log

2

x+1|+|log2x-2|>4。

{x|0<x<

6. 解不等式 | x 2 ? 4 | ? | x ? 3 |? 5 .

(??,?3) ? (?1,2) ? (2,??) 。

7. 解下列等式: (1) | x ? 11x ? 21|? x ;
2

(??,6 ? 15) ? (3,7) ? (6 ? 15,??) 。

(2)

3x ?1 x ?4
2

{x | x ? 4或 ? 1 ? x ? 1或x ? ?4}

题型 3

绝对值不等式中的综合问题
2

1.已知 a、b、c 是实数,函数 f(x)= ax ? bx ? c , g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1. (1)证明:|c|≤1; (2)证明:当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2; (3)设 a>0,当-1≤x≤1 时,g(x)的最大值为 2,求 f(x).
2

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2

2.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx . (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤2

b; b;

(2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要条件.

3. 已知|x-4|+|x-3|<a 有解,求 a 的取值范围.

4. 设函数 f ( x) ? ax ? 2 ,不等式 | f ( x) |? 6 的解集为(-1,2) ,试 求不等式

x ? 1 的解集. f ( x)

5. 设集合A=[-1, 1], B=[-

2 2 2 , ],函数f(x)=2x +mx-1。 2 2
9 。 8

(1)设不等式f(x)≤0的解集为C,当C ? (A∪B)时,求实数m的取值范围; (2)当m∈A, x∈B时,证明|f(x)|≤

6. 给定函数F(x)=ax +bx+c,以及G(x)=cx +bx+a,其中|F(0)|≤1, |F(1)|≤1, |F(-1)|≤1,证明: 对于|x|≤1有: (1)|F(x)|≤

2

2

5 ; 4

(2)|G(x)|≤2。

3

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7. 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), f ( x) 的导数为 f ?( x) . 若 | f (0) |? 1, f ?(0) ? 0, f (1) ? 0. 则: (1)求 f ( x) 的解析式; (2)对于任意的 x1 , x2 ? [0,1] ,求证:① | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 2 | x2 ? x1 | ;② | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 1 .

8. 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?ax ,其中 0 ? a ? 1 为常数. (1)解不等式 f ( x) ? o ; (2)试推断函数 f ( x) 是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,说明理由.

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