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高一数学抛物线及其标准方程2


2.4.1抛物线及其 标准方程

喷泉

复习回顾: 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征:
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时,是双曲线;
l

l
M M

l

F ·

F

·
e>1

·
M

· F

0< e < 1

e=1

那么,当e=1时,它又是什么曲线 ?

是不经过点 F 的定直线。 H 是L上 任意一点,过点 F 作MH ? L,线段FH的垂直平分线m交 MH于点M,拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M 满足的几何条件吗? L M H F
几何画板观察

提出问题: L 如图,点 F是定点,

问题探究: 当e=1时,即|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么?

探 究 ?

H

M

·

C

·
F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,

H

d

M

·

C

·
F

焦 点

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

MF 即:若 ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d

d 为 M 到 l 的距离

那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?

二、标准方程的推导
解法一:以 L 为 y轴,过点 F 垂直于L的直线为 x 轴建 立直角坐标系(如下图所示),则定点F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y) ,由抛物线定义得:?

( x ? p) ? y ? x
2 2

y

. M(X,y)

化简得:y ? 2 px ? p ( p ? 0)

2

2

O

.
l

F

x

二、标准方程的推导
解法二:以定点 F 为原点,过点 F 垂直于 L的直线为x轴建 立直角坐标系(如下图所示),则定点F (0,0) , L 的方程 为x ? ?p
设动点 M ( x, y),由抛物线定义得

x2 ? y2 ? x ? p
化简得:

y

2

? 2 px ? p ( p ? 0)

2

二、标准方程的推导 解法三:以过F且垂直于 l 的直 y
M(x,y)
K o F 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M( x, y) , FK ? p ,

l

p p 则焦点 F ( ,0) ,准线 l : x ? ? 2 2
依题意得

p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2

两边平方,整理得

y ? 2 px( p ? 0)
这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离

p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也
会使抛物线方程的形式简单 ?
y y y

﹒ ﹒﹒ ﹒
o
x

o

x

o

x

o

y

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

图 形
l

标准方程

焦点坐标

准线方程

y
O

F
l
O

x

y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

四.四种 p 抛物线的 x?? 2 对比
p x? 2
P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离 方程的特点: (1)左边是二次 式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.

y
F

x

y
F
O

l

x

p y?? 2 p y? 2

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

P66思考:
二次函数 y 是抛物线?
2

? ax 2 ( a ? 0) 的图像为什么
2

1 1 y ? ax ( a ? 0) ? x ? y ? ? ?2 p a a
当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a

y

y=ax2

y=ax2+c y=ax2+bx+c

o

x

例1
(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线:x =-
2 3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程 x 2 =-8 y 看图 (3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =- 4 x 线的标准方程 看图 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程 9 4 2 2 看图 y = 3 x或 x = 2 y

课堂练习: 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x = ? ; (3)焦点到准线的距离是2。 (1)y2 = 20x
(1)

4

y2 =12x y2 =x

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(2)x2=

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
1 y (3)2y2 +5x =0 2

(4)x2 +8y =0

焦点坐标
(2)
(3) (4)

准线方程

x=-5 ( 5, 0) 1 1 y= - — ( 0 , —) 8 5 8 5 (- —,0) x= — 8 8 (0,-2) y=2

例2:一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口(直径) 为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系,求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
A

o

.F
B

x

解:如上图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y ? 2 px( p ? 0) ,由已知条件 可得,点A的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得 即 p ? 5.76
2

2.4

2

? 2 p ? 0.5
2

所以,所求抛物线的标准方程是 y ? 11.52x , 焦点的坐标是 (2.88,0)

学习小结:
1.抛物线的定义:

2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.

3.p的几何意义是: 焦

点到准线的距离

4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.

选做作业: 1.抛物线 y ? 16 x 2 的焦点坐标是( D )

1 (A) (4,0) (D) (0, ) (B)(0,4) 64 2. 平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x ? 2 y ? 3 距离相等的点的轨迹为( A )
(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆

1 (C )( ,0) 64

1 2 (?2,1) 3.抛物线 y ? x ? x ? 1 的焦点坐标为_______. 4

(2000.全国)过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点F 作一条直线

2

Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为p, q , 交抛物线于 P , 1 1 则 ? 等于( C ) p q 1 4 A. 2a B. 2a C. 4a D.

a

分析:抛物线

1 焦点为 F (0, ). 4a

y

2

? ax(a ? 0)的标准方程为x

2

1 ? y ,其 a

y

取特殊情况,即直线PQ 平行与 x 轴, 1 1 则 p ? q ,如图。 ? PF ? PM ,? p ? ? 4a 4a 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? 4a 故 p q p p p

P
M

F
O

Q

x
N

y

l

o
F(0,-2)

x

解:(2)因为焦点在 y 轴的负半轴上, p 并且 2 = 2,p = 4 ,所以所求抛物线的 标准方程是 x2 =-8y .

返回

y

l
x
X=1

F

o

解:(3)因为准线方程是 x = 1,所以 p =2 ,且焦点在 x 轴的负半轴上,所以 所求抛物线的标准方程是 y2 =-4x .

返回

解:(4)因为(3,2) 点在第一象限,所以 抛物线的开口方向只 能是向右或向上,故 设抛物线的标准方程 是 y2 = 2px(p>0), 或 x2 = 2py(p>0), 将(3,2)点的坐标 分别代入上述方程可 得抛物线的标准方程 9 4 2 2 为 y = 3 x或 x = 2 y

y
(3,2)

o

x

返回

; http://www.qixiangwang.cn/beijing30tian.htm 北京天气预报30天

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呢?都好点儿了吗?”一个试着走两步,说:“尽管这侧肩膀和腰腿还挺痛,但已经能走了!”另一个说:“我的头也不太晕了。”耿 正说:“你们再歇息一会儿。我先送我妹和我弟回去,然后就返回来。你俩都这样了,我得把你们送回去!”两个伙计都说:“不用送, 我们都好多了,可以自己回去的!”说着再走几步。耿正仔细看看,那个头上被打了个大包的伙计确实走得很稳了。至于那个肩膀和腰 腿受了伤的伙计,走起来虽然还有点儿一瘸一拐的,但也问题不大了,就问:“真不用我送了?”俩人都说:“不用送了,真得不用送 的!”耿正说:“那咱们现在就都回吧,两位老人有他们的两家邻居照看就行了。”说着,耿正扶着那个脑袋受伤的伙计,耿英和耿直 扶着那个一瘸一拐的伙计,一行人慢慢地走出门来往巷子口走去。一个伙计说:“说好了不送的,你们怎么?”另一个伙计说:“就是, 你们也回吧!”耿正说:“走吧,就送到巷子口上!”耿直问:“哥哥,那梁爷爷和梁奶奶他们没有儿女吗?”耿正说:“听那意思, 不像是有呢!”耿英说:“真够可怜的!”那个一瘸一拐的伙计也说:“唉,这可真是‘阎王爷不嫌鬼瘦’,这可恶的贼偏偏还偷了他 们!”“是啊,可怜的善良老人!”耿正叹息着,大家已经走到巷子口上了,兄妹三人放开手。耿正说:“你俩可要慢点儿走啊!”俩 人都说:“没事儿!你们也快回去吧!”看俩人慢慢地走远了,耿英放心地说:“看样子,他俩真没事儿了!”耿正轻轻地叹一口气说: “唉,大事儿是没有,但恐怕会痛几天呢。哼,这个可恨的窃贼!”说完,伸手揽过弟弟和妹妹的肩膀慢慢转回巷子里来。走到被窃小 院儿的门口时,耿正站住了,自言自语地说:“再进去看看,也解决不了什么问题了。”长叹一声,他上前来轻轻拉上院门儿。然后, 紧攥着弟弟和妹妹的手快步往出租房走去。太晚了,善良的房东夫妇还给他们留着门儿呢!兄妹三人急匆匆赶到小巷儿尽头,轻轻地推 开院门儿,轻手轻脚地走了进去。耿正回身轻轻关好院门儿,三人悄悄地回到了出租房内。他们实在是太累了,谁也没有提洗漱的事儿, 就一头和衣倒在床上呼呼大睡了。耿正一觉醒来,发现已经日上三竿了。他看一看身旁弟弟还在酣睡,想到今儿不用再去酒店上班了, 就静静地躺着没有动。忽然,听到院子里房东夫妇俩正在压低嗓音儿说话呢!丈夫说:“喏,你要的菜都买回来了!”妻子问:“怎么 走了这么长时间?”“呵,你不知道,巷子口上老梁头家昨儿个晚上遭贼了,听说还是咱家住的这个小哥儿给打跑的呢!我听了一会儿, 所以回来晚了。”“噢,我说呢,他们昨儿个晚上怎么回来的那么晚。你看,到这个时辰了还没有睡醒呢!”“是啊,这兄妹三个可真 不容易,每天都


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