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福建省福州市2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


福建省福州市 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (2015 春?福州期末) A. B. 的值为( ) ﹣ C. D. ﹣

考点:诱导公式的作用. 专题:计算题. 分析:直接根据诱导公式转化求解计算即可. 解答: 解:∵tan =tan(3π﹣ )=﹣tan =﹣ .

故选:D. 点评:本题考查诱导公式的应用:求值.此类题一般依照“负角化正角,大角化小角”的顺序进 行角的转化. 2. (2007?怀柔区模拟)cos20°cos25°﹣sin20°sin25°的值为( A. 0 B. 1 C. ) D.

考点:两角和与差的余弦函数. 专题:计算题. 分析:直接利用两角和的余弦公式代入即可求出结论. 解答: 解:因为 cos20°cos25°﹣sin20°sin25° =cos(20°+25°) = .

故选:C. 点评:本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用.在应用两角和与差的余弦公式时,一定 要注意公式中的符号的写法,避免出错.

3. (2015 春?福州期末)若 A(﹣1,1) ,B(1,3) ,C(x,5) ,且 等于( A. ) 1 B. 2 C.

=

,则实数 λ D. 4

3

考点:向量数乘的运算及其几何意义. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:求出向量 、 ,由 = ,列出方程,求出 λ 的值.

解答: 解:∵A(﹣1,1) ,B(1,3) ,C(x,5) ,

∴ 又

=(2,2) , = ,

=(x﹣1,2) ,

∴(2,2)=λ(x﹣1,2) , ∴2=2λ, 解得 λ=1. 故选:A. 点评:本题考查了平面向量的坐标运算问题,是基础题目.

4. (2015 春?福州期末)化简 A. B. C.

的结果为(

) D.

考点:向量加减混合运算及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的三角形法则即可得出. 解答: 解: = = = . + + + +

故选:B. 点评:本题考查了向量的三角形法则,属于基础题. (k∈Z) ,则 sinα,cosα,tanα

5. (2015 春?福州期末)若 的大小关系为( A. C. )

tanα>sinα>cosα B. tanα>cosα>sinα tanα<sinα<cosα D. tanα<cosα<sinα

考点:三角函数线. 专题:三角函数的求值. 分析:利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线,即可得出结论. 解答: 解:∵ (k∈Z) ,

所以在单位圆中,做出角 α 的正切线、正弦线、余弦线,

可得正切线最长,余弦线最短, 所以有 tanα>sinα>cosα, 故选:A 点评:本题考查利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大 小. 6. (2007?怀柔区模拟)使函数 y=sin(2x+φ)为奇函数的 φ 值可以是( A. B. C. π ) D.

考点:正弦函数的奇偶性. 专题:计算题. 分析:利用定义域包含 0 的函数 f(x)为奇函数的条件是 f(0)=0,求得 sin φ=0,结合所给 的选项可得结论. 解答: 解:定义域包含 0 的函数 f(x)为奇函数的条件是 f(0)=0,要使函数 y=sin(2x+φ) 为奇函数, 需 sin(2×0+φ)=sin φ=0,即 sin φ=0,故 φ=kπ, 故选 C. 点评:本题考查奇函数的定义和性质,利用了定义域包含原点的函数 f(x)为奇函数的条件 是 f(0)=0 求得. 7. (2015 春?福州期末)已知 α 的终边在第一象限,则角 A. C. 考点:象限角、轴线角. 专题:三角函数的求值. 分析:用不等式表示第一象限角 α, 再利用不等式的性质求出满足的不等式, 从而确定角 终边在的象限 解答: 解:∵α 是第一象限角, ∴2kπ<α<2kπ+ 则 kπ< <kπ+ ,k∈Z, ,k∈Z, 的 的终边在( )

第一象限 B. 第二象限 第一或第三象限 D. 第一或第四象限



的终边的位置是第一或第三象限,

故选:C. 点评:本题考查象限角的表示方法,不等式性质的应用,通过角满足的不等式,判断角的终 边所在的象限.

8. (2012?马鞍山二模) 为得到函数 A. 长度单位 C. 个长度单位

的图象, 只需将函数 y=sinx 的图象 ( 向左平移 个长度单位 B. 向右平移

) 个

向左平移

个长度单位

D. 向右平移

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题. 分析:利用诱导公式将 y=cos(x+ 解答: 解:∵y=cos(x+ =cos(﹣x﹣ =sin[ ) )] ) )转化为 y=sin(x+ ) ,利用平移知识解决即可.

﹣(﹣x﹣ ) ,

=sin(x+

∴要得到 y=sin(x+ 故选 C.

)的图象,只需将函数 y=sinx 的图象向左平移

个长度单位,

点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,将 y=cos(x+ 是关键,考查理解与转化的能力,属于中档题.

)转化为 y=sin(x+



9. (2013?北京校级模拟)如图所示,向量 上且 ,则( )

,A,B,C 在一条直线

A. D.

B.

C.

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:计算题. 分析:由 解答: 解:由 即 2 =﹣ +3 ,∴ 故选 A. 点评:本题考查平面向量基本定理及其意义,由 ( ) ,是解题的突破口. 得 =﹣3 得 得 , =﹣3( =﹣3( ) ,解出 ,即得答案. =﹣ +3 ,

) ,∴2

10. (2015 春?福州期末)化简 A. 2cos2 考点: 专题: 分析: 解答: ﹣2sin2

,得到( B.﹣2cos2

) C. 2sin2 D.

三角函数的化简求值. 三角函数的求值. 利用三角函数的基本关系式以及倍角公式对被开方数分解因式,化简即得. 解: = + =

=|sin2+cos2|+|sin2﹣cos2|(



=sin2+cos2+sin2﹣cos2 =2sin2; 故选 C. 点评: 本题考查了三角函数的基本关系式、倍角公式以及三角函数符号的运用;关键是正 确化简,明确 2 的三角函数符号,正确去绝对值. 11. (2012?监利县校级模拟)函数 的定义域是( )

A.

B.

C.

D.

考点:函数的定义域及其求法. 专题:计算题;综合题. 分析:直接求无理式的范围,解三角不等式即可. 解答: 解:由 2cosx+1≥0 得 ,∴ ,k∈Z.

故选 D. 点评:本题考查函数的定义域,三角不等式(利用三角函数的性质)的解法,是基础题.

12. (2015 春?福州期末)已知平面内的向量 =0,且 与 的夹角为 60°,又 ) B. =λ +λ

满足:|

|=1, (

+

)?(





,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,则由满足条件的点 P

所组成的图形的面积是( A. 2

C.

1

D.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据条件建立平面直角坐标系,将满足不等式表示的可行域表示出来,从而将 P 点对 应的图形描述出来,即可求解. 解答: 解:∵| |=1, ( + )?( ﹣ )=0,得到 ,即 OA=OB,且 与

的夹角为 60°, 三角形 AOB 是等边三角形,则不妨以 O 为原点,以 OA 方向为 x 轴正方向,建立坐标系,如 图 则 又 令 =(1,0) , =λ +λ ,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2, =(λ1 λ2, λ2)

=(x,y) ,则



,∴



由于 0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,



其表示的平面区域如图示: 由图可知阴影部分的面积为 故选 D. = .

点评:本题主要考查平面区域的面积问题,是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关 键是正确地画出平面区域,然后结合有关面积公式求解. 二、填空题(本题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. (4 分) (2015 春?福州期末)与﹣2015°终边相同的最小正角是 145° . 考点:终边相同的角. 专题:三角函数的求值. 分析:先说明 145°与﹣2015°终边相同,再说明在[0°,360°)上,只有 145°与 2015°终边相同. 解答: 解:∵﹣2015°=﹣6×360°+145°, ∴145°与﹣1000°终边相同,又终边相同的两个角相差 360°的整数倍, ∴在[0°,360°)上,只有 145°与﹣1000°终边相同, ∴与﹣2015°终边相同的最小正角是 145°, 故答案为:145°. 点评:本题考查终边相同的角的概念,终边相同的两个角相差 360°的整数倍.

14. (4 分) (2015 春?福州期末)已知 角是 60° . 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用.

,且| |=3,| |=5,| |=7,则向量 与 的夹

分析:首先利用余弦定理求出以| |,| |,| |为边的三角形内角,然后由向量夹角与三角形内 角的关系求出向量夹角.

解答: 解:由已知

,且| |=3,| |=5,| |=7

则以| |=BC,| |=AC,| |=AB 为边的三角形中 cosC=



所以三角形的内角 C=120°,所以向量 与 的夹角是:60°; 故答案为:60°.

点评:本题考查了平面向量的夹角以及余弦定理的运用;关键是明确三个向量围成的三角形 内角与向量夹角的关系. 15. (4 分) (2015 春?福州期末)函数 y=asinx+bcosx(x∈R)的最大值是 3.则 a +b 的值为 9 . 考点:三角函数的最值. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用辅助角公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的值域求得 a +b 的值. 解答: 解:函数 y=asinx+bcosx= ( sinx+ cosx) ,
2 2 2 2

令 cosθ=

,sinθ=

,则函数 y=
2 2

sin(x+θ) ,

故函数 y 的最大值为

=3,则 a +b 的值为 9,

故答案为:9. 点评:本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题. 16. (4 分) (2015 春?福州期末)如图,已知 O 是△ ABC 内一点,∠AOB=150°,∠AOC=120°, 向量 , 的模分别为 2, 1, 3, 若 =m , 则实数 m+n 的值为 .

考点:平面向量的基本定理及其意义;向量的线性运算性质及几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:求出题意求出∠BOC=90°,由向量的数量积运算化简 列出方程求值,由图象确定 m、n 的值. 解答: 解:∵∠AOB=150°,∠AOC=120°,∴∠BOC=90°, 则 ∵向量 ∴ 化简得, ∵ 则 9=
2

=0,再化简

=0, , 的模分别为 2,1,3,且 ,则 ,① ,∴ ,②, , =m , ,

由①②得,m =9,m=±3, 由图可得 m=﹣3,代入①n=﹣3 ∴m+n= 故答案为: , .



点评:本题考查向量的数量积运算,向量的模的转化,以及向量垂直的充要条件的应用,对 数学思维的要求比较高,难度大,易出错. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (2015 春?福州期末)已知| |=2,| |=3, 与 的夹角为 120°. (Ⅰ)求(3 (Ⅱ)求| ) |的值. 的值;

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: 求解 =| || |cos120°

(I)展开(3 (II)根据| |=

)?(

)=3 =

2

2

,代入即可

求解.

解答: 解:∵| |=2,| |=3, 与 的夹角为 120° ∴ =| || |cos120°=2× )?( |= )=3 =
2

=﹣3,
2

(Ⅰ) (3 (Ⅱ)|

=12﹣15﹣18=﹣21 .

=+9=

点评:本题考察了平面向量的数量积的运用,向量的线性运算,属于中档题. 18. (2015 春?福州期末)已知角 α 的终边过点 P(﹣3,4) . (Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)若 β 为第三象限角,且 tan

,求 cos(2α﹣β)的值.

考点:任意角的三角函数的定义;两角和与差的余弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)首先分别求出 sinα,cosα,tanα,然后利用诱导公式化简式子,代入数值计算; (Ⅱ)由已知 β 为第三象限角,且 tan 值,利用两角差的余弦公式解答. 解答: 解: (Ⅰ)因为角 α 的终边过点 P(﹣3,4) ,所以 sin ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ,cos ,tan ,求出 β 的正弦和余弦值,求出 2α 的正弦和余弦

所以

=

=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(6 分) (Ⅱ)因为 β 为第三象限角,且 tan 分) 由(Ⅰ)知,sin2α=2sinαcosα=﹣ ,cos2α=2cos α﹣1=
2

,所以 sin

,cos

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) = ﹣﹣﹣﹣﹣

所以 cos(2α﹣β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ= ﹣﹣﹣﹣﹣

点评:本题考查了三角函数的坐标法定义以及三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函 数余弦公式的运用;熟记公式,正确运用是关键. 19. (2015 春?福州期末)如图为函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+c(A>0,ω>0,φ>0)图象 的一部分. (Ⅰ)求此函数的周期及最大值和最小值; (Ⅱ)求此函数的单调递增区间.

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由函数的最值求出 A 和 c 的值,由周期求出 ω,可得函数的解析式,进而求 得此函数的周期及最大值和最小值. (Ⅱ)把点(4,1)代入上式求得 φ 的值,再利用正弦函数的单调性求得 f(x)的单调递增 区间. 解答: 解: (Ⅰ)结合图象及解析表达式可知,c=1,A=4﹣1=3. 再根据 ? =12﹣4,求得 ω= = ,故函数 f(x)=3sin( x+φ)+1.

故函数 f(x)的最小正周期为

,最大值为 3+1=4,最小值为﹣3+1=﹣2.

(Ⅱ)把点(4,1)代入上式,可得 sin( 故函数的解析式为:f(x)=3sin( 由 2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ x+

+φ)=0,再根据 φ>0,故可取 φ= )+1. k≤x≤ + k,



,k∈z,求得﹣4+ k, +

即函数 f(x)的单调递增区间为:[﹣4+

k],k∈z.

点评:本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的周期性、最值、 以及单调性,属于中档题. 20. (2015 春?福州期末) (Ⅰ)运用 S(α+β)及 C(α+β)证明:tan(α+β)= (Ⅱ)在△ ABC 中,证明 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式化简 tan(α+β) , 即可证得结论. ;

(Ⅱ)△ ABC 中,由 tanA=﹣tan(B+C) 利用两角和差的正切公式,求得 tanB+tanC=﹣ tanA+tanAtanBtanC,代入要证等式的左边,即可证得结论. 解答: (Ⅰ)证明:∵tan(α+β)

=

=

=

=

, ∴tan(α+β)= . ,

(Ⅱ)证明:△ ABC 中,tanA=﹣tan(B+C)=﹣

∴tanB+tanC=﹣tanA+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanA﹣tanA+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 成立. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的三角公式,属于基础题.

21. (2015 春?福州期末)已知| |=4,| |=3,且向量 与 互相垂直. (Ⅰ)若向量 =3k +4k (k∈R) ,且| |=12 (Ⅱ)若向量 满足( ) ,求|k|的值; ,求| |的取值范围.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)建立坐标系设出 , , 坐标,用| |=12 ,求出|k|的值;

(Ⅱ)利用向量垂直数量积为 0,得到 的坐标关系式,利用其几何意义求最值. 解答: 解:据题意:建立坐标系.不妨设 =(4,0) , =(0,3) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) (Ⅰ) 向量 =3k +4k =(12k,12k) ∴| |= 解得|k|=1﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (Ⅱ) 设 =(x,y) ,则 由( ) ,得到( ) =(4﹣ =12 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

x)x﹣(y﹣3)y=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 2 2 即(x﹣2) +(y﹣1.5) =6.25.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

由此可以判定,向量 的起点在原点,终点在以(2,1.5)为圆心,半径为 2.5 的圆上,注意 到原点也在此圆上, 所以,| |的取值范围[0,5].﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 点评:本题考查了平面向量的坐标运算、模的计算以及向量垂直的性质运用,用到了几何意 义求模的范围;属于中档题.

22. (14 分) (2015 春?福州期末) 已知向量 = ( cos2mx)x∈R,m∈R,函数 f(x)= (Ⅰ)当 m=1 时,x (Ⅱ)当 m= .



) , ﹣

) ,= (

sin (

+mx) ,

时,求 f(x)的最大值和最小值;

时,若 f(x)在区间[0,2015]恰有 2015 个零点,求整数 n 的所有取值.

考点:平面向量数量积的运算;函数零点的判定定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题:平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由已知求出函数解析式并化简,利用正弦函数的性质求 f(x)的最大值和最 小值; (Ⅱ)讨论 n 的符号,利用函数在区间[0,2015]恰有 2015 个零点,确定 n 值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)= =2sin (mx+ =1﹣cos( =sin2mx﹣
2

=



) (

sin(

+mx)﹣

cos2mx

)﹣ +2mn)﹣ cos2mx+1

cos2mx cos2mx

=2sin(2mx﹣

)+1﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) )+1;当 x 时,2x﹣ ∈[ , ],∴f(x)

当 m=1 时,f(x)=2sin(2x﹣ ∈[2,3]. 故当 x (Ⅱ) 当 m=

时,f(x)的最大值为 3,最小值为 2.﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 时,f(x)=2sin(nπx﹣ )=﹣ =2kπ 或 nπx﹣ =2kπ﹣ ,k∈Z, )+1

由 f(x)=0,则 sin(nπx﹣ ①当 n>0 时,T= ,nπx﹣ 所以 x= 或 x=

,k∈Z

依题意得 即

所以

又 n∈Z,

所以 n=1.﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ②当 n<0 时,T= 所以﹣πx+ 所以 x= 依题意得 即 = 或 x= ,sin(﹣nπx+ 或﹣nπx+ = ,k∈Z )= ,k∈Z

所以

又 n∈Z,所以 n=﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣(13 分)

③当 n=0 时,显然不合题意. 综上得:n=±1.﹣﹣﹣﹣﹣1(4 分) 点评:本题考查了平面向量的数量积以及三角函数式的化简、正弦函数的性质以及讨论思想 的运用,属于难题.


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