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【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1


2.4 抛物线 . 2.4.1 抛物线及其标准方程 .

学习目标 1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形. .掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形. 2.会求出抛物线的方程. .会求出抛物线的方程. 3.会利用抛物线的定义和标准方程解决简单的 . 实际问题. 实际问题.

课前自主学案
2.4.1 抛物 线及 其标 准方 程

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.二次函数的图象是_______. .二次函数的图象是 抛物线 . 2.y=x2+2的最小值是 2 . = 的最小值是__. 的最小值是 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是 .二次函数 = + ≠ 的对称轴是

b x=- =- 2a _________.

知新益能 1.抛物线的定义 . 平面内与一个定点F和一条定直线 不经过点 平面内与一个定点 和一条定直线l(l不经过点 和一条定直线 不经过点F) 距离_____的点的轨迹叫做抛物线. 距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛 的点的轨迹叫做抛物线 叫做抛 物线的_____,直线 叫做抛物线的 叫做抛物线的_____. 物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 .

2.抛物线的标准方程 .
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y =2px(p>0)

2

p ( ,0) 2 ______

p x=- =- 2

p y =- =-2px(p>0) (- ,0) - 2
2

p x= = 2 _____

图形

标准方程

焦点坐标 准线方程 p (0, ) , 2 p y=- =- 2

x =2py(p>0)

2

x =- =-2py(p>0)

2

p (0,- ) ,- 2

p y= = 2 ____

问题探究 在抛物线定义中,若去掉条件“ 不经过点 不经过点F” 在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点 ”, 点的轨迹还是抛物线吗? 点的轨迹还是抛物线吗? 提示:不一定是抛物线.当直线 经过点 经过点F时 提示:不一定是抛物线.当直线l经过点 时,点 的轨迹是过定点F且垂直于定直线 的一条直线 的轨迹是过定点 且垂直于定直线l的一条直线; 且垂直于定直线 的一条直线; l不经过点 时,点的轨迹是抛物线. 不经过点F时 点的轨迹是抛物线. 不经过点

课堂互动讲练

考点突破 求抛物线的标准方程 求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法. 求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法.由 于标准方程有四种形式, 于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先 确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式 确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式, 然后再利用已知条件确定p的值. 然后再利用已知条件确定 的值. 的值

求满足下列条件的抛物线的标准方程: 例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点 -3,2); 过点(- 过点 ; (2)焦点在直线 -2y-4=0上. 焦点在直线x- - = 上 焦点在直线 【思路点拨】 思路点拨】 首先判断焦点可能存在的位置, 首先判断焦点可能存在的位置,

设出适当的方程的形式,然后求出参数 即可 即可. 设出适当的方程的形式,然后求出参数p即可.

【解】 (1)当抛物线的焦点在 x 轴上时, 当抛物线的焦点在 轴上时, =-2px(p>0), 可设抛物线方程为 y2=- , 2 把点(- 把点 -3,2)代入得 2 =- ×(-3),∴p= , 代入得 =-2p× - , = 3
2

4 ∴所求抛物线方程为 y =- x. 3
2

轴上时, 当抛物线的焦点在 y 轴上时, 可设抛物线方程为 x2=2py(p>0), , 9 代入得(- 把(-3,2)代入得 -3) =2p×2,∴p= , - 代入得 × , = 4
2

9 ∴所求抛物线方程为 x = y. 2
2

4 9 2 综上, 综上,所求抛物线的方程为 y =- x 或 x = y. 3 2
2

(2)直线 x-2y-4=0 与 x 轴的交点为 直线 - - = 轴的交点为(4,0),与 y , 轴的交点为(0,- ,-2),故抛物线焦点为(4,0)或(0, 轴的交点为 ,- ,故抛物线焦点为 或 , -2), , 2 当焦点为(4,0)时, 当焦点为 时 设抛物线方程为 y =2px(p>0), , p ∵ =4,∴p=8,∴抛物线方程为 y2=16x; , = , ; 2 当焦点为(0,- ,-2)时 当焦点为 ,- 时, =-2py(p>0), , 设抛物线方程为 x2=- p =-2, = , =-8y. ∵- =- ,∴p=4,∴抛物线方程为 x2=- 2 综上, =-8y. 综上,所求抛物线方程为 y2=16x 或 x2=-

互动探究1 互动探究

若本例第(2)题改为“ 若本例第 题改为“准线与坐标轴的 题改为

交点在直线x- - = 上 交点在直线 -2y-4=0上”,求抛物线的标准方 程. 解:直线x-2y-4=0与x轴的交点是 轴的交点是(4,0),与y轴 直线 - - = 与 轴的交点是 , 轴 的交点是(0,- , 的交点是 ,-2), ,- 则抛物线的准线方程为x= 或 =- =-2. 则抛物线的准线方程为 =4或y=- 当准线方程为x= 时 可设方程为y =-2px(p>0), 当准线方程为 =4时,可设方程为 2=-

p =-16x. 则 =4,∴p=8,∴抛物线方程为 y2=- , = , 2 当 准 线 方 程 为 y = - 2 时 , 可 设 方 程 为 x2 = 2py(p>0), , -p 2 =-2, = , 则 =- ,∴p=4,∴抛物线方程为 x =8y. 2 综上, =-16x 或 x2=8y. 综上,抛物线的标准方程为 y2=-

抛物线定义的应用 对于抛物线中最值问题, 对于抛物线中最值问题,应利用抛物线的定义 把到焦点的距离化为到准线的距离, 把到焦点的距离化为到准线的距离,到准线的 距离化为到焦点的距离. 距离化为到焦点的距离.

例2

上的一个动点, 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, )

到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距 则点 P 到点 的距离与 离之和的最小值为( 离之和的最小值为 17 A. 2 C. 5

B.3 . 9 D. 2 解答本题要利用抛物线的定义把

【思路点拨】 思路点拨】

到抛物线准线的距离转化成点P到焦点的距离 点P到抛物线准线的距离转化成点 到焦点的距离 到抛物线准线的距离转化成点 到焦点的距离, 再利用三角形知识求最小值. 再利用三角形知识求最小值.

【解析】 由抛物线的定义可知, 解析】 由抛物线的定义可知, 抛物线上的点到准线的距离等于 到焦点的距离. 由图可知, 到焦点的距离 由图可知,P 点, 1 (0,2)点和抛物线的焦点 F( ,0)三点共线时距离 点和抛物线的焦点 三点共线时距离 2 之和最小. 之和最小. 所以最小距离 d= =
【答案】 答案】 A

17 12 2 . (0- ) +(2-0) = - - ) 2 2

互动探究2 互动探究

本例中若将点(0,2)改为点 改为点A(3,2),求 本例中若将点 改为点 ,

|PA|+|PF|的最小值. + 的最小值. 的最小值

由定义知, 抛物线上点 P 到焦点 解: 由定义知, F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d, , 由图可知,求 |PA|+ |PF|的问题可转 由图可知, + 的问题可转 化为求|PA|+d 的问题. x=3 代入 化为求 + 的问题. 将 = 2 抛物线方程 y =2x,得 y=± 6. , = 在抛物线内部. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. , 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,如图可知,当 PA 由定义知 + = + ,如图可知, 1 7 ⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 +3= . + 最小, = 2 2

与抛物线相关的应用问题 涉及桥的高度、隧道的高低问题,通常用抛物 涉及桥的高度、隧道的高低问题, 线的标准方程解决.建立直角坐标系后,要注 线的标准方程解决.建立直角坐标系后, 意点的坐标有正负之分, 意点的坐标有正负之分,与实际问题中的数据 并不完全相同. 并不完全相同.

例3 某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面 某河上有一座抛物线形的拱桥,

距拱顶5米时,水面宽 米 一木船宽4米 距拱顶 米时,水面宽8米.一木船宽 米,高2 米时 米,载货的木船露在水面上的部分为0.75米, 载货的木船露在水面上的部分为 米 当水面上涨到与拱顶相距多少时, 当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不 能通航? 能通航? 【思路点拨】 思路点拨】 先建立平面直角坐标系, 先建立平面直角坐标系,确定 抛物线的方程,由对称性知,木船的轴线与 轴 抛物线的方程,由对称性知,木船的轴线与y轴 重合,问题转化为求出 = 时的 时的y值 重合,问题转化为求出x=2时的 值.

【 解】

以桥的拱顶为坐标原点, 以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直

轴建立直角坐标系(如图 如图). 线为 y 轴建立直角坐标系 如图 .

=-2py(p>0), , 设抛物线的方程是 x2=- ,-5)在抛物线上 由题意知 A(4,- 在抛物线上, ,- 在抛物线上, 8 =-2p× - ? = 故:16=- ×(-5)?p= , =- 5

16 则抛物线的方程是 x =- y(-4≤x≤4), - ≤ ≤ , 5
2

设水面上涨, 木船面两侧与抛物线形拱桥接触于 设水面上涨, B、B′时,木船开始不能通航. 、 ′ 木船开始不能通航. 16 5 设 B(2,y′),∴2 =- y′?y′=- . , ′, ′ ′ 5 4
2

米时, 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时, 木船开始不能通航. 木船开始不能通航.

【名师点评】 名师点评】

(1)本题的解题关键是把实际问题 本题的解题关键是把实际问题

转化为数学问题,利用数学模型, 转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言 (文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决 文字、符号、图形、字母等 表达 分析、 表达、 文字 问题. 问题. (2)在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点 在建立抛物线的标准方程时, 在建立抛物线的标准方程时 为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系 为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系. 这样可使得标准方程不仅具有对称性, 这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线 过原点,方程不含常数项,形式更为简单, 过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于 应用. 应用.

变式训练3 变式训练

喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶部 喷灌的喷头装在直立管柱 的顶部

A处,喷出的水流的最高点为 ,距地面 m,且 处 喷出的水流的最高点为B,距地面5 , 与管柱OA相距 为圆心, 与管柱 相距4 m,水流落在以 为圆心,半径 相距 ,水流落在以O为圆心 的圆上, 的长. 为9 m的圆上,求管柱 的长. 的圆上 求管柱OA的长

解:如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线 如图所示,建立平面直角坐标系, =-2py(p>0). 的方程为 x2=- . ,-5)在抛物线上 又点 C(5,- 在抛物线上, ,- 在抛物线上,

=-2p·(-5),2p=5,即 x2=- =-5y. ∴25=- =- - , = , 点 A(-4,y0)在抛物线上, - , 在抛物线上, 在抛物线上 16 =-5y =-3.2, ∴16=- 0,y0=- =- , =- 5 ∴|OA|=5-3.2=1.8(m), = - = , 即管柱 OA 的长是 1.8 m.

方法感悟 1.(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离,所以 的 . 是抛物线的焦点到准线的距离, 是抛物线的焦点到准线的距离 所以p的 值永远大于0.特别注意, 值永远大于 特别注意,当抛物线标准方程的一次 特别注意 项系数为负时,不要出现错误. 项系数为负时,不要出现错误. (2)只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物 只有顶点在坐标原点, 只有顶点在坐标原点 线方程才有标准形式. 线方程才有标准形式. (3)抛物线的开口方向取决于一次项变量 或y)的取 抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或 的取 抛物线的开口方向取决于一次项变量 值范围.如抛物线 =-2y,一次项变量y≤ , 值范围.如抛物线x2=- ,一次项变量 ≤0,所 以抛物线开口向下. 以抛物线开口向下.

2.标准方程中只有一个参数p,求抛物线的标准 .标准方程中只有一个参数 , 方程,只需求出 的值即可 常用待定系数法. 的值即可, 方程,只需求出p的值即可,常用待定系数法. (1)用待定系数法求抛物线标准方程时,一定先确 用待定系数法求抛物线标准方程时, 用待定系数法求抛物线标准方程时 定焦点位置与开口方向,如果开口方向不确定时, 定焦点位置与开口方向,如果开口方向不确定时, 可设所求抛物线方程为y 可设所求抛物线方程为 2=ax(a≠0),或者 2=ay ≠ ,或者x (a≠0); ≠ ; (2)当抛物线不在标准位置时,用定义来求. 当抛物线不在标准位置时,用定义来求. 当抛物线不在标准位置时


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