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变化率与导数作业题及解答


变化率与导数作业题
一、选择题: 选择题: 1.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0= 设 = , ′ = , A.e2 . B.e . ln2 C. 2 D.ln2 . ( )

2.设 f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N, . = , = , = , = , ∈ , 则 f2010(x)= = A.sinx . B.- .-sinx .- C.cosx . D.- .-cosx .- ( )

5π sinθ 3cosθ f′(1) 3. . (2009安徽高考 设函数 f(x)= 安徽高考)设函数 , 其中 θ∈[0, ], ∈ , , 安徽高考 = 3 x3+ 2 x2+tanθ, 12 则导数 ′ 的取值范围是 A.[-2,2] .- B.[ 2, 3] . , C.[ 3,2] . , D.[ 2,2] . , ( ) ( )

x 4.(2009辽宁高考 曲线 y= 辽宁高考)曲线 = 在点(1, 处的切线方程为 -1)处的切线方程为 辽宁高考 在点 , - x-2 - A.y=x-2 . = - C.y=2x-3 . = - B.y=- +2 . =- =-3x+ D.y=- +1 . =- =-2x+

5.(2010福建四地六校联考 下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直 . 福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中 福建四地六校联考 下列曲线的所有切线构成的集合中, 的切线的曲线是 A.f(x)=ex . = B.f(x)=x3 . = C.f(x)=lnx . = D.f(x)=sinx . = ( )

1 6.下图中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 f′(x)的图 下图中, 下图中 =3 + ∈ , ≠ 的导函数 ′ 的图 象,则 f(-1)= - = ( )

A. .

1 3

1 B.- .- 3

7 C. 3

1 5 D.- 或 .- 3 3

7. (2010开原模拟 设 a>0,f(x)=a2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾 . 开原模拟)设 > , = 开原模拟 + , = 在点 处切线的倾 π 斜角的取值范围为[0, , 对称轴距离的取值范围为( 斜角的取值范围为 , 4],则点 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为 = 对称轴距离的取值范围为 1 A.[0,a] . , 1 B.[0, ] . , 2a b C.[0,| |] . , 2a b-1 - D.[0,| . , |] 2a ( ) )

8. 曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 = - 上的点到直线 - + = A. 5 二、填空题: 填空题: B.2 5 . C.3 5 . D.0 .

9 . (2009 宁 夏 、 海 南 高 考 ) 曲 线 y = xex + 2x + 1 在 点 (0,1) 处 的 切 线 方 程 为 ________________. . 10.(2009福建高考 若曲线 f(x)=ax2+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范 . 福建高考)若曲线 轴的切线, 福建高考 = 围是________. 围是 . 三、解答题: 解答题: 11.设 f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,试确定常数 a,b,c,d,使得 f′(x)=xcosx. 设 = + + + , , , , , ′ =

的图象的一个公共点, 12.设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点,两函数 . ≠ , = 是函数 = 处有相同的切线. 的图象在点 P 处有相同的切线.试用 t 表示 a,b,c. , ,

13.已知函数 f(x)=x3+x-16. . = - (1)求曲线 y=f(x)在点 ,- 处的切线的方程; 求曲线 = 在点 ,-6)处的切线的方程 在点(2,- 处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 直线 的切线, 的方程及切点坐标; = 的切线 且经过原点, 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 如果曲线 = 的某一切线与直线 =- + 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4

14.已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线 m:y=kx+9, 已知函数 = - , = + , : = + , 又 f′(-1)=0. ′- = (1)求 a 的值; 求 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如 是否存在 的值, 的切线, 的切线? = 的切线 = 的切线 果存在, 的值;如果不存在,请说明理由. 果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

变化率与导数作业题及解答
一、选择题: 选择题: 1.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0= 设 = , ′ = , A.e2 . B.e . ln2 C. 2 D.ln2 . ( )

1 解析: ′ = × 解析:f′(x)=x×x+1×lnx=1+lnx,由 1+lnx0=2, × = + , + , 知 x0=e. 答案: 答案:B 2.设 f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N, . = , = , = , = , ∈ , 则 f2010(x)= = A.sinx . B.- .-sinx .- C.cosx . D.- .-cosx .- ( )

解析: ∵ f f 解析: f1(x)=(cosx)′=- = ′=-sinx,2(x)=(-sinx)′=- , =- ′=-cosx,3(x)=(-cosx)′=sinx, , =- ′ , f4(x)=(sinx)′=cosx,…,由此可知 fn(x)的值周期性重复出现,周期为 4, 的值周期性重复出现, = ′ , 的值周期性重复出现 , =-cosx. 故 f2010(x)=f2(x)=- = =- 答案: 答案:D sinθ 3cosθ 5π 3. . (2009安徽高考 设函数 f(x)= 安徽高考)设函数 f′(1) 安徽高考 = 3 x3+ 2 x2+tanθ, , 其中 θ∈[0, ], ∈ , , 12 则导数 ′ 的取值范围是 A.[-2,2] .- B.[ 2, 3] . , C.[ 3,2] . , D.[ 2,2] . , ( )

解析: ′ = , 解析:∵f′(x)=sinθx2+ 3cosθx, π ∴f′(1)=sinθ+ 3cosθ=2sin(θ+3). ′ = + = + . 5π π π 3π ∵θ∈[0,12],∴θ+3∈[3, 4 ]. ∈ , , + . π 2 ∴sin(θ+3)∈[ 2 ,1],∴f′(1)∈[ 2,2]. + ∈ , ′ ∈ , . 答案: 答案:D x 4.(2009辽宁高考 曲线 y= 辽宁高考)曲线 = 在点(1, 处的切线方程为 -1)处的切线方 辽宁高考 在点 , - 处的切线方程为 x-2 - A.y=x-2 . = - C.y=2x-3 . = - B.y=- +2 . =- =-3x+ D.y=- +1 . =-2x+ =- ( )

-2 x 解析: ′ )′= 解析:y′=( ′ ,∴k=y′|x=1=- = ′ =-2. x-2 (x-2)2 - - l:y+1=- -1),即 y=- +1. : + =- =-2(x- , =-2x+ =- 答案: 答案:D

5.(2010福建四地六校联考 下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直 . 福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中 福建四地六校联考 下列曲线的所有切线构成的集合中, 的切线的曲线是 A.f(x)=ex . = B.f(x)=x3 . = C.f(x)=lnx . = D.f(x)=sinx . = ( )

解析:设切点的横坐标为 x1,x2 解析: 则存在无数对互相垂直的切线, =-1 则存在无数对互相垂直的切线,即 f′(x1)f′(x2)=- 有无数对 x1,x2 使之成立 ′ ′ =- 对于 A 由 f′(x)=ex>0, ′ = , =-1 所以不存在 f′(x1)f′(x2)=- 成立; ′ ′ =- 成立; 对于 B 由于 f′(x)=3x2>0, ′ = , =-1 所以也不存在 f′(x1)f′(x2)=- 成立; ′ ′ =- 成立; 的定义域为(0,+ , ,+∞ 对于 C 由于 f(x)=lnx 的定义域为 ,+∞), = 1 ∴f′(x)=x>0, ′ = , 对于 Df′(x)=cosx,∴f′(x1)f′(x2)=cosx1cosx2,当 x1=2kπ,x2=(2k+1)π,k∈Z, ′ = , ′ ′ = , + ,∈ , f′(x1)f′(x2)=- 恒成立. ′ =-1 ′ =- 恒成立. 答案: 答案:D 1 6.下图中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 f′(x)的图 下图中, 下图中 =3 + ∈ , ≠ 的导函数 ′ 的图 象,则 f(-1)= - = ( )

A. .

1 3

1 B.- .- 3

7 C. 3

1 5 D.- 或 .- 3 3

解析: ′ = 解析:∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1), + , 的图象开口向上. ∴导函数 f′(x)的图象开口向上. ′ 的图象开口向上 个图. 又∵a≠0,∴其图象必为第 个图. ≠ , 其图象必为第(3)个图 由图象特征知 f′(0)=0,且-a>0,∴a=- ′ = , > , =-1. =- 1 1 故 f(-1)=-3-1+1=-3. - =- + =- 答案: 答案:B 7. (2010开原模拟 设 a>0,f(x)=a2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾 . 开原模拟)设 > , = 开原模拟 + , = 在点 处切线的倾 π 斜角的取值范围为[0, , 对称轴距离的取值范围为( 斜角的取值范围为 , 4],则点 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为 = 对称轴距离的取值范围为 1 A.[0,a] . , 1 B.[0, ] . , 2a b C.[0,| |] . , 2a b-1 - D.[0,| . , |] 2a )

π 解析: = 在点 处切线的倾斜角的范围为 , , 解析:∵y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围为[0,4],∴0≤f′(x0)≤1, 处切线的倾斜角的范围 ≤′ ≤ , 1-b - b b 1 ≤ , ≤ = 对 即 0≤2ax0+b≤1,∴-2a≤x0≤ 2a ,∴0≤x0+2a≤2a,即点 P 到曲线 y=f(x)对 ≤ 1 称轴的距离的取值范围为[0, . 称轴的距离的取值范围为 ,2a]. 答案: 答案:B 8. 曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 = - 上的点到直线 - + = A. 5 B.2 5 . C.3 5 . D.0 . ( )

解析: 解析:设曲线上过点 P(x0,y0)的切线平行于直线 2x-y+3=0,此切点到直线 2x-y 的切线平行于直线 - + = , - +3=0 的距离最短,即斜率是 2,则 = 的距离最短, , 1 y′|x=x0=[ ′ = (2x-1)′]|x=x0 - ′ = 2x-1 - 2 2 |x=x0= = = =2. 2x-1 2x0-1 - , , , 解得 x0=1,所以 y0=0,即点 P(1,0), 点 P 到直线 2x-y+3=0 的距离为 - + = |2-0+3| - + = 5, , 2 2 +(-1)2 -

∴曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5. = - 上的点到直线 - + = 答案: 答案:A 二、填空题: 填空题: 9 . (2009 宁 夏 、 海 南 高 考 ) 曲 线 y = xex + 2x + 1 在 点 (0,1) 处 的 切 线 方 程 为 ________________. . 解析: ′ , ′ , 解析:y′=ex+xex+2,y′|x=0=3, ∴切线方程为 y-1=3(x-0),∴y=3x+1. - = - , = + 答案:y=3x+1 答案: = + 10.(2009福建高考 若曲线 f(x)=ax2+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范 . 福建高考)若曲线 轴的切线, 福建高考 = 围是________. . 围是 1 解析: ′ = 解析:f′(x)=2ax+x. + ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 存在垂直于 轴的切线, 1 有解, ∴f′(x)=0 有解,即 2ax+x=0 有解, ′ = 有解, + 1 ∴a=-2x2,∴a∈(-∞,0). =- ∈- . 答案: - 答案:(-∞,0) 三、解答题: 解答题:

11.设 f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,试确定常数 a,b,c,d,使得 f′(x)=xcosx. 设 = + + + , , , , , ′ = 解:由已知 f′(x)=[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]′ ′ = + + + ′ =[(ax+b)sinx]′+[(cx+d)cosx]′ + ′ + ′ =(ax+b)′sinx+(ax+b)(sinx)′+(cx+d)′cosx+(cx+d)(cosx)′ + ′ + + ′ + ′ + + ′ =asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx + + + - + =(a-cx-d)sinx+(ax+b+c)cosx. - - + + + 又∵f′(x)=xcosx, ′ = , - = , a-d=0, -c=0, = , 即 a=1, = , b+c=0. +=

a-d-cx=0, - - = , ∴必须有 + + = ax+b+c=x.

解得 a=d=1,b=c=0. = = , = = 的图象的一个公共点, 12.设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点,两函数 . ≠ , 是函数 = = 处有相同的切线. 的图象在点 P 处有相同的切线.试用 t 表示 a,b,c. , , 的图象都过点(t,0), 解:因为函数 f(x),g(x)的图象都过点 , 的图象都过点 , 所以 f(t)=0, = , =-t 即 t3+at=0.因为 t≠0,所以 a=- 2. = 因为 ≠ , =- g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab. = , = , = 在点(t,0)处有相同的切线, 处有相同的切线, 又因为 f(x),g(x)在点 , 在点 处有相同的切线 所以 f′(t)=g′(t). ′ = ′ . , ′ = , 而 f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx, ′ = 所以 3t2+a=2bt. = =-t =-t 将 a=- 2 代入上式得 b=t.因此 c=ab=- 3. =- = 因此 = =- =-t =-t 故 a=- 2,b=t,c=- 3. =- = , =- 13.已知函数 f(x)=x3+x-16. 已知函数 = - (1)求曲线 y=f(x)在点 ,-6)处的切线的方程; 求曲线 = 在点(2,- 处的切线的方程; 在点 ,- 处的切线的方程 (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 直线 的切线, 的方程及切点坐标; = 的切线 且经过原点, 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 如果曲线 = 的某一切线与直线 =- + 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 可判定点(2,- 解:(1)可判定点 ,- 在曲线 y=f(x)上. 可判定点 ,-6)在曲线 = 上 ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ′ = - ′ , ,-6)处的切线的斜率为 = ′ = ∴在点(2,- 处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. 在点 ,- ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), = - +- , 即 y=13x-32. = -

(2)法一:设切点为(x0,y0), 法一:设切点为 法一 , 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3 x0 +1, ′ = , ∴直线 l 的方程为 y=(3 x0 +1)(x-x0)+ x0 +x0-16, = - + , 过点(0,0), 又∵直线 l 过点 , ∴0=(3 x0 +1)(-x0)+ x0 +x0-16, = - + , 整理得 =-8, =-2, 整理得, x0 =- ,∴x0=- , =-26, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=- , - - - =- k=3×(-2)2+1=13. = ×- = ,-26). ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为 -2,- . = ,切点坐标为(- ,- 法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), 法二: = ,切点为 ,
3 y0-0 x0 + x0 16 = , 则 k= = x0 - 0 x0
3 2 3 2 3 2

又∵k=f′(x0)=3 x0 +1, =′ = , ∴
3 x0 + x0 16 2 =3 x0 +1, , x0

2

解之得 x0=-2, =- , =-26, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=- , - - - =- k=3×(-2)2+1=13. = ×- = ,-26). ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为 -2,- . = ,切点坐标为(- ,- x (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直, ∵ 垂直, =-4 ∴切线的斜率 k=4. = 设切点的坐标为(x 设切点的坐标为 0,y0),则 f′(x0)=3 x0 +1=4, , ′ = = , ∴x0=±1, ,
=-1, , x0=1, x0=- , ∴ 或 y0=- , y0=- =-14, =-18.
2

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. = - - = + - 即 y=4x-18 或 y=4x-14. = - = - 14.已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11, =3x2+6x+12, 已知函数 g(x)= y= + , ′ - = - , + , 和直线 m:=kx+9, f′(- : 又 1)=0. = (1)求 a 的值; 求 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如 是否存在 的值, 的切线, 的切线? = 的切线 = 的切线 果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 果存在, 的值;如果不存在,请说明理由.

2 解:(1)f′(x)=3ax +6x-6a,f′(-1)=0, ′ = - ,′- = ,

=-2. 即 3a-6-6a=0,∴a=- - - = , =- (2)∵直线 m 恒过定点 ∵ 恒过定点(0,9), 的切线, 设切点为(x , 先求直线 m 是曲线 y=g(x)的切线, = 的切线 设切点为 0,3 x0 +6x0 +12), , ∵g′(x0)=6x0+6, ′ = , 代入, ∴切线方程为 y-(3 x0 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点 - = - ,将点(0,9)代入,得 x0=±1, 代入 , 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; =- = ; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. = + =-1 由 f′(x)=0 得-6x2+6x+12=0,即有 x=- 或 x=2, ′ = + = , =- = , =-1 =-18; 当 x=- 时,y=f(x)的切线方程为 y=- ; =- = 的切线方程为 =- 当 x=2 时,y=f(x)的切线方程为 y=9. = = 的切线方程为 = ∴公切线是 y=9. =
2 + = , = = 又有 f′(x)=12 得-6x +6x+12=12,∴x=0 或 x=1. ′ = 2 2

当 x=0 时,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; = = 的切线方程为 = - ; 当 x=1 时,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, = = 的切线方程为 = - , ∴公切线不是 y=12x+9. = + 综上所述公切线是 y=9,此时存在,k=0. = ,此时存在, =


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