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高三数学一轮复习 第二章 第一节 函数及其表示课件 理 新人教A版


第一节

函数及其表示

1.函数与映射的概念 函数 两集合 A、B 设A、B是两个 非空数集 ______________ 如果按照某种确定 对应关系 f:A→B 映射 设A、B是两个 非空集合 ______________ 如果按某一个确定

的对应关系f,使对 任意 于集合A中的_____
一个x,在集合B中 唯一确定 都有____________ 的数f(x)和它对应

的对应关系f,使对
任意 于集合A中的_____ 一个元素x,在集合 都有唯一 B中_________的元 素y与之对应

f:A→B 称__________为从 名称 集合A到集合B的一 个函数

f:A→B 称___________为从 集合A到集合B的一 个映射

2.函数的定义域、值域
(1)在函数y=f(x),x∈A中,自变量x的取值范围(数集A)

定义域 集合{f(x)|x∈A} 叫 函 数 的 _______ ; 函 数 值 的 ______________ 是 函 数 的 值
域. 定义域 对应关系 (2)如果两个函数的________相同,并且_________完全

一致,则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示方法 解析法 图象法 表示函数的常用方法有_______、________和列表法.

4.分段函数 对应关系 若函数在其定义域的不同子集上,因__________不同而
分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

1.若两个函数的定义域与值域相同,则一定是相等函

数,这种说法对吗?
【提示】 不对.如y=sin x和y=cos x的定义域都为

R,值域都为[-1,1],但不是相等函数判定两个函数是同 一函数,当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相 同.

2.如何判断坐标平面上的曲线是否为函数的图象?
【提示】 平移与x轴垂直的直线,平移过程中直线与

曲线的公共点不超过1个,曲线为函数的图象.

1.(人教A版教材习题改编)给出四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)= x-3+ 2-x是一个函数; ③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线; ④f(x)=lg x2与g(x)=2lg x是同一函数. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】

由函数的定义知①正确.

∵满足f(x)= x-3+ 2-x的x不存在,∴②不正确. 又∵y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤 立的点,∴③不正确. 又∵f(x)与g(x)的定义域不同,∴④也不正确.
【答案】 A

2.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},则其值域
为________. 【解析】 x y 列表如下: 0 0 1 -1 2 0 3 3

由表知函数的值域为{0,-1,3}.

【答案】

{0,-1,3}

?x2+1,x≤1, ? 3.(2012· 江西高考改编)设函数f(x)= ?2 则 ?x,x>1, ? f(f(3))=________.

2 2 22 13 【解析】 由题意知f(3)= ,f( )=( ) +1= , 3 3 3 9 2 13 ∴f(f(3))=f( )= . 3 9

【答案】

13 9

4.(2012· 广东高考)函数y= ________.

x+1 x

的定义域为

【解析】
?x≥-1, ? ? ?x≠0. ?

要使函数有意义,需

?x+1≥0, ? ? ?x≠0. ?

解得

∴原函数的定义域为{x|x≥-1且x≠0}.

【答案】

{x|x≥-1且x≠0}

lg(x2-2x) (1)(2013· 珠海模拟)求函数f(x)= 的定义 2 9-x 域; (2)若函数f(x+1)的定义域为[0,1],求函数f(2x-2)的 定义域.
【思路点拨】 确定部分 写出函数 (1) → 列不等式组 → 约束条件 的定义域

(2)f(2x-2)的定义域受函数f(x)制约.

【尝试解答】

(1)要使该函数有意义,

?x2-2x>0, ?x<0或x>2, ? ? 需要? 则有:? 2 ? 9-x >0, ?-3<x<3, ? ?

解得:-3<x<0或2<x<3, 所以所求函数的定义域为(-3,0)∪(2,3). (2)令t=x+1,由f(x+1)的定义域为[0,1], ∴1≤t=x+1≤2,即函数f(t)的定义域为[1,2]. 要使f(2x-2)有意义,必须1≤2x-2≤2,即3≤2x≤4, ∴log23≤x≤2. 故函数f(2x-2)的定义域为[log23,2].

1.题(2)中易理解错f(x)与f(2x)定义域之间的关系. 2.(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题, 取交集时可借助数轴,并注意端点值的取舍. (2)对抽象函数:①若函数f(x)的定义域为[a,b],则函 数 f(g(x))的定 义 域 由不等式 a≤g(x)≤b求 出. ②若 已 知 函 数 f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]

时的值域.

ln(2+x-x2) (1)(2013· 佛山模拟)函数f(x)= 的定义域 |x|-x 为( ) A.(-1,2) B.(-1,0)∪(0,2) C.(-1,0) D.(0,2) (2)已知函数f(x)的定义域为[1,2],则函数g(x)=

f(2x) 的定义域为________. (x-1)0

【解析】

?2+x-x2>0, ? (1)f(x)有意义,则? ?|x|-x≠0. ?

?-1<x<2, ? 解之得? ∴-1<x<0, ?x<0, ?

∴f(x)的定义域为(-1,0). f(2x) (2)要使函数g(x)= (x-1)0
?1≤2x≤2 ? 1 ? ,∴ ≤x<1, 2 ?x-1≠0 ?

有意义,则必须有

1 故函数g(x)的定义域为[ ,1) 2 1 【答案】 (1)C (2)[ ,1) 2

2 (1)已知f( +1)=lg x,求f(x); x (2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x- 1,求f(x); 2 【审题视点】 (1)用换元法,令 +1=t; x (2)本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用 待定系数法求解. 2 2 【尝试解答】 (1)令t= +1,则x= , x t-1 2 ∴f(t)=lg , t-1 2 即f(x)=lg . x-1

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2, f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1, 即2ax+a+b=x-1, 1 ? ?2a=1, ?a=2, ? ∴? 即? ?a+b=-1, ? ?b=-3. 2 ? 1 2 3 ∴f(x)= x - x+2. 2 2

1.本题(2)已知函数的类型,可用待定系数法求解. 2.求函数解析式的主要方法有待定系数法、换元法

等.如果已知函数解析式的类型时,可用待定系数法;已知
复 合 函 数 f(f(x)) 的 表 达 式 时 , 可 用 换 元 法 , 这 时 要 注 意 “元”的取值范围;对于抽象函数可赋值、消元求函数的解 析式.求函数的解析式一定要重视定义域,否则会导致错 误.

(1)已知f(1-cos x)=sin2x,求f(x)的解析式;
(2)已知2f(x)-f(-x)=lg(x+1),x∈(-1,1),求f(x)的 解析式. 【解】 (1) 令t=1-cos x,则cos x=1-t,0≤t≤2,

∴f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t,

即f(x)=-x2+2x(0≤x≤2).

(2)∵2f(x)-f(-x)=lg(x+1), ∴2f(-x)-f(x)=lg(1-x).
?2f(x)-f(-x)=lg(x+1) ? 解方程组? 得 ?2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ?

2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x)(-1<x<1). 3 3

(1)(2013· 广州模拟)根据统计,一名工人组装第x件某 产品所用的时间(单位:分钟)为 ?c ? ,x<A, ? x f(x)= ? (A,c为常数).已知工人组装第4件 c ? ,x≥A ? A ? 产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的 值分别是( ) A.75,25 C.60,25 B.75,16 D.60,16

?-x-1(-1≤x<0), ? (2)已知函数f(x)=? 则f(x)-f(- ?-x+1(0<x≤1). ?

x)>-1的解集为(

)

1 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.[-1,- )∪(0,1] 2 1 C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.[-1,- ]∪(0,1) 2
【思路点拨】 可列方程组求解. (1)由x≥A时,f(x)=15知,4<A,从而

(2)分-1≤x<0和0<x≤1两种情况求解.

【尝试解答】 c 所以 =15, A

(1)因为组装第A件产品用时15分钟, ① ②

c c 所以必有4<A,且 = =30. 4 2 联立①②解得c=60,A=16.

(2)①当-1≤x<0时,0<-x≤1, 此时f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1, ∴f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1, 1 1 得x<- ,则-1≤x<- . 2 2

②当0<x≤1时,-1≤-x<0, 此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1, ∴f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1, 3 解得x< ,则0<x≤1. 2 1 故所求不等式的解集为[-1,- )∪(0,1]. 2

【答案】

(1)D

(2)B

1.解答本题(2)时,因自变量范围不确定应分类求解. 2.应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个 区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注意分段区 间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论.

3.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量
的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检

验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.

(1)已知函数f(x)= 数a的值等于( A.1 )

?1-x,x≤0, ? ? x ?a ,x>0, ?

若f(1)=f(-1),则实

D.4 ?2x,x>0, ? (2)(2013· 东莞质检)已知函数f(x)= ? 若f(a) ?x+1,x≤0, ? D.3

B.2

C.3

+f(1)=0,则实数a的值等于( ) A.-3 B.-1 C.1

【解析】 (1)根据题意,由f(1)=f(-1)可得a=1-(- 1)=2. ?2x(x>0), ? (2)∵f(x)=? 且f(a)+f(1)=0, ?x+1(x≤0), ? ∴f(1)=21=2,则f(a)=-f(1)=-2, 又当x>0时,f(x)=2x>0, 因此a≤0,且f(a)=a+1=-2, ∴a=-3.
【答案】 (1)B (2)A

求复合函数y=f(g(x))的定义域的方法

(1)若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式得a<g(x)<
b即可求出y=f(g(x))的定义域;(2)若y=f(g(x))的定义域为 (a,b),则求出g(x)的值域即为f(x)的定义域.

1.解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.
2.用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.

函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由 函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对

应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映
射,映射f:A→B的三要素是集合A、B和对应关系f.

从近两年高考试题看,函数的定义域、分段函数与分段 函数有关的方程、不等式是考查的重点内容,题型以选择 题、填空题为主,既重视三基,又注重思想方法的考查,预

计2014年仍以分段函数及应用为重点,同时应特别关注与分
段函数有关的方程的问题.

思想方法之二

数形结合求解分段函数问题

|x2-1| (2012· 天津高考)已知函数y= 的图象与函数y=kx x-1 -2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 ________.
【解析】 根据绝对值的意义, |x2-1| ?x+1(x>1或x<-1), ? y= =? x-1 ?-x-1(-1≤x<1). ? 在直角坐标系中作出该函数的图象, 如图中实线所示.根据图象可知, 当0<k<1或1<k<4时两函数的图象 有两个交点.

【答案】

(0,1)∪(1,4)

易错提示:(1)没有化简函数解析式,从而无法画出函 数图象求解. (2)不知道直线恒过定点(0,-2),无法确定k的取值范 围. 防范措施:(1)解析式含有绝对值符号的函数,一般要 去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,利用几何直观求

解.
(2)直线方程中x或y的系数含有参数时,直线恒过定点, 可通过该点旋转直线寻找满足条件的k的取值范围.

1.(2012· 福建高考)设f(x)=
?1,x为有理数, ? ? 则f(g(π ?0,x为无理数, ?

?1,x>0, ? ?0,x=0, ?-1,x<0, ? )

g(x)=

))的值为( B.0 D.π

A.1 C.-1

【解析】

根据题设条件,∵π是无理数,∴g(π)=0,

∴f(g(π))=f(0)=0. 【答案】 B

2.(2012·安徽高考)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的

是(

)
A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 【解析】 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x).

对于B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x). 对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x),不满足f(2x)=2f(x). 对于D,f(2x)=-2x=2f(x).

【答案】

C


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