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江西省新余市七校2016届高三数学第三次联考试题


江西省新余市七校 2016 届高三第三次联考 数学试卷
本卷共四大题,分试题卷和答题卷,考生一律在试题卷上作答。考试时间 120 分钟,满 分 150 分。 答题时,考生先将自己的姓名,准考证号填写清楚,并填涂相应的考号信息点。 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;解答题必须使用黑色墨水笔的签字笔书写,不得使用铅 笔或圆珠笔。作答时,字体工整,字迹清楚。 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答题无效;在草稿 纸,试题卷上答题无效。 选考题的作答:先把所选题目对应题号的方框在答题卡上指定位置用 2B 铅笔涂黑。 一:选择题。在每小题所给的 A、B、C 及 D 四个选项中,只有一个选项最符合题意,每小题 分值为 5 分。

1. A.i 2.

已知 i 是虚数单位,m 和 n 都是实数,且 m(1+i)=5+ni,则 B.﹣i 若 ( ) B. D. C. C.1 在区间(4,+ D.﹣1

=(



)上是增函数,那么实数 的取值范围是

A.

3. 命题“? x∈R,x2﹣2x+4≤0”的否定为( ) A.? x∈R,x2﹣2x+4≥0 B.? x?R,x2﹣2x+4≤0 C.? x∈R,x2﹣2x+4>0 D.? x?R,x2﹣2x+4>0

4.

下列三个数:

,大小顺序正确的是(



5. A.2

.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是( B. C.3

) D.

1

6.

圆 x2+y2=4 上与直线 l:4x﹣3y+12=0 距离最小的点的坐标是( B.( ,﹣ ) C.(﹣ , )

) D.(﹣ ,

A.( , ) ﹣ ) 7.

己知函数 f(x)=sinω x+ 间( ,

cosω x(ω >0),f( ) C.6 ,且 )

)+f(

)=0,且 f(x)在区

A.3 8.

)上递减,则ω =( B.2

D.5 ( ).则向量 与

已知向量 , 满足: 向量 的夹角的最大值为(

A.

B.

C.

D. 9. 观察下图: 1 2 3 4 20112.( ) 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ???? A.2010 10. 已知等比数列

则第 (

) 行的各数之和等于

B.2009 的公比为正数,且

C.1006 ,则 等于(

D.1005 )

A. D.2

B.

C.

2

11. 已知双曲线 线的离心率等于



=1 的一个焦点与抛物线 y2=4 ,则该双曲线的方程为( )

x 的焦点重合, 且双曲

A.x2﹣

=1

B.x2﹣y2=15

C.

﹣y 2=1

D.



=1

12. 已知不等式组

表示的平面区域为 D,点 O(0,0),A( 1,0).若点 M

是 D 上的动点,则

的最小值是( C.

) D.

A. B. 二.填空题。每小题 5 分,共 25 分。

13. 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到

四个不同岗位服务,每个岗位至 服务的概率

少有一名志愿甲者,则甲、乙两人同时参加岗位

是 . 14. 如图所示,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别为 OA、BC 的中点,

点 G 在线段 MN 上,且 ________________.

则 x , y , z 的值分别为

15. 已知四面体 S﹣ABC 中,SA=SB=2,且 SA⊥SB,BC= 的表面积为 .8π

, AC=

,则该四面体的外接球

16. 已知





恒成立,则实数 m 的取值范围是_______. .

17. 已知函数 y=4b2﹣3b2sin2θ ﹣3bsinθ + 的最大值为 7, 实数 b 的值为 三、解答题:解答时必须写出必要的过程和文字解释。

3

18. (12 分)在

中, 角

的对边分别为

, 且



。 (1)求角 B 的大小; ( 2 )若等差数列 的公差不为零,且 =1 ,且 成等比数列,求

的前 项和

19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 AC,PB 的中点. (1 )证明:EF∥平面 PCD; (2)求证:面 PBD⊥面 PAC; (3)若 PA=AB,求 PD 与平面 PAC 所成角的大小.

(1)如图连接 BD,通过证明 EF∥PD,证明 EF∥平面 PCD; (2)证明 BD⊥AC,PA⊥BD,证明 BD⊥平面 PAC,然后证明面 PBD⊥面 PAC; (3)连接 PE,说明∠EPD 是 PD 与平面 PAC 所成的角.通过 Rt△PAD≌Rt△BAD.在 Rt△PED 中,求出 sin∠EPD 的值,推出 PD 与平面 PAC 所成角的大小.

20. (12 分)为推进成都市教育均衡发展,某中学需进一步壮大教师队伍,拟准备招聘一批 优秀大学生到本单位就业, 但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。 在待测试的某 一个小组中有男、女生共 10 人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选 2 人

参加测试,其中恰为一男一女的概率为 (Ⅰ)求该小组中女生的人数;



(Ⅱ)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为

,每个男

4

生通过的概率均为

。现对该小组中男生甲.男生乙和女生丙 3 个人进行测试,记这 3 人

中通过测试的人数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望。

21. (12 分)已知椭圆 C:

=1 的左焦点 F1 的坐标为(﹣ .

,0),F2

是它的右焦点,点 M 是椭圆 C 上一点,△MF1F2 的周长等于 4+2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过定点 P(0,2)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且 OA⊥OB(其中 O 为坐标 原点),求直线 l 的方程.

(1)由已知得

,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为

y=kx﹣2,联立

,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,由此利用根的判别

式、根与系数关系、向量知识,结合已知条件能求出直线 l 的方程.

22. (8 分)已知函数 f(x)=ln

x-

.

(1)若 a>0,试判断 f(x)在定义域内的单调性; (2)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

四:选做题:从 23 题或 24 题任选一题,所做题目必须与所涂题目一致,在答题卡选答区域 指定位置答题。如果多做,则每学科按所做的第一题给分。 23.(9 分)如图,AB 是圆 O 的直 径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T(不与 A、B 重合),DN 与 圆 O 相切于点 N,连结 MC,MB,OT. (Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)若 ,试求 的大小.

5

23. (9 分)已知函数 (I)解不等式 (II)若 ,求证:

. ; .

6

江西省新余市七校 2016 届高三第三次联考数学试题参考答案 1~5:A B A C D 11:C 12:C 6~10:C B B C B

13. 18.(1)由

14.





15.8π

16.m<4 所以

17.b=+1

,又







,则

为钝角。

,则

解得

。?6 分

(2) 设

的公差为



由已知得 .





.∴



,



.



.

? ? 9





.



???? 12 分 19.解:(1)证明:如图连接 BD,则 E 是 BD 的中点. 又 F 是 PB 的中点,所以 EF∥PD, 因为 EF 不在平面 PCD 内,所以 EF∥平面 PCD; (2)因为 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC, 又 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BD, 因此 BD⊥平面 PAC,BD 在平面 PBD 内, 故面 PBD⊥面 PAC; (3)连接 PE,由(2)可知 BD⊥平面 PAC, 故∠EPD 是 PD 与平面 PAC 所成的角.

7

因为 PA=AB=AD,∠PAD=∠BAD=90°, 所以 Rt△PAD≌Rt△BAD. 因此 PD=BD,在 Rt△PED 中 sin∠EPD= = 所以 PD 与平面 PAC 所成角的大小是 30 °. ,∠PAD=30°,

20.

21.解:(1)∵椭圆 C:

=1 的左焦点 F1 的坐标为(﹣

,0), ,

F2 是它的右焦点,点 M 是椭圆 C 上一点,△MF1F2 的周长等于 4+2

∴ 解得 a=2,b=1,



8

∴椭圆 C 的方程为



(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立

,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,

△=(﹣16k)2﹣48(1+4k2)>0,

由根与系数关系得 x1+x2=

,x1?x2=



∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2, ∴y1y2=k2x1?x2﹣2k(x1+x2)+4. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴(1+k2)x1x2﹣2k(x1+x2)+4=0,





+4=0,

解得 k=±2, ∴直线 l 的方程是 y=2x﹣2 或 y=﹣2x﹣2.

22.(1)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)=





.

∵a>0,∴f ′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.

(2)∵f(x)<x2,∴ln x-

<x2.又 x>0,∴a>xln

x-x3.

令 g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,

h′(x)=

-6x=

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞) 上也是减函数. g(x)<g(1)=-1,∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立. 那 a 的取值范围是[-1,+∞). 23.(Ⅰ)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 T,由切割线定 理 OB= , , ,得 ,设半径

9

因 BD=OB,且 BC=OC=

,则 所



, 以

(4 分) (Ⅱ)由(1)可知, 且 故 根 ∽ 据 圆 , ,所以 周 角 定 理 得 ; , , 则 ,

(10 分) 24.(I)∵ 因此只须解不等式 当 当 当 时,原不式等价于 时,原不式等价于 时,原不式等价于 . ,即 ,即 ,即 . . . . .

综上,原不等式的解集为 (II)∵ 又 ∴ 0 时, 0 时, .

10


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