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例谈极端化原理在数学猜想中的运用


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《 数学教学通讯  ̄ 2 0 0 4 年6 月( 下半月) ( 总第 2 1 1 期)  

重庆  ? 7 9 ?  

例 谈 极 端 化 原 理 在 数 学 猜 想 中 的 运 用 
( 武警 济南指挥学校 文化教研 室  2 5 0 0 0 2 )   刘翠英 
著名数学教育家波利亚曾说过“ 要想成为一个好的  

二、 极端猜想可以增加隐性条件, 降低题目  
的难度 
例2 ( 2 0 0 0 年全 国高考)已知平行六面体 A B C D  


数学家首先必须是一个好的猜想家” . 其中极端化原理 
是 数学猜想 的重要形式之一, 它是合情推理的重要方  式, 也是数学发现的艺术之一. 因此在数学学习过程 中,   应 有意识地养成猜想 的习惯, 并及时归纳总结猜想技 

Ai B - C , D- 的底 面 A B C D 是 菱 形,且  C   C B一  
Cl CD 一 / BC D 一 6 0 。 .  

巧, 使其猜之有理, 猜之有据, 猜之有效 , 猜之有趣 , 真正  体现出数学猜想的魅力. 通过几例, 谈一下极端化原理 
在数学猜想中的运用.  

( 1 )证明 : C l C_ l - B D;  

( 2 ) 假定 C D一 2 , C C   一÷, 记面 C l B D为 口 , 面  
C B D为  , 求二面角 a —B D一   的平面角的余弦值 





极端猜想可以化繁为简, 省时高效, 出奇 

( 3 )当   C D 的值为多少时


能使 A   C_ l - 平面c 。 B D,  

1  

制胜 
例1   在抛物线y=口 z   中, F为焦点, P Q为过焦点 

请给出证明.  
( 1 ) 、 【 2 )略 .  

的 弦 , P F 一 户 , F Q — g , 则 ‘   + 寺 =  
解: ( 1 )根据题意 , 猜想该值应为定值. 我们不妨寻  找平行于z轴这一极端情形 , 则 P、 Q的横坐标很容易求 
出, 所求值也就迎刃而解了.  

( 3 )分析 : 本小题 是开放 性 

题型 , 其实质是寻求  。 C_ l - 平面  c   B D的条件. 先要大胆猜测  C D  

的值, 不妨猜测特殊情形  C D=  
1 , 由此 及其 他条 件探讨 .  
? ?   .

( 2 ) 运用极限思想, 考查P Q与Y 轴重合这一极端情 
况:  
l i mp — o 。,l i m
1 _= 。?l i mq: 1


: 1 '. ? .BC — cD — C, C,  
l  



l i m! g

= 4 1 口,  

又  C l C B 一  Cl C D =  B CD 一 6 0 。 ,  

l i m(   +  )一 0+ 4 n一 4 a  
P   q  

由此可推理得 B D— C 1 B— C   D,  
‘ . .

证明: ( 该值为常数)   设直线的参数方程为 


三棱锥 c— C l B D是正三棱锥 ,  

设A   C与 c   D相交于 G,  


去  



’ Al c l 平行于 A C , 且 Al C l : O C一 2: 1 ,  





C1 G :GO 一 2:1 ,  

者+ f S ’ n   一  z c 0 S  
a t Z c o s Z a— f s i n 口一  1
S i n 口   = O  

又c 。 0是正三角形 C   B D的边 B D上的高和中线 ,  
‘ . .

点 G是正三角形 C 。 B D 的中心.  

再分析结论, 要证 A 。 c_ l - 平面 C   B D, 即证 C G垂直  平面 C - B D, 即证 C G为正三棱锥 c—C   B D底面 C   B D  

f 1 +t z —





a co

sZ a 

1  

的高, 这是显然的.  . A   C上 平面 C   B D.  

l   z 一一石 
( f l —f 2 )  一 ( f l + f 2 )  一 舢l f 2一   1  

三、 极端 猜想 有助于发 现结论 , 发展创 造性 
思维 
例3   已知抛物线 Y   一2 p x( 户> O ) , 在 z轴上求 

P 百 +q—I t — I - — t z   I =   1 +  户 g   ’   ’   户   q一 4 ‘… n ( 常数) …   
t l t 2  

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8 O?   重庆 

《 数学教学通讯 》 2 0 O 4 年6 月( 下半月) ( 总第 2 1 1 期)  

向量 —— 解决解析几何l 司题的有力武器  
( 江苏省 姜堰 中学  2 2 5 5 0 0 )   张圣官 
解析几何与向量是高中数学两个重要部分 , 数形结  合是这两部分的共同特点. 由于向量既能体现“ 形”的直  观特征, 又具有“ 数” 的运算性质, 因此 , 向量是数形结合  和转换 的桥梁. 对于解析几何 中图形 的重要位置关系  


决解几问题的有力武器.  



显现问题 内在本 质 

有 些解几 问题 , 如果用解析法求解 , 则不易显现 问  

( 如平行、 垂直、 相交 、 三点共线等) 和数量关系( 如距离、  
角等) , 向量都能通过其坐标运算来进行刻划 , 这就为在  解析几何解题 中充分运用向量方法创造了条件.   用向量法解决解析几何 问题的一般步骤是 :  

题所隐含的内在本质而导致思路不畅、 过程繁琐. 若将 
其中出现的点、 线置于向量背景 中, 使问题更一般化, 则  易于暴露其内在规律.   例1   已知四边形一组对边的平方和等于另一组对  边的平方和, 求证 : 两条对角线互相垂直.  

I 解几问 题 l —
‘  

l 问 题 解决 I  
十  

这是高中数学( 必修本) 第二册 ( 上) 第8 8 页中的一 
道习题. 先看其解析法证 明.  

I 向 量问 题卜 一

l 向 量 运 算I  

以下就从三个方面 , 结合事例说明向量法确实是解 



点 M, 使过 M 的任意一条弦 P Q皆满足 P Q上 o Q.  

的中点正好是( 2 , 1 )  

先猜想点 M 的位置. 假设点 M 存在, 则过 M 且与3 7  
轴垂直的弦P Q也应有O P上O Q . 因为O P与O Q关于z   轴对称 , 所以 O P和 O Q分别平分第一象限和第四象限 
角, 于是点 P坐标为( 2 p , 2 p ) , Q 的坐标为( 2 p , 一2 p ) ,  

P Q与 z轴的交点的坐标为( 2 p , O ) . 猜想所求点 M 的坐 
标为( 2 p , O ) .  

设过M( 2 p , O ) 且不与 3 7 轴垂直的任一直线 Y=k ( z  


证明: 直线A B、 C D都过M 点, 且M 为线段 A B的中   点, 当D在O B的延长线上时, 作B E平行 3 7 轴交DM 于 

则 AMC A   2 p ) 与 抛 物 线 Y   = 2 p x 交 于 两 点 P   券 , Y 1 ) , Q   券 ,   E点,

AME B, 所 以 AA B O 的面积小于 

Y   ) , 将直线方程代入抛物线方程 Y   =2 p x , 整理得 : Y  
一   一

△D C O的面积. 同理可证 : 当C在O A延长线上( D在O B   上) 时 AA B O的面积小于 △D C O的面积.  

4 p   z =0 , 由于 Y   , Y   是此方程的两个根, 因而 

由此, 利用几何方法, 我们得到了一般性结论.  

z = 一   户   . 于 是   。   ?   ∞ 一  ? 蝥 =  = 一   ,  
即O P   j - O O. 这就证明了 M( 2 p , O ) 确是所求的点.  

过第一象限中点 M( a , b ) 的直线与两坐标轴的正向  

分别交于 A、 B两点, 当△A B O( O是原点) 面积最小时 ,  
此直线方程为   +   =1 .  

4   极端猜想可 引申重要结论 , 培 养勇于探 
索的 良好 习惯 
例4   直线 z 过点 M( 2 , 1 ) 与两坐标轴正方向交于  A、 B两点 , 求 当 △A B O面积最小时直线 z 的方程.   既然 △A B O面积最小, 那么这条直线有何特殊性  呢? 猜想极端情形, 这条直线在第一象限内截得的线段 



v  

数学猜想是一种富有创造性 的思维活动 , 绝不能与  胡思乱想混为一谈. 在数学学习过程中, 要有 意识地对  诸如平行、 垂 直、 中点 、 相等 等极端特 殊情形多 加“ 小   心” . 运用极端化原理进行数学猜想 , 常常会有收获.  


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