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2011年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(理科)


大连市高三双基测试数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知 A、3 C、4 的值为( B、﹣3 D、﹣4 ,则(CuM)∩N=( ) )

2、已知全集 U=R,集合 M={y|y=x2﹣1},x∈R,集合 A、 (﹣2,﹣1) B、[﹣2,﹣1) C、[﹣2,1) D、[﹣2,1] 3、关于直线 a、b,以及平面 M、N,给出下列命题: ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ②若 a∥M,b⊥M,则 a⊥b; ③若 a∥b,b∥M,则 a∥M; ④若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N. 其中正确命题的个数为( ) A、0 B、1 C、2 D、3 4、在等比数列{an}中,若 A、4 C、﹣2 B、2 D、﹣4 的值为( )

5、给定性质:①最小正周期为 π;②图象关于直线 x= A、y=sin( + C、y=sin|x| ) B、y=sin(2x+ ) )

对称.则下列四个函数中,同时具有性质①②的是(



D、y=sin(2x﹣

6、将 A、B、C、D、E、F 六位同学排成一排,要求 A、B、C、D 在排列中顺序为“A、B、C、D”或“D、C、B、A”(可 以不相邻) ,则排列的种数为( ) A、20 B、30 C、40 D、60 7、已知函数 ,则函数 f(x)﹣lnx 的零点个数为( )

A、1 B、2 C、3 D、4 8、如图,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为(



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A、30° B、45° C、60° D、90° 9、下列说法正确的是( ) A、命题:“已知函数 f(x) ,若 f(x+1)与 f(x﹣1)均为奇函数,则 f(x)为奇函数,”为直命题 B、 “x>1”是“|x|>1”的必要不充分条件 C、若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题 D、命题 p:”?x∈R,使得 x2+x+1<0”,则?p:”?x∈R,均有 x2+x+1≥0” 10、已知 M(a,2)是抛物线 y2=2x 上的一点,直线 MP、MQ 分别与抛物线交于 P、Q 两点,且直线 MP、MQ 的倾 斜角之和为 π,则直线 PQ 的斜率为( ) A、 C、 B、 D、

11、P 为双曲线 的最大值为( A、5 C、7 ) B、6 D、4

右支上一动点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和圆(x﹣4)2+y2=1 上的点,则|PM|﹣|PN|

12、已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,且 ,则 a 的值为( A、2 C、 B、 D、 )

(a>0,且 a≠1) ,f'(x)g(x)<f(x)g'(x) ,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、执行图所示的框图,如果输入 N=4,则输出的结果等于 _________ .

14、如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 ①先产生两组 0~1 的均匀随机数,a=rand (

与两直线 x=2 及 y=0 所围成的阴影部分的面积 S: ) ;

) ,b=rand (
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②做变换,令 x=2a,y=2b; (3)产生 N 个点(x,y) ,并统计满足条件

的点(x,y)的个数 N1,已知某同学

用计算器做模拟试验结果,当 N=1000 时,N1=332,则据此可估计 S 的值为 _________ .

15、设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai(i=1,2,3,4) 是该四边形内一点,点 P 到第 i 条边的距 ,P 离记为 ,类比上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积

记为 Si (i=1, 3, , 是该三棱锥内的一点, Q 到第 i 个面的距离记为 di, 2, 4)Q 点 若 等于 _________ . 16、 已知等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都是整数, n 项和为 Sn, a1>1, 4>3, 3≤9, bn=2nan, b1+b2+…+bn 前 若 a S 设 则 的结果为 _________ . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分) 17、在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 的值. .

18、某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,且每次遇到红灯的概率都是 , 每次遇到红灯时停留的时间都是 1min. (Ⅰ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2min 的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 X 的分布列及期望. 19、如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形,俯视图为正方形,左视图为直角三角 形,尺寸如图所示) .

(Ⅰ)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积;
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(Ⅱ)求二面角 E﹣PC﹣D 的大小. 20、已知椭圆 的离心率为 .

(Ⅰ)过椭圆 C 的右焦点 F 且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦 长为 1,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设经过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A, 两点, y 轴于点 P, B 交 且 的值. 21、已知函数 . , λ1+λ2 求

(Ⅰ)当 a<0 时,若?x>0,使 f(x)≤0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)令 g(x)=f(x)﹣(a+1)x,a∈(1,e],证明:对?x1,x2∈[1,a],恒有|g(x1)﹣g(x2)|<1. 22、如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,AD⊥CE,垂足为 D,AC 平分∠BAD. (Ⅰ)求证:直线 CE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)求证:AC2=AB?AD.

23、 (选做题)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 系,曲线 C 的参数方程为 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标 (α 为参数) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

24、 (选做题)选修 4﹣5:不等式选讲 已知|x1﹣2|<1,|x2﹣2|<1. (Ⅰ)求证:|x1﹣x2|<2; (Ⅱ)若 f(x)=x2﹣x+1,求证:|x1﹣x2|≤|f(x1)﹣f(x2)|≤5|x1﹣x2|.

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答案与评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知 的值为( )

A、3 B、﹣3 C、4 D、﹣4 考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念。 专题:计算题。 分析:根据所给的关于复数的式子,根据两个内项之积等于两个外项之积,得到关于两个复数相等的关系式,根据 复数相等的充要条件写出实部和实部相等,得到 a 的值. 解答:解:∵ ,

∴3(1+2i)=a+6i, ∴3+6i=a+6i, ∴a=3, 故选 A. 点评:本题考查复数的代数形式的乘法运算,考查复数的基本概念,这种问题可以出现在高考卷的前三个题目中, 是一个送分题目. 2、已知全集 U=R,集合 M={y|y=x2﹣1},x∈R,集合 ,则(CuM)∩N=( )

A、 (﹣2,﹣1) B、[﹣2,﹣1) C、[﹣2,1) D、[﹣2,1] 考点:补集及其运算;交集及其运算。 专题:计算题。 分析:求出集合 M 中函数的值域确定出集合 M,然后根据全集为 R,求出集合 M 的补集,求出集合 N 中函数的定 义域即可确定出集合 N,求出集合 M 补集与集合 N 的交集即可. 解答:解:由集合 M 中的函数 y=x2﹣1≥﹣1,得到集合 M=[﹣1,+∞) , 又全集 U=R,得到 CuM=(﹣∞,﹣1) , 由集合 N 中的函数 y= ,得到 4﹣x2≥0,即(x+2) (x﹣2)≤0,

解得:﹣2≤x≤2,所以集合 N=[﹣2,2], 则(CuM)∩N=[﹣2,﹣1) . 故选 B 点评:此题属于以函数的定义域与值域为平台,考查了补集及交集的运算,是一道基础题. 3、关于直线 a、b,以及平面 M、N,给出下列命题: ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ②若 a∥M,b⊥M,则 a⊥b; ③若 a∥b,b∥M,则 a∥M; ④若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N. 其中正确命题的个数为( ) A、0 B、1 C、2 D、3 考点:平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系。 专题:综合题。 分析:由线面平行的性质,我们可判断①的正误,由线线垂直的判定方法,可判断②的对错,根据线面平行的判定 方法,我们可判断③的真假,由面面垂直的判定方法,可以判断④的对错.由此即可得到结论. 解答:解:①中 a 与 b 可以相交或平行或异面,故①错. ③中 a 可能在平面 M 内,故③错.
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而由线线垂直的判定方法,可得②正确; 由面面垂直的判定方法,可得④正确; 故选 C 点评:本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之 间的位置关系,熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键. 4、在等比数列{an}中,若 的值为( )

A、4 B、2 C、﹣2 D、﹣4 考点:等比数列的性质。 专题:计算题。 分析: 把所求的式子利用等比数列的性质化简, 即可求出 a6 的值, 然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简后, 将 a6 的值代入即可求出值. 解答:解:由 a2a3a6a9a10=(a2a10)?(a3a9)?a6=a65=32=25, 得到 a6=2, 则 = =a6=2.

故选 B 点评:此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道基础题.学生化简已知条件时注意项的结合. 5、给定性质:①最小正周期为 π;②图象关于直线 x= A、y=sin( + C、y=sin|x| ) B、y=sin(2x+ ) ) 对称.则下列四个函数中,同时具有性质①②的是( )

D、y=sin(2x﹣

考点:三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性。 专题:常规题型;计算题。 分析:利用函数的周期,求出 ω,利用图象关系直线 x= 解答:解:∵T= 所以 2× ﹣ = =π,∴ω=2.对于选项 D,因为 x= ,满足题意, 对称,判断选项的正误. 为对称轴.

故选 D 点评:本题考查三角函数的周期性及其求法,正弦函数的对称性,考查推理能力,是基础题. 6、将 A、B、C、D、E、F 六位同学排成一排,要求 A、B、C、D 在排列中顺序为“A、B、C、D”或“D、C、B、A”(可 以不相邻) ,则排列的种数为( ) A、20 B、30 C、40 D、60 考点:排列、组合及简单计数问题。 专题:计算题。 分析:本题是一个分步计数问题,先从中选四个位置给 A、B、C,D 且 A、B、C,D 有两种排法,即 2C64,然后让 F、 E 排在剩余两个位置上,有 2 种排法,根据分步计数原理得到结果 解答:解:由题意知本题是一个分步计数问题, 六个字母排成一列, 先从中选四个位置给 A、B、C,D 且 A、B、C,D 有两种排法,2C64, 然后让 F、E 排在剩余两个位置上,有 2 种排法;
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由分步乘法计数原理所求排列数为 故选 D 点评:本题考查分步计数原理,考查具有约束条件的排列,是一个基础题,题目中考查具有一定顺序的元素的排列, 先排限制条件比较多的元素. 7、已知函数 ,则函数 f(x)﹣lnx 的零点个数为( )

2×2C64=60.

A、1 B、2 C、3 D、4 考点:函数的零点。 专题:计算题;数形结合;转化思想。 分析:函数 f(x)﹣lnx 的零点个数 即函数 f(x)与函数 y=lnx 的交点个数,结合图形得出结论. 解答:解:函数 f(x)﹣lnx 的零点个数 即函数 f(x)与函数 y=lnx 的交点个数,如图所示: 由于函数 f(x)与函数 y=lnx 的图象有三个交点,故函数 f(x)﹣lnx 的零点个数为 3, 故选 C.

点评:本题考查函数的零点的定义,体现了数形结合和转化的数学思想. 8、如图,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为(



A、30° B、45° C、60° D、90° 考点:异面直线及其所成的角。 专题:计算题;转化思想。 分析:本题求解宜用向量法来做,以 D 为坐标原点,建立空间坐标系,求出两直线的方向向量,利用数量积公式求 夹角即可 解答:解:如图,以 D 为坐标原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在线为 y 轴,DP 所在线为 z 轴,建立空间坐标系, ∵点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,令 PD=AD=1 ∴A(1,0,0) ,P(0,0,1) ,B(1,1,0) ,D(0,0,0) ∴ =(1,0,﹣1) , = =(﹣1,﹣1,0)

∴cosθ=

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故两向量夹角的余弦值为 ,即两直线 PA 与 BD 所成角的度数为 60°. 故选 C 点评:本题考查异面直线所角的求法,由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便,故采取了向量法求两直线所成 角的度数,从解题过程可以看出,此法的优点是不用作辅助线,大大降低了思维难度. 9、下列说法正确的是( ) A、命题:“已知函数 f(x) ,若 f(x+1)与 f(x﹣1)均为奇函数,则 f(x)为奇函数,”为直命题 B、 “x>1”是“|x|>1”的必要不充分条件 C、若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题 D、命题 p:”?x∈R,使得 x2+x+1<0”,则?p:”?x∈R,均有 x2+x+1≥0” 考点:命题的真假判断与应用。 专题:阅读型。 分析:对于 A:举反例,如 f(x)=cos 是偶函数,验证 f(x+1)和 f(x﹣1)都是奇函数,故错误.对于 B:因

为 x>1? |x|>1,应为充分条件,故错误.对于 C:根据且形式命题的真假判断可得其不正确,对于 D:根据命题 p: “?x∈R,使得 x2+x+1<0”是特称命题,其否定为全称命题,将“存在”改为“任意的”,“<“改为“≥”即可得答案,综合 可得答案. 解答:解:对于 A:命题:“已知函数 f(x) ,若 f(x+1)与 f(x﹣1)均为奇函数,则 f(x)为奇函数,”例如:f(x) =cos ,f(x+1)=cos =sin =﹣sin ,是奇函数, 是偶函数,故错误.

f(x﹣1)=cos

,是奇函数,而 f(x)=cos

对于 B:“x>1”是“|x|>1”的必要不充分条件.因为 x>1? |x|>1,应为充分条件,故错误. 对于 C:若“p 且 q”为假命题,则 p 和 q 中至少有一个假命题,故不正确; 对于 D:根据命题 p:“?x∈R,使得 x2+x+1<0”是特称命题,其否定为全称命题,将“存在”改为“任意的”,“<“改为 “≥”即可得答案.D 正确. 故选 D. 点评:此题主要考查命题的否定形式,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,对于命题的否命题和否定形式 要注意区分,是易错点. 10、已知 M(a,2)是抛物线 y2=2x 上的一点,直线 MP、MQ 分别与抛物线交于 P、Q 两点,且直线 MP、MQ 的倾 斜角之和为 π,则直线 PQ 的斜率为( ) A、 C、 B、 D、

考点:直线的斜率;抛物线的简单性质。 专题:计算题。 分析:将 M 代入抛物线求出 a,利用直线 MP,MQ 的倾斜角的和为 π 则其斜率互为相反数,设出 MP 的方程,将 方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理求出 P 的纵坐标与 k 的关系;同理得到 Q 的纵坐标与 k 的关系;利用两点 连线的斜率公式求出 PQ 的斜率. 解答:解:将(a,2)代入抛物线方程得 a=2 即 M(2,2) 设直线 MP 的斜率为 k;则直线 MQ 的斜率为﹣k,设 p(x1,y1) ,Q(x2,y2) 直线 MP 的方程为 y﹣2=k(x﹣2) 由 消 x 得 ky2﹣2y+4﹣4k=0

由韦达定理得

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同理 ∴y1+y2=﹣4 ∴ =

故选 C 点评:本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常用的方法是将它们的方程联立,通过韦达定理得到交点的坐标的 关系、考查两点连线的斜率公式. 11、P 为双曲线 右支上一动点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和圆(x﹣4)2+y2=1 上的点,则|PM|﹣|PN|

的最大值为( ) A、5 B、6 C、7 D、4 考点:圆与圆锥曲线的综合。 专题:计算题。 分析:注意两个圆的圆心分别是焦点,利用双曲线定义做,连接 P 与左焦点 F1 与下半圆交于 M 点,PF2 交上半圆于 N 点,显然 PM﹣PN=(PF1+2)﹣(PF2﹣1)=2a+3 是最大值. 解答:解:圆(x+4)2+y2=4 的圆心是(﹣4,0) , 2 2 圆(x﹣4) +y =1 的圆心是(4,0) , 由双曲线定义知, 连接 P 与左焦点 F1 与下半圆交于 M 点, PF2 交上半圆于 N 点, 显然 PM﹣PN=(PF1+2)﹣(PF2﹣1)=2a+3=5 是最大值. 故选 A. 点评:本题考查双曲线的定义及其应用,解题时要注意圆的性质的合理运用. 12、已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,且 ,则 a 的值为( A、2 C、 B、 D、 ) (a>0,且 a≠1) ,f'(x)g(x)<f(x)g'(x) ,

考点:简单复合函数的导数;函数的值。 专题:计算题。 分析:利用商的导数的运算法则求出 的导函数,由已知判断出导函数小于 0,判断出函数递减;求出 a 的范

围,求出函数值代入已知的等式,求出 a 的值. 解答:解:∵ 又∵f′(x)g(x)<f(x)g′(x) ,

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∴ ∴0<a<1 ∵ 解得

为减函数



故选 B 点评:本题考查商的导数运算法则、考查利用导函数的符号判断函数的单调性. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、执行图所示的框图,如果输入 N=4,则输出的结果等于 .

考点:程序框图。 专题:图表型。 分析:k=1,满足条件 k<4,执行循环体,S= ,依次类推,k=3,满足条件 k<4,执行循环体,当 k=4,不满

足条件 k<4,退出循环体,最后利用裂项求和法求出所求即可. 解答:解:k=1,满足条件 k<4,执行循环体,S= k=2,满足条件 k<4,执行循环体,S= 依次类推 k=3,满足条件 k<4,执行循环体,S= + + +

k=4,不满足条件 k<4,退出循环体,输出 S=1﹣ = 故答案为: . 点评:根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题. 14、如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 ①先产生两组 0~1 的均匀随机数,a=rand ( 与两直线 x=2 及 y=0 所围成的阴影部分的面积 S: ) ; 的点(x,y)的个数 N1,已知某同学

) ,b=rand (

②做变换,令 x=2a,y=2b; (3)产生 N 个点(x,y) ,并统计满足条件

用计算器做模拟试验结果,当 N=1000 时,N1=332,则据此可估计 S 的值为 1.328 .

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考点:模拟方法估计概率。 专题:计算题;数形结合。 分析:先由计算器做模拟试验结果试验估计,满足条件 求解. 解答:解:根据题意:满足条件 的点(x,y)的概率是 的点(x,y)的概率,再转化为几何概型的面积类型

矩形的面积为 10,设阴影部分的面积为 s 则有 ∴s=1.328 故答案为:1.328 点评:本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型,将两者建立关系,引入方程思想. 15、设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai(i=1,2,3,4) 是该四边形内一点,点 P 到第 i 条边的距 ,P 离记为 ,类比上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积

记为 Si (i=1, 3, , 是该三棱锥内的一点, Q 到第 i 个面的距离记为 di, 2, 4)Q 点 若 等于 .

考点:类比推理。 专题:计算题。 分析:由 可得 ai=ik,P 是该四边形内任意一点,将 P 与四边形的四个定点连接,得四个小三角

形,四个小三角形面积之和为四边形面积,即采用分割法求面积;同理对三棱值得体积可分割为 5 个已知底面积和 高的小棱锥求体积. 解答:解:根据三棱锥的体积公式 得: 即 S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V, ∴ , ,





故答案为:


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点评:本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力.解题的关键是理解类比推理的意义,掌握 类比推理的方法.平面几何的许多结论,可以通过类比的方法,得到立体几何中相应的结论.当然,类比得到的结 论是否正确,则是需要通过证明才能加以肯定的. 16、 已知等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都是整数, n 项和为 Sn, a1>1, 4>3, 3≤9, bn=2nan, b1+b2+…+bn 前 若 a S 设 则 n+1 的结果为 4+n?2 . 考点:数列的求和。 专题:计算题。 分析:由已知可得 a1+3d>3,3a2≤9? d> ,a1+d≤3? 1≤3﹣d<3﹣ = =2 结合等差数首项 a1 及公差 d 都是整数可得 a a1=2 则 <d≤1? d=1,从而可得 an=2+1×(n﹣1)=n+1,bn=2nan=2n(n+1) ,利用乘公比错位相减的方法求和即可 解答:解:因为 a1>1,a4>3,S3≤9, 所以 a1+3d>3,3a2≤9? d> ,a1+d≤3? 1≤3﹣d<3﹣ = =2 . a ∵等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数 ∴a1=2 则 <d≤1? d=1. ∴an=2+1×(n﹣1)=n+1. ∴bn=2nan=2n(n+1) 令 Sn=b1+b2+…+bn ﹣ =2?21+3?22+…+n?2n 1+(n+1)?2n① ∴2Sn=2?22+3?23+…+n?2n+(n+1)2n+1② ①﹣②得,﹣Sn=2?21+22+…+2n﹣(n+1)?2n+1=﹣n?2n+1﹣4 ∴Sn=4+n?2n+1 故答案为:4+n?2n+1 点评:等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综合一直是数列部分的考查重点之一,而数列的求和中“错位 相减”的求和方法又是求和的重点和难点,要注意方法的把握. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分) 17、在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 的值. .

考点:余弦定理;同角三角函数基本关系的运用。 专题:计算题。 分析: (1)利用诱导公式求出 sin 的值,从而利用二倍角的余弦公式求得 cosB. (2)由两个向量的数量积的定义求出 ac 的值,再利用余弦定理求出 a 和 c 的值. 解答:解: (1)∵cos (2)由 ? =2 可得 = ,∴sin =sin( ﹣ )= ,∴cosB=1﹣2sin2 = .

a?c?cosB=2,又 cosB= ,故 ac=6,

由 b2=a2+c2﹣2accosB 可得 a2+c2=12,∴(a﹣c)2=0,故 a=c,∴a=c= . 点评:本题考查同角三角函数的基本关系,诱导公式和二倍角的余弦公式,两个向量的数量积的定义,以及余弦定 理的应用. 18、某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,且每次遇到红灯的概率都是 , 每次遇到红灯时停留的时间都是 1min. (Ⅰ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2min 的概率;
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(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 X 的分布列及期望. 考点:n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差。 分析: (I)根据已知中学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,且每次遇到红 灯的概率都是 ,每次遇到红灯时停留的时间都是 1min.若这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2min,共包括三种情况,一是没有遇到红灯,二是遇到一次,三是遇到二次,分别求出三种情况的概率,然后代入 互斥事件概率加法公式即可得到答案. (II)分别计算出 X 取值为 0,1,2,3,4 时的概率,即可得到随机变量 X 的分布列,代入数学期望公式,即可得 到答案. 解答:解: (Ⅰ)设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是 2min 为事件 B,这名学生上学路上因遇到红灯 停留的总时间为 X,则 X~B(4, ) . 则由题意,得 P(X=0)=( )4= P(X=1)=C41( )3?( )1= P(X=2)=C42?( )2?( )2= , 分) (2 , 分) (4 . 分) (6 . 分) (8

∴事件 B 的概率为 P(B)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=

(Ⅱ)由题意,可得 X 可能取得的值为 0,1,2,3,4(单位:min) .由题意 X~B(4, ) ∴P(X=k)=C4k?( )4 k?( )k(k=0,1,2,3,4) . ∴即 X 的分布列是 X P ∴X 的期望是 E(X)=4× = . (12 分) 点评:本小题主要考查随机变量的分布列.二项分布.数学期望等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数 据处理能力.运算求解能力和应用意识,其中在计算至多(少)型事件的概率及计算随机变量的分布列时,准确的 分类是解答的关键. 19、如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形,俯视图为正方形,左视图为直角三角 形,尺寸如图所示) . 0 1 2 3 4


(Ⅰ)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积;
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(Ⅱ)求二面角 E﹣PC﹣D 的大小. 考点:用空间向量求平面间的夹角;由三视图求面积、体积。 专题:计算题;综合题。 分析: (Ⅰ)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,求出底面面积和高,即可求出几何体的体积. (Ⅱ)由三视图可知,BE⊥BC,BE⊥BA,以 B 为原点,以 BC,BA,BE 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系, 求出平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z) ,平面 PCE 的法向量为 ,利用 ,求出

二面角 E﹣PC﹣D 的大小. 解答:解: (Ⅰ)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, 分) (1 PA⊥面 ABCD,PA∥EB,且 PA=4 ,BE=2 ,AB=AD=CD=CB=4, 分) (3 ∴VP﹣ABCD= PA?SABCD= ×4 ×4×4= . 分) (4

(Ⅱ)由三视图可知,BE⊥BC,BE⊥BA,以 B 为原点,以 BC,BA,BE 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系,则 B(0,0,0) ,P( 所以 ) ,D(4,4,0)C(0,4,0)(5 分) . .设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z) ,即

,取

. 分) (8

设平面 PCE 的法向量为

,同理可求

. (10 分)

.所

以二面角 E﹣PC﹣D 的大小为 π﹣arccos(

)(12 分) .

点评:本题是中档题,考查三视图的知识,几何体的体积的求法,二面角的求法,考查计算能力,转化思想,空间 想象能力的应用. 20、已知椭圆 的离心率为 .

(Ⅰ)过椭圆 C 的右焦点 F 且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦 长为 1,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设经过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A, 两点, y 轴于点 P, B 交 且 的值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质。 专题:综合题。 , λ1+λ2 求

分析: (Ⅰ)由题意得

解得

,由此能得到所求的椭圆方程.

(Ⅱ)由

,得

.设直线 l 方程为: ,F 点坐标为

,A 点坐标为(x1,y1) , ,因为 ,所以

B 点坐标为(x2 ,y2 ) ,得 P 点坐标

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由此能求出 λ1+λ2 的值.

解答:解: (Ⅰ)由题意得

解得

(2 分)

所以所求的椭圆方程为:

. 分) (4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,得



设直线 l 方程为: ,A 点坐标为(x1,y1) , B 点坐标为(x2,y2) ,得 P 点坐标 ,F 点坐标为 因为 因为 ,所以 ,所以 . 分) (6





. 分) (7



(8 分)





所以

. (10 分)

+

=

=

. (12 分)

点评:本题考查圆锥曲线和直线的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转 化. 21、已知函数 .

(Ⅰ)当 a<0 时,若?x>0,使 f(x)≤0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)令 g(x)=f(x)﹣(a+1)x,a∈(1,e],证明:对?x1,x2∈[1,a],恒有|g(x1)﹣g(x2)|<1. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性。 专题:综合题。 分析: (I)求出函数 f(x)的导函数,令导函数等于 0 求出根,列出 x,f′(x) ,f(x)的情况变化表,通过表得
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到函数的最小值,令最小值小于等于 0 即可. (II)求出 g(x)的导函数,判断出导函数的符号,得到函数 g(x)递减,求出 g(x)的最大值及最小值,通过分 析法只需证得最大值与最小值差的绝对值小于 1 即可,构造新函数 h(x) ,h(x)的导函数,判断出其符号,进一 步求出 h(x)的最大值,得证. 解答:解: (I)当 a<0,由 令 f′(x)=0, ∴ 列表: x f′(x) f(x) 这是 ∵?x>0,使 f(x)≤0 成立, ∴ , ﹣ 减函数 0 极小值 . + 增函数 .

∴a≤﹣e, ∴a 范围为(﹣∞,﹣e]. (Ⅱ)因为对对?x∈[1,a], . 要证明|g(x1)﹣g(x2)|<1, 只需证明 即证明 令 <1, <0. , >0, 所以 所以 在 a∈(1,e]是单调递增函数, <0, ,所以 g(x)在[1,a]内单调递减.所以

故命题成立. 点评:本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,解题的关键是利用导数研究出函数的单调性,判断出函数的 最值,本题第二小题是一个不等式证明的问题,即不等式恒成立问题,恒成立的问题一般转化最值问题来求解. 22、如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,AD⊥CE,垂足为 D,AC 平分∠BAD. (Ⅰ)求证:直线 CE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)求证:AC2=AB?AD.

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考点:圆的切线的判定定理的证明。 专题:证明题。 分析: (I)连接 OC,利用△ OAC 为等腰三角形,结合同角的余角相等,我们易结合 AD⊥CE,得到 OC⊥DE,根据切 线的判定定理,我们易得到结论; (II)连接 BC,我们易证明△ ABC∽△ ACD,然后相似三角形性质,相似三角形对应边成比例,易得到结论. 解答:证明: (Ⅰ)连接 OC,如下图所示: 因为 OA=OC, 所以∠OCA=∠OAC. 分) (2 又因为 AD⊥CE, 所以∠ACD+∠CAD=90°, 又因为 AC 平分∠BAD, 所以∠OCA=∠CAD, 分) (4 所以∠OCA+∠CAD=90°, 即 OC⊥CE, 所以 CE 是⊙O 的切线. 分) (6 (Ⅱ)连接 BC, 因为 AB 是⊙O 的直径, 所以∠BCA=∠ADC=90°, 因为 CE 是⊙O 的切线, 所以∠B=∠ACD, 分) (8 所以△ ABC∽△ACD, 所以 ,

即 AC2=AB?AD. (10 分)

点评:本题考查的知识点是圆的切线的判定定理,判断切线有两种思路,一是过圆上一点,证明直线与过该点的直 径垂直;一是过圆心作直线的垂线,证明垂足在圆上. 23、 (选做题)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 系,曲线 C 的参数方程为 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标 (α 为参数) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

考点:圆的参数方程;点到直线的距离公式;简单曲线的极坐标方程。 专题:计算题。 分析:求出直线的直角坐标方程,利用同角三角函数的基本关系消去参数 α,得到曲线 C 的直角坐标方程, 求出圆心到直线的距离,利用弦长公式求得线段 AB 的长.
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解答:解:直线 l 的倾斜角为 60°,且经过原点,故直线的直角坐标方程为 , 利用同角三角函数的基本关系消去参数 α,得到曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=4, 它是以 C(1,0)为圆心,半径 r=2 的圆. 圆心 C 到直线 l 的距离 d= = .∴ .

点评:本题考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用. 24、 (选做题)选修 4﹣5:不等式选讲 已知|x1﹣2|<1,|x2﹣2|<1. (Ⅰ)求证:|x1﹣x2|<2; (Ⅱ)若 f(x)=x2﹣x+1,求证:|x1﹣x2|≤|f(x1)﹣f(x2)|≤5|x1﹣x2|. 考点:不等式的证明。 专题:证明题。 分析: (I)利用|x1﹣x2|=|(x1﹣2)﹣(x2﹣2)|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|证明结论. (II)化简|f(x1)﹣f(x2)|为|x1﹣x2||x1+x2﹣1|,先证 1<x1<3 和 1<x2<3,可得 1<x1+x2﹣1<5,从而得到 |x1﹣x2|≤|x1﹣x2||x1+x2﹣1|≤5|x1﹣x2|. 解答:证明: (I)∵|x1﹣x2|=|(x1﹣2)﹣(x2﹣2)|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|<1+1=2, ∴|x1﹣x2|<2 成立. (II)|f(x1)﹣f(x2)|=|x12﹣x22﹣x1+x2|=|x1﹣x2||x1+x2﹣1|,∵|x1﹣2|<1,∴﹣1<x1﹣2<1,即 1<x1<3, 同理 1<x2<3,∴2<x1+x2<6.∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2﹣1<5, ∵0≤|x1﹣x2|<2,|x1﹣x2|≤|x1﹣x2||x1+x2﹣1|≤5|x1﹣x2|, ∴|x1﹣x2|≤|f(x1)﹣f(x2)|≤5|x1﹣x2|. 点评:本题考查绝对值不等式的性质,不等式的性质,证明 1<x1+x2﹣1<5 是解题的关键.

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参与本试卷答题和审题的老师有: xueweixiang;caoqz115588;qiss;wdnah;涨停;Mrwang;sllwyn;zlzhan;xintrl;minqi5;吕静;kuailenianhua; 俞文刚。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 2 月 23 日

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