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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,部分解析参考版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,参考 版解析)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
607

1. i 为虚数单位, i A. ?i 【答案】 A . 【解析】 试题分析:因为 i

?

B. i

C. ?1

D.1

607

? (i 2 )303 ? i ? ?i ,所以应选 A .

考点:1、复数的四则运算; 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) A. 134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 【答案】 B .

考点:1、简单的随机抽样; 3.命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是 A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 【答案】 C . 【解析】 试题分析: 由特称命题的否定为全称命题可知, 所求命题的否定为 ? x ? (0, ??) ,ln x ? x ? 1 , 故应选 C . 考点:1、特称命题;2、全称命题; B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

1

4.已知变量 x 和 y 满足关系 y ? ? 0.1x ? 1 ,变量 y 与 z 正相关. 下列结论中正确的是 A. x 与 y 负相关, x 与 z 负相关 C. x 与 y 正相关, x 与 z 负相关 【答案】 A . B. x 与 y 正相关, x 与 z 正相关 D. x 与 y 负相关, x 与 z 正相关

考点:1、线性回归方程; 5. l1 , l2 表示空间中的两条直线,若 p: l1 , l2 是异面直线;q: l1 , l2 不相交,则 A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】 A .

考点:1、充分条件;2、必要条件;

6.函数

f ( x) ? 4? | x | ? lg

x 2 ? 5x ? 6 x ? 3 的定义域为
B. (2, 4]

A. (2, 3) C. (2, 3)
(3, 4]

D. (?1, 3)

(3, 6]

【答案】 C . 【解析】 试 题 分 析 : 由 函 数 y ? f ( x) 的 表 达 式 可 知 , 函 数 f ( x) 的 定 义 域 应 满 足 条 件 :

2

4? | x |? 0,
(2, 3)

x2 ? 5x ? 6 ?0 x ?3 , 解 之 得 ?2 ? x ? 2, x ? 2, x ? 3 , 即 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为

(3, 4] ,故应选 C .

考点:1、函数的定义域求法;
? 1, ? sgn x ? ? 0, ? ?1, ? 7.设 x ? R ,定义符号函数 x ? 0, x ? 0, x ? 0.



A. | x | ? x | sgn x | C. | x | ? | x | sgn x 【答案】 D .

B. | x | ? x sgn | x | D. | x | ? x sgn x

考点:1、新定义;2、函数及其函数表示; 8.在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ 的概率,则 1 1 p1 ? p2 ? p1 ? ? p2 2 2 A. B. C.

x? y?

1 1 xy ? p 2 ”的概率, 2 为事件“ 2”

p2 ?

1 ? p1 2

1 ? p2 ? p1 D. 2

【答案】 B . 【解析】
1 1 1 ? ? 1 1 1 p1 ? 2 2 2 ? x? y? xy ? 1 ? 1 8 2 2 ”的概 试题分析:由题意知,事件“ ”的概率为 ,事件“

3



p2 ?

S0 S

S0 ?

, 其 中

1 1 1 1 ? 1 ? ?1 dx ? (1 ? ln 2) 2 2 x 2 2



S ? 1?1 ? 1

, 所 以

1 S0 2 (1 ? ln 2) 1 1 p2 ? ? ? (1 ? ln 2) ? S 1?1 2 2 ,故应选 B .

考点:1、几何概型;2、微积分基本定理; 9.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位 长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则 A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 【答案】 D . B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

考点:1、双曲线的定义;2、双曲线的简单几何性质; 10.已知集合

A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z}



B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z}

,定义集合

4

A ? B ?{ ( 1x ? 2x , 1y ? 2 y) ( 1x, 1y? )

A , (2 x , 2? y) B } ,则 A ? B 中元素的个数为

A.77 【答案】 C . 【解析】

B.49

C.45

D.30

考点:1、分类计数原理;2、新定义; 第Ⅱ卷(共 110 分) (非选择题共 110 分) 二、填空题(每题 7 分,满分 36 分,将答案填在答题纸上) 11.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? _________. 【答案】 9 .

考点:1、平面向量的数量积的应用;
? x ? y ? 4, ? ? x ? y ? 2, ?3 x ? y ? 0, 12.若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 3x ? y 的最大值是_________.

【答案】 10 . 【解析】 试题分析: 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示, 然后根据图像 可得: 目标函数 z ? 3x ? y 过点 B(3,1) 取得最大值,即

zmax ? 3? 3 ? 1 ? 10 ,故应填10 .

5

考点:1、简单的线性规划问题; π f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x2 2 13.函数 的零点个数为_________. 【答案】 2 .

考点:1、函数与方程;2、函数图像; 14.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额 (单位:万元)都在区间 [0.3, 0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中的 a ? _________; (Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间 [0.5, 0.9] 内的购物者的人数为_________.

【答案】 (Ⅰ)3; (Ⅱ)6000. 【解析】 试 题 分 析 : 由 频 率 分 布 直 方 图 及 频 率 和 等 于
0 .? 2 ? 0 . 1? 0 ? . 8 ?0 . ? 1 1 ? . a 5? 0 .?, 1 ? 2 ? 0 . 1?

1

可 得
0 . 1
6

2 . 5

0 . 1

解 之 得
0 ? . 2

a?3

. 于 是 消 费 金 额 在 区 间
0 ? . 8?

[ 0 . 5 内 , 0 9 为 ] 频.率

?0 . ? 1

0 ? . ,所以消费金额在区间 1? 2 ?0 . 1 3[0.5,00.9] . 内的购物者的人数 1 0 . 6

为: 0.6 ? 10000 ? 6000 ,故应填 3;6000. 考点:1、频率分布直方图; 15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此 山的高度
CD ? _________m.
D

C

6 【答案】 100 B .

A

考点:1、正弦定理;2、解三角形的实际应用举例; 16.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方) , 且
AB ? 2

.

(Ⅰ)圆 C 的标准方程为_________; (Ⅱ)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_________.

7

2 2 【答案】 (Ⅰ) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ; (Ⅱ) ?1 ? 2 .

【解析】

考点:1、直线与圆的位置关系;2、直线的方程;
2 17.a 为实数,函数 f ( x) ? | x ? ax | 在区间 [0, 1] 上的最大值记为 g (a) . 当 a ? _________时,

g (a) 的值最小.

【答案】 2 2 ? 2 .

8

考点:1、分段函数的最值问题;2、函数在区间上的最值问题;

9


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