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高中数学选修4-4第二讲二(2)


2. 双曲线的参数方程

类似于探究椭圆参数方 程的方法, 我们来探究 2 2 x y ② 双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? a b y 的参数方程 . B` M 如图2 ? 10, 以原点O为圆 C A 心, a, b?a ? 0, b ? 0 ?为半 C ? x O B A` 径分别作同心圆C1 , C2 .设 A为圆C1上任一点, 作直 线OA, 过点A作圆C1的切 图2 ? 10 线AA`与x轴交于点A`, 过 圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB `与直线OA交 于点 B`.过点 A`, B`分别作 y 轴, x 轴的平行线A`M , B`M交于点M .
1
2

动画演示 观察参数的几何意义及 , 动点M形成轨迹过程 .

设O x为始边 , O A为终 边的角为 ? , 点M的坐 标为? x, y ?.那么点 A`的 坐标为 ? x,0 ?, 点B`的坐 标为?b, y ?.
因为点 A在圆 C1上,由圆 的参数方程得点 A的坐 AA` ? ? x ? a cos ? ,? a sin ? ?.

y

B` A ? O B

M

A`

x

图2 ? 10

标为?a cos ? , b sin ? ?, 所以OA ? ?a cos ? , b sin ? ?,
因为OA ? AA`, 所以OA ? AA` ? 0, 从而

a cos ? ? x ? a cos ? ? ? ?a sin ? ? ? 0.
2

a 解得 x ? .记 cos ? 1 ? sec ? , 则x ? a sec ? . cos ?

y

B` A ? O B

M

A`

x

因为点 B`在角 ?的终边上 ,由 y 图2 ? 10 三角函数定义有 tan ? ? , b 即y ? b tan ? . 所以, 点M的轨迹的参数方程为
x ? a sec ? , y ? b tan ? .

?? 为参数 ?



1 sin2 ? 2 2 因为 2 ? ? 1, 即sec ? ? tan ? ? 1, 2 cos ? cos ?
所以, 从 ③消去参数 ? 后得到点 M的轨迹的普通 方程为 ②, 这是中心在原点 , 焦点在 x轴上的双曲 线.所以 ③就是双曲线 ② 的参数方程 .
③ 在双曲线的参数方程 中, 通常规定参数 的范 ? ? 3? 围为? ? ?0,2? ?, 且? ? , ? ? . 2 2 思考 类比椭圆的参数方程从双曲线的参数方 , 程中可以得出哪些结论 ?

? 由图2 ? 10?或通过动画演示可以看到 , 参数?是点M所对应 y 的圆的半径OA 的旋 B` M A 转角 称为点M的离 ( ? 心角), 而不是OM的 O B A` 旋转角.
与椭圆类似 双曲线 ,
2 2

x

图2 ? 10

x y ? 2 ? 1上任意一点的坐标可以 设为 2 a b ?a sec ? , b tan ? ?, 这是解决与双曲线有关 的问题的重要方法 .

例 2 如图 2 ? 11, 设 M 为双曲 x2 y2 线 2 ? 2 ? 1?a, b ? 0 ? 上任意 a b 一点, O为原点, 过点M 作双曲 线两渐近线的平行线 分别与 , 两渐近线交于 , B两点.探求平 A 行四边形MAOB 的面积 ,由此 可以发现什么结论?

y

A M

O
B

x

图2 ? 11

动画演示四边形面积与点 在双曲线上位置无关 , M .

b 解 双曲线的渐近线方程为 ? ? x. 不妨设M为 y a 双曲线右支上一点 , 其坐标为?a sec?, b tan ? ?,

则直线MA的方程为 b y ? b tan? ? ? ? x ? a sec? ?. ④ A a M b O x 将y ? x代入④ , 解得点A的横 B a a 坐标为x A ? ?sec? ? tan? ?. 2 图2 ? 11 同理可得点 的横坐标为 B a b xB ? ?sec? ? tan? ?. 设?AOx? ? , 则tan? ? . 2 a 所以, 平行四边形 MAOB的面积为

y

S平行四边形MAOB ?| OA | ? | OB | sin 2? xA xB ? ? ? sin2? cos? cos?
2 2 2

y

A M

a ?sec ? ? tan ? ? ? ? sin 2? 2 4 cos ?

O
B

x

a2 a 2 b ab 图2 ? 11 ? ? tan ? ? ? ? . 2 2 a 2 由此可见 , 平行四边形 MAOB的面积恒为定值 , 与点 M在双曲线上的位置无关 .
请你尝试用双曲线的普 通方程直接求解例 , 并由 2 此体会参数方程的作用 .


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