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湖北省2016届高三数学上学期第四次月考试题 理


湖北省 2016 届高三数学上学期第四次月考试题 理
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序 号填涂在答题卡上)
x 1. 已知集合 A ? ?? 1,1?, B ? x 1 ? 2 ? 4, x ? R ,则 A ? B 等于( )

?

?

A. ??1, 0,1?

B. ?1? )

C. ??1,1?

D. ?0,1?

2. 复数 z 满足 (2 ? i ) z ? ?3 ? i ,则 z ? ( A. 2 ? i B. 2 ? i

C. ? 1 ? i

D. ? 1 ? i )

3. 已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为( A.

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

4. 设已知数列 ?an ? 对任意的 m, n ? N ,满足 am?n ? am ? an ,且 a2 ? 1 ,那么 a10 等于( ) A.3 B.5 C.7 D.9

5. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 确的是( )

?
6

个单位后, 得到函数 y ? g ( x ) , 下列关于 y ? g ( x ) 的说法正

A.图象关于点 ( ? C.在区间 [?

?
3

, 0) 中心对称

B.图象关于 x ? ? D.在 [?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6


? ?

, ] 单调递减 6 3

6. 下列说法中,正确的是(

2 2 A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题

2 B.命题“存在 x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 ”的否定是:“任意 x ? R, x 2 ? x ? 0 ”

C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D.已知 m, n ? R, 则“ ln m ? ln n ”是“ e ? e ”的必要不充分条件
m n

7. 函数 f ? x ? ? ? A. ? ? 6

? ?2 ? x,
2

x ? 0,
B. ? ? 2

? ? 4 ? x ,0 ? x ? 2,
x ? [?1,0) x ? [0,1]

,则

?

2 ?2

f ? x ? dx 的值为 (
C. 2?

) D. ).

8

?x ? 1 8. 已知 f ( x) ? ? 2 ?x ? 1

,则下列函数的图象错误 的是( ..

1

9. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可 以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心﹐其中 x, y ,分别为原点 O 到两个 顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为 a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的 最大值为( ) 。

? ?

10. 对于函数 f ? x ? 和 g ? x ? ,设 m ? x ? R f ? x? ? 0 , n ? x ? R g ? x ? ? 0 ,若存在 m 、 n ,使得
m ? n ?1 , 则 称 f

?

?

?

?

?x ?与 g ? ? x互 为 “ 零 点 关 联 函 数 ” . 若 函 数 f ? x ? ? ex?1 ? x ? 2
) 。



g ? x ? ? x2 ? ax ? a ? 3 互为“零点关联函数”,则实数 a 的取值范围为(

7 A. [2, ] 3

7 B. [ ,3] 3

C. [2,3]

D. [2, 4]

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置) 11. 已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos 2? =________________; 3

12. 如图,互不相同的点 A1 , A2 ,?, An ,? 和 B1,B2,?,Bn,?分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn= an ,若 a1 =1, a2 =2,则 a9 = 13. 设 G 为 ?ABC 的重心,若 AB ? ? AG ? ? AC, 则 ? ? ? ? 14. 定义域为 ?a, b? 的函数 y ? f ( x) 的图像的两个端点为 A, B , M ( x, y ) 是 f ( x) 图像上任意一点, 其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b(? ? ?0,1?) ,向量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB ,若不等式

MN ? k 恒成立,
2

则称函数 f ( x) 在 ?a, b? 上“ k 阶线性近似”,若函数 y ? x ? 实数 k 的取值范围是

1 在 ?1,2? 上“ k 阶线性近似”,则 x

15.已知函数 f ( x) 及其导数 f ?( x) ,若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ,则称 x0 是 f ( x) 的一个“巧 值点”,下列函数中,有“巧值点”的是 (填上正确的序号)

(3) f ( x) ? ln x ; (4) f ( x) ? tan x ; (5) f ( x) ? x ? (1) f ( x) ? x 2 ; (2) f ( x) ? e ? x ;

1 x

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 11 分)

? ?? x ? 1( x ? ?2) ? 1 ? 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3(?2 ? x ? ),( x ? R) 2 ? 1 ? 5 x ? 1( x ? ) ? 2 ? (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)已知 m ? R ,命题 p : 关于 x 的不等式 f ( x) ? m 2 ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;命题 q : 函数 y ? (m 2 ? 1) x 是增函数,若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求实数 m 的取值范围
17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x,?1), b ? ( 3 cos x,? ), 函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (2)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,其中 A 为锐角,a ? 2 3, c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 , 求 ?ABC 的面积 S 18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的奇数项是首项为 1 的等差数列,偶数项是首项为 2 的等比数列,且满 足 a2 ? a3 ? a4 , a11 ? a3 ? a4 ,记 bn ? a2n?1 (1)求数列 ?bn ?的通项公式; (2)设数列 ?
2 ? bn ? bn ? 1? ? 的前 2014 项和为 T2014 .求不超过 T2014 的最大整数. 2 b ? b ? n n ?

1 2

(n ? N ? )

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ?

?
6

)

3

(1)当 x ? ?? (2)若 f (

? 1 1? , 时,求 f ( x) 的最值; ? 2 2? ?

? 1 2? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值 2? 4 3

20. (本小题满分 14 分) 某 商 场 预 计 2015 年 从 1 月 起 前 x 个 月 顾 客 对 某 种 商 品 的 需 求 总 量

p( x) ?

1 x( x ? 1)( 41 ? 2 x)( x ? 12, x ? Z ? ) (单位:件) 2

(1)写出第 x 个月的需求量 f ( x) 的表达式; (2)若第 x 个月的销售量

? f ( x) ? 21x,1 ? x ? 7, x ? Z ? 10e x ? (单位:件) ,每件利润 q ( x) ? g ( x) ? ? x 2 1 2 ? x ? x ( x ? 10x ? 96),7 ? x ? 12, x ? Z ?e 3
(单位: 元) , 求该商场销售该商品, 预计第几个月的月利润达到最大值?月利润的最大值是多少? (参考数据: e ? 403)
6

参考答案 一.选择题:

1 ? 5BCDBC
二.填空题:

6 ? 10 BADDC

11. ?

5 ; 3

12.5



13.2

; 14.? ?

?3 ?2

? 2 ,?? ? ; 15.(1)(3)(5) ?
4

三.解答题

17. 解: (Ⅰ)f ( x ) = ( a + b )? a -2 = a ? a? b ?2 =sin x +1+ 3 sin x cos x +
2

? ?

?

?2

??

1 ?2------------------------------2 分 2

=

1 ? cos 2 x 1 3 + sin2 x ? 2 2 2

=

1 ? 3 sin2 x ? cos2 x =sin(2 x ? )---------------------------4 分 2 6 2

因为 ω =2,所以 T = π ------------------------------------------6 分 (Ⅱ)f ( A ) = sin(2 A ? 以 2A?

? ? ? = ,A = ------------------------------------------8 分 6 2 3 1 2 2 2 2 则 a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 12 = b +16 ?2×4 b × , 2


? ? ? ? 5? ) = 1 因为 A ∈ (0, ) , 2 A ? ∈ ( ? , ) ,所 6 6 2 6 6

b 2 ? 4b ? 4 ? 0



b ? 2 -------------------------------------------------------10 分 1 1 ? 从而 S = bc sin A = ×2×4× = 2 3 ------------------12 分 2 2 3
18. 解:(1)设奇数项构成等差数列的公差为 d ,偶数项构成正项等比数列的公比为 q 由 a2 ? a3 ? a4 , 可得 3 ? d ? 2q ,
5

由 a11 ? a3 ? a4 得 q ? 2d 所以 d ? 1 , -----------------------------------------------------2 分

a2n?1 ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n (n ? N ? ) -------------------------------------------------------4 分



bn ? a2n?1 ? n .--------------------------------------------------------------------------------- 6 分 (2)由 bn ? n
2 bn ? bn ? 1 1 1 1 1 ------------------------9 分 ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? 2 bn ? bn bn ? bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 T2014 ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ---------------------10 分 1 2 2 3 2014 2015 1 T2014 ? 2015 ? -------------------------------------------------------------------1 2015
1分 不超过 T2014 的最大整数为 2014.------------------------------ 12 分 19. (1)最大值 2,最小值 ? 3 -----------------------------------4 分 (2)由 f (

所以 sin( 而 cos(

? 1 ) ? ,所以有: 2? 4 ? ? ? ? 1 2 sin(? ? ? ) ? 2 sin( ? ) ? 2? 6 2 6 4 ? ? 1
2 ? 6 )? 8

----------------------------------------------6 分

?
3

?

?

? ? ? ? ? 1 ?? ) ? cos? ? ( ? )? ? sin( ? ) ? ----------------8 分 2 6 2 ? 6 2 8 ?2

所以 cos(

2? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? cos?2( ? )? ? 2 cos2 ( ? ) ? 1 ------------11 分 3 3 2 ? 3 2 ?

即 cos(

2? ? ? 31 ? ? ) ? 2 sin 2 ( ? ) ? 1 ? ? ------------------------12 分 3 2 6 32

20.解: (1)当 x ? 1 时, f (1) ? p(1) ? 39; ----------------------------------------1 分 当 x ? 2 时,

f ( x) ? p( x) ? p( x ? 1) ?

1 1 x( x ? 1)( 41 ? 2 x) ? ( x ? 1) x(43 ? 2 x) ? 3x(14 ? x) ---2 分 2 2

? f ( x) ? ?3x 2 ? 42x( x ? 12 且 x ? Z ? )---------------------------------------------5 分

6

(2)设月利润为 h( x) ,则

?30e x (7 ? x),1 ? x ? 7, x ? Z ? ? ------------------6 分 h( x) ? q( x) g ( x) ? ?10 3 2 ? ? x ? 100x ? 960,7 ? x ? 12, x ? Z ?3
x ? ? ?30e (6 ? x),1 ? x ? 7, x ? Z ? ? h ( x) ? ? ----------------------------------8 分 ? ? ?10( x ? 8)(x ? 12),7 ? x ? 12, x ? Z

当 1 ? x ? 6 时, h?( x) ? 0 ,当 6 ? x ? 7 时, h?( x) ? 0 ,

h( x) 在 x ? ?1,6? 单调递增,在 (6,7) 上单调递减----------------------------------9 分

; ---------------11 分 ? 当 1 ? x ? 7 且 x ? Z ? 时, h( x) max ? h(6) ? 30e 6 ? 12090
当 7 ? x ? 8 时, h?( x) ? 0, 当 8 ? x ? 12 时, h?( x) ? 0,

? h( x) 在 x ? ?7,8? 上单调递增,在 (8,12) 上单调递减,----------------------12 分
? 当 7 ? x ? 12 且 x ? Z 时, h( x) max ? h(8) ? 2987? 12090 ; ----------------13 分

综上,预计该商品第 6 个月的月利润达到最大,最大利润约为 12090 元-----14 分 21.解: (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0?

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 ------------------------------------------1 分 1? 0

∴ f ( x) ?

x 1 1 ?x ? ln(1 ? x), ∴ f ?( x) ? ,-----------------2 分 ? ? 2 2 1? x ?1 ? x ? 1 ? x ?1 ? x ?

当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ??? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 ------------------------------------------------4 分 (2)①由已知得: g ?( x ) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;---------------------5 分

7

(ii)若 b ? 0 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;----6 分 (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x ) ? 当 x ? ?0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴ 不 能 使

g(x ? )

在0

? 0, ?? ?











-----------------------------------------------8 分 综上所述,b 的取值范围是 ?1,??? ---------------------------------------------------9 分 ②由以上得:

1 x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) ,取 x ? 得: n 1? x 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? --------------------------------------------------------------1? n n n

-------10 分 令 xn ?

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ?0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 2 n ?1 ? n ?1 ? n ?1 n ? n ? 1? n
n 1 k 1 ;即: ? 2 ? ln n ? .------ -----------------------12 2 2 k ?1 k ? 1

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? 分 又 ln n ?

n ?1 ? 1? ln k ? ln k ? 1 ? ln1 ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k? k ?2 k ?1 n

故 xn ?

?k
k ?1

n

n ?1 k n ? 1 ? n?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ?? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? 1 k ?1 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1

? ?(
k ?1

n ?1

n ?1 n ?1 k 1 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? 2 2 n k ?1 k k ?1 (k ? 1)k k ?1 (k ? 1)k

















?1 ? ?

k ? k ?1 k ? 1
2

n

nl ?

1 n? ?n 2

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成 , 立2 1

,

--------------------------------------14 分
8


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