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§3.2 一元二次不等式及其解法教学设计方案


§3.2 一元二次不等式及其解法教学设计方案
【教学目标】 知识与技能 (1)掌握一元二次不等式的解法; (2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组; (3)能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式,理解它们三者之间的内在联系 , 掌握图像法解一元二次不等式;培养学生数形结合的能力; (4)能够进行较简单的分类讨论,借助于数轴的直观,求解简单的含字母的一元二次不等式; 过程与方法 (1) 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不 等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; (2)通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想; (3)通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的, 树立辨证的世界观.

情感态度与价值观 激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联 系的辩证思想。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.

【教学过程】 (一)课题导入 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司(ISP)的任务就是负责 将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用。 某同学要把自己的计算机接入因特网,比如说在我们周围现有两家 ISP 公司电信和网通可供选 择。假如电信公司每小时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时计算) ;网通公司的收费原则如下图所示, 即在用户上网的第 1 小时内(含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小 时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算) 。
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一般来说,一次上网时间不会超过 17 小时,所以,不妨设一次上网时间总小于 17 小时。那么, 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用? 分析问题:假设一次上网 x 小时,则电信公司收取的费用为 1.5x(元) ,网通公司收取的费用为

x(35 ? x) x(35 ? x) ? 1.5 x , (元) ,如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少,则 20 20
整理得:一元二次不等式模型: x ? 5x ? 0
2

???? ①

设计意图:从实际生活中抽取一元二次不等式模型,引入课题. (二)讲授新课 1、一元二次不等式的定义 像 x ? 5x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次
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不等式。 2、探究一元二次不等式 x ? 5 x ? 0 的解集
2

怎样求不等式 x ? 5x ? 0 的解集呢?
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探究: 一元二次不等式不是我们熟悉的东西,但是大家看 f ( x) ? x 2 ? 5x 和 x ? 5 x ? 0 这是什么?
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我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程,那么这三者之间又有着怎样的关系呢? 容易知道: 二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 ,二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 。 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x ? 5 x 的图象,如图,观察函数图象,
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可知: 当 x < 0,或 x > 5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y > 0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

当 x ? 0 ,或 x ? 5 时,函数图像与 x 轴相交,此时, y ? 0 ,即 x ? 5 x ? 0
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当 0 < x < 5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y < 0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

通过上述分析,我们可知,不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} ,从而解决了开始时提
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2

出的问题,所以我们可知当一次上网在 5 个小时之内(含 5 个小时)的时候,选择电信比选择网通 费用要少。当超过 5 个小时的时候,选择网通费用较少。因此,我们可以结合平时的上网时间合理 的来进行选择。 设计意图:从一个特殊的不等式出发,通过图像分析给出:一元二次不等式可以通过结合其所 对的二次函数图像来进行求解。 (3)探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式: ax ? bx ? c > 0(a > 0)或 ax ? bx ? c <
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0(a > 0) ,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢?
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组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以 下两点: (1)二次函数 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程 ax ? bx ? c =
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0 的根的情况; (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号。
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总结讨论结果: (1)二次函数 y ? ax ? bx ? c (a > 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元
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二次方程 ax ? bx ? c = 0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值情况(Δ > 0,Δ = 0,Δ < 0)来确定,因
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此,要分三种情况讨论; (2)a < 0 可以转化为 a > 0。 归纳总结:一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则
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不等式的解的各种情况如下表:

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判别式

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
例题讲解:

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

两根之外

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

两个之间

例 1、解下列关于 x 的不等式 (1) x ? x ? 6 ? 0 ; (2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; (3)解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2 2 2

解: (1)因为 ? ? (?1)2 ? 4 ?1? (?6) ? 25 ? 0 ,方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的两根是 x1 ? 3, x2 ? ?2 , 所以,原不等式的解集是 x x ? 3或x ? ?2 。 (2)因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ?
2

?

?

1 , 2

所以,原不等式的解集是 ? x x ?

? ?

1? ?。 2?
化标准

(3)整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,
2

因为 ? ? (?2) ? 4 ?1? (?3) ? 16 ? 0 ,
2

方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解是 x1 ? 3, x2 ? ?1
2

判Δ ,求根

4

所以不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 x ?1 ? x ? 3 ,
2

?

?

从而,原不等式的解集是 x ?1 ? x ? 3 。 小结:解一元二次不等式的步骤:

?

?

下结论

(1)化标准:将不等式化成标准形式(右边为 0、最高次的系数为正) ; (2)判Δ ,求根:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根; (3)下结论:注意结果要写成集合或者区间的形式 设计意图:通过三种不同形式的题目,让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解,强 调一些注意事项,让学生规范操作。 (在第三个不等式上可以进行讨论) 。 课堂练习: 1、解下列关于 x 的不等式 (1) x ? 4 x ? 9 ? 0
2

(2) 3x ? 7 x ? 10
2

(3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

设计意图:检验教学效果,学生黑板演练。 备选例题(根据学生程度和课堂时间情况进行调整) 例 2、求函数 f ( x) ?

x ? 2 ? log3 (3 ? 2x ? x2 ) 的定义域
? x?2? 0 , 2 ?3 ? 2 x ? x ? 0

解:要使得函数有意义,则 ?

所以 ?

? x?2 , ?? 1 ? x ? 3

即2 ? x ? 3,

故函数 f ( x) 的定义域是 [2,3) 。 设计意图:结合函数定义域,拓宽学生知识面,列出式子让学生黑板练习,检验教学效果。 (三)课时小结 今天我们学习了一元二次不等式及其解法,同学下去可以再多看看三个二次之间的关系, 结

合函数图像给出不等式的解集。同时要注意解决一元二次不等式的一些需要注意的地方;例如不等 式的右边为 0、最高次的系数为正等等。 同时请同学们下去思考:我们刚才提到的很多个不等式的左边实际上都可以进行因式分解,那 么同学们又是否可以根据因式分解的结果来写出所对不等式的解集呢?
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(四)作业: 课本习题 3.2 A 组第 1、2 题。

(五)板书设计 3.2 一元二次不等式解法 1.一元二次不等式的定义 2. “三个二次”间的关系 (有关结论以表格的形式通过多媒 体或其他载体给出) 3.讲解例题 例1 例2 7.课外作业 6.小结 5.课堂练习(学生演板) 4.总结解题步骤

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