2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 19：变换与矩阵、极限
一、选择题 1 ． （2013 年上海市春季高考）展开式为 ad-bc 的行列式是

（

）

a
A．

b c
B．

a b

c d
C．

a b

d c
D．

b d

a c

d

【答案】B 二、填空题 2 ． （2013 年高考上海卷（理） 若 ）

x2 ?1

y2 1

?

x y

x ?y

,则 x ? y ? ______

【答案】 x ? y ? 0 .

三、解答题（每题 10 分，共 30 分） 3 ． （2013 年福建数学（理） 已知直线 l : ax ? y ? 1 在矩阵 A ? ? ）

?1

2? ? 对应的变换作用下变为直线 ?0 1 ?

l ' : x ? by ? 1 .
(Ⅰ)求实数 a, b 的值;

(Ⅱ)若点 p ( x0 , y0 ) 在直线上,且 A ?

? x0 ? ? x0 ? ? ? ? ? ,求点 p 的坐标. ? y0 ? ? y0 ?

【 答 案 】 解 :(Ⅰ) 设 直 线 l : ax ? y ? 1 上 任 意 一 点 M ( x, y ) 在 矩 阵 A 对 应 的 变 换 作 用 下 的 像 是

M ?( x?, y?)

由?

? x? ? ? 1 2 ? ? x ? ? x ? 2 y ? ? x? ? x ? 2 y ??? ?? ? ? ? ? ,得 ? ? y? ? ? 0 1 ? ? y ? ? y ? ? y? ? y

又点 M ?( x?, y?) 在 l ? 上, 所以 x? ? by? ? 1 ,即 x ? (b ? 2) y ? 1

依题意 ?

? a ?1 ?b ? 2 ? 1

,解得 ?

? a ?1 ?b ? ?1

(Ⅱ)由 A ?

? x0 ? ? x0 ? ? x0 ? x0 ? 2 y0 解得 y0 ? 0 ? ? ? ? ,得 ? ? y0 ? ? y0 ? ? y0 ? y0

又点 P ( x0 , y0 ) 在直线上,所以 x0 ? 1 故点 P 的坐标为 (1, 0)
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4 ． （2013 年江苏卷）已知矩阵 A ? ?

? ?1 0 ? ?1 2 ? ?1 ,B ? ? ? ? ,求矩阵 A B . ?0 2 ? ?0 6 ? ?a ? b ? ? ? 1? 0 ? ? a ? b ? ?1? 0 ? ? ? a ? ? b ? ?1? 0 ? ? ,则 ? ? ? c ? d ? = ? 0 ?1? ,即 ? 2 c ? 2 d ? = ? 0 ?1? , ?c ? d ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? 2 ? ?

【答案】 解: 设矩阵 A 的逆矩阵为 ? B

故 a=-1,b=0,c=0,d=

1 2

∴矩阵 A 的逆矩阵 为 A

?1

? ? 1? 0 ? ?? 1? , ?0 ? ? ? 2? ?

? ? 1? 0 ? ? ∴ A B=? 1 ?0 ? ? ? 2? ?
?1

?1? 2 ? ? ? 1? ? 2 ? ? 0 ? 6 ? = ?? 0 ? ? 3 ? ? ? ? ?

5 ． （201 3 年上海市春季高考） 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? ? n ? n ,数列 {bn } 满足 bn ? 2
2

an

,求

lim b1 ? b2 ? ? ? bn） （ .
n ??

【答案】[解]当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? ? n ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? ? 2 n ? 2 .
2 2

且 a1 ? s1 ? 0 ,所以 an ? ?2n ? 2 .

1 1 ? ( ) n ?1 ,所以数列 {b n } 是首项为 1、公比为 的无穷等比数列. 4 4 1 4 （ 故 lim b1 ? b2 ? ? ? bn）? ? . n ?? 1 3 1? 4
因为 bn ? 2
?2 n ? 2

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