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湖北省黄冈市2012年秋季高三年级期末考试理科数学试题


湖北省黄冈市 2012 年秋季 2013 届高三年级期末考试 理科数学
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的.把答案写在答题卡中指定的答题处. 1.已知复数

1? z ? i ,则 z 的虚部为( 1? z



A.1 B.-1 C. i D. -i 2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( ) A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 3.有 6 人被邀请参加一项活动,必然有人去,去几人自行决定,共有( )种不同去法 A. 36 种 B. 35 种 C. 63 种 D. 64 种 4.设 a ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项 (a x ?
B. 193 C. -6

1 6 ) 式展开式中 x2 项的系数是( x
D. 7



A. -192

5.已知正项数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , 2an 2 ? an?12 ? an?12 (n≥2),则 a6 等于( A. 16 B. 8 C. 2 2 D. 4



?x ? 2 y ? 2 ? 6.变量 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3 x ? y ? 3 的取值 ? 4 x ? y ? ?1 ?
范围是( A.[ ) B.[-

3 ,9] 2

3 ,6] 2

C.[-2,3]

D.[1,6]

7.如图, AB⊥BC, .若 在四边形 ABCD 中, AD⊥DC, AB ? a, AD ? b , 则 AC ? BD ? (

??? ?

????

??? ??? ? ?



A. a2-b2 B. b2-a2 C. a2+b2 D. ab 8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为( A.1 B.



1 2

C.

1 4

D.

1 8

1

9.如图,F1,F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点. 若 AB : BF 2 : AF2 ? 3: 4:5 ,则双曲线的离心率为( A. 13 B. )

15

C.2

D.

3
1 3 x ? ax ? b 在区间[-1,1]上 2 7 8

10.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f ( x) ? 有且仅有一个零点的概率为( A. ) C.

1 8

B.

1 4

3 4

D、

二、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卡对应题号的位置上· 11.某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分为 70 分,方差 为 75,后来发现有 2 名同学的分数登错了,甲实得 80 分却记成了 50 分, 乙实得 70 分却记成了 100 分,则更正后平均分是__,方差是____ 12.已知 M 是△ABC 内的一点 (不含边界) 且 AB ? AC ? 2 3 , ∠BAC =30°, , 若△MBC, △MCA 和△MAB 的面积分别为 x,y,z,记 f ( x, y, z ) ? 值是__ 13.设函数的 f ( x) ?

??? ??? ? ?

1 4 9 ? ? ,则 f ( x, y, z) 的最小 x y z

2011x ?1 ? 2010 ? ? ? 2012sin x, x ? [? , ] 最大值为 M,最小值为 N,那 x 2011 ? 1 2 2

么 M+N=_____ 14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c, A = 60°,c:b=8:5,△ABC 的面积 为 40 3 ,则外接圆的半径为___ 15.给出以下三个命题,其中所有正确命题的序号为____. ① 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 二 项 和 为 Sn , OA, OB 为 不 共 线 向 量 , 又

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? a, OA ? a2012 OB ,若 PA ? ? PB ,则 S2012 =1006.
②“ a ? ?1 1 ? x 2 dx ””是函数“ y ? cos2 (ax) ? sin 2 (ax) ”的最小正周期为 4"的充要条 0 件;
2 ③已知函数 f ( x ) ? x ? 2 , f a) ?b 若 ( f ()

, 0<a<b,则动点 P(a,b)到直线 4x+3y-15=0 且

的距离的最小值为 1;

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.将解 答写在答题卡对应题号的位置处. 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A=45°,cosB = (I)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 BC= 10 , D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

4 . 5

17.(本小题满分 12 分)盒中有大小相同的编号为 1,2,3,4,5,6 的六只小球,规定: 从盒中一次摸出'2 只球,如果这 2 只球的编号均能被 3 整除,则获一等奖,奖金 10 元,如 果这 2 只球的编号均为偶数,则获二等奖,奖金 2 元,其他情况均不获奖. (1)若某人参加摸球游戏一次获奖金 x 元,求 x 的分布列及期望; (2)若某人摸一次且获奖,求他获得一等奖的概率.

18. (本小题满分 12 分)已知 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 {an } 是公差为正
2

数的等差数列,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn =1- (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2) 记 cn = an b n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

1 bn (n ? N *) 2

19.本小题满分 12 分) M 是由满足下列条件的函数 f ( x ) 构成的集合: 设 ①方程 f ( x) ? x ? 0 有实根;②函数的导数 f ?( x ) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 . (1)若函数 f ( x ) 为集合 M 中的任意一个元素,证明:方程 f(x)一 x=0 只有一个实根; (2)判断函数 g ( x) ?

x ln x ? ? 3( x ? 1) 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 2

(3)设函数 f ( x ) 为集合 M 中的任意一个元素,对于定义域中任意 ? , ? , 证明: | f (? ) ? f (? ) |?| ? ? ? |

3

x2 y 2 3 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 a b 3
l: y ? x ? 2 与以原点为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l2 过点 F 价且垂直于椭圆的长轴,动 直线 l2 垂直于 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方 程; (III)过椭圆 C1 的左顶点 A 作直线 m,与圆 O 相交于两点 R,S,若△ORS 是钝角三角 形,求直线 m 的斜率 k 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax , g ( x) ? ln x , (I)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, ) ,

1 2

3 ? ln 2 . 4 1 ? ax 1 ) 对于任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 (III)设 r ( x) ? f ( x) ? g ( 2 2
求证: h( x1 ) ? h( x2 ) ?

r ( x) ? k (1 ? a2 ) 成立,求实数 k 的取值范围.

4

黄冈市 2012 年秋季高三期末考试数学参考答案(理科)
一选择题 A DC A D ABC A D

1.解:∵ (1 ? z ) ? i(1 ? z ) ? i ? iz ,∴ z ?

i ?1 ? ?i ,∴虚部为-1. i ?1

6.画出可行域可知 x ? 0, y ? 3 ,∴ z ? 3x ? 3 ? y ,

3 ;过点 B(2, 0) 时 zmax ? 9 . 2 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? 7.法一:取 AC 中点 O,则 O 为外接圆圆心,∴ OA ? OB ? OD ,
则结合图形可知 l0 过点 A( ,3) 时 zmin ? ∵ AB ? (OB ? OA)2 ? OB ? 2OB ? OA ? OA ? a 2 ,

1 2

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ??? 2 ? ? ?

???? 2 ???? ??? 2 ???? 2 ???? ??? ??? 2 ? ? ? AD ? (OD ? OA) ? OD ? 2OD ? OA ? OA ? b2 ,两式相减得:
??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 2OA ? (OB ? OD) ? a2 ? b2 ,即 AC ? BD ? b2 ? a 2 .
法二: AC ? BD ? AC ? ( AD ? AB) ? AD ? AC cos ? ? AB ? AC cos ?

??? ??? ? ?

??? ???? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ??? ? ?

???? 2 ??? 2 ? ? AD ? AB ? b2 ? a 2 .
法三:取特例,取四边形 ABCD 为矩形,则

???? ??? ???? ???? ???? ??? ???? 2 ??? 2 ? ? ? ? AC ? BD ? ( AB ? AD) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? b2 ? a 2 .
9.设 AB ? 3k , BF2 ? 4k , AF2 ? 5k ,则由双曲线第一定义可知 而 BF1 ? BF2 ? 2a ? 4k ? 2a ,AF1 ? AF2 ? 2a ? 5k ? 2a , BF1 ? AF1 ? AB ? 8k ? 2a , ∴ k ? a ,∴ BF ? 6a, BF2 ? 4a, F F2 ? 2c ,由勾股定理可知, F F22 ? BF 2 ? BF22 , 1 1 1 1 解得 13a ? c ,即 e ? 13 .
2 2

10.由题意知 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上存在零点且单调, f ?( x) ? ∵ ∴ f (?1) ? f (1) ? 0 ,即 (?

3 2 x ? a ? 0 ,∴ f ( x) 单增, 2

1 1 ? a ? b)( ? a ? b) ? 0 ,作出可行域可知, 2 2

1 1 1 ? ? 7 P ? 1? 2 2 2 ? . 1? 1 8
二填空题 (11)70 50(第一空 2 分,第二空 3 分) (12) 36 (13) 4021 (14)

14 3 3

5

(15)① 13.∵ f ( x) ? 2011 ?

∴ f ( x) max ? f ( ), f ( x) min ? f (?

?

1 ? 2012sin x 显然 f ( x) 单增, 2011x ? 1

?

2

2

), 又∵ f ( x) ? f (? x) ? 4021 ,∴ M ? N ? 4021 . (a1 ? a2012 ) ? 2012 ? 1006 ,∴⑴对; 2

15.⑴ P, A, B 三点共线,∴ a1 ? a2012 ? 1 ,∴ S 2012 ? ⑵ a ? ? 0 1 ? x dx ?
1 2

?
4

,而 y ? cos 2ax 周期为 4,则

? 2? ? 4 ,得 a ? ? ,故⑵错; 4 2a

⑶画图可知 f (a) ? 2 ? a2 ? f (b) ? b2 ? 2 ,∴ a ? b ? 4 且 0 ? a ? 2, 2 ? b ? 2 ,
2 2

则点 P 的轨迹为一段圆弧,而圆上点到直线的最小距离为 1,但此点不在圆弧上,故取不 到,故⑶错. 三解答题 16.解: (Ⅰ)? cos B ?

4 3 , 且 B ? (0? ,180? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? .---------2 分 5 5
---------------- 3 分

cos C ? cos(180? ? A ? B) ? cos(135? ? B)
? cos135? cos B ? sin135? sin B ? ?

2 4 2 3 2 .--------------6 分 ? ? ? ?? 2 5 2 5 10
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ?

2 2 7 ) ? 2 .--------------8 分 10 10

由正弦定理得

10 AB BC AB ,即 ,解得 AB ? 14 .------------10 分 ? ? 7 sin A sin C 2 2 10 2
4 ? 37 , 5

在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD 2 ? 7 2 ? 102 ? 2 ? 7 ? 10 ? 所以 CD ?

37 .-------------------------12 分

17. 解: (1)易知 X 的可能取值为 0,2, 10, X 的分布列为 X 0 2 P(X)

10

16 期望 EX= (元)………6 分 15 (2)设摸一次得一等奖为事件 A,摸一次得二等奖为事件 B,

6

则 P ( A) ?

1 1 ? 2 C 6 15

P( B) ?

C 32 1 ? C 62 5
所以 P ( A ? B ) ?

某人摸一次且获奖为事件 A ? B ,显然 A、B 互斥 故某人摸一次且获奖,他获得一等奖的概率为:

1 1 4 ? ? 15 5 15

P( A | A ? B) ?

P( A) 1 4 1 ? ? ? ………………12 分 P( A ? B) 15 15 4

18. 解:? x 2 ? 12 x ? 27 ? ( x ? 3)( x ? 9) ? 0又 ? d ? 0 ? a2 ? 3, a5 ? 9

a5 ? a2 3分 ? 2 ? an ? 2n ? 1 3 1 2 ? Tn ? 1 ? bn (n ? N *) ? b1 ? 2 3 1 1 1 1 2 1 n 当n ? 2时bn ? Tn ? Tn?1 ? bn?1 ? bn ? bn ? bn?1 bn ? ( ) n ?1 =2(3 ) 2 2 3 3 3 2 4n ? 2 (2) c n ? ?2n ? 1? ? , ……………… 8分 ? 3n 3n 1 3 2n ? 1 ? S n ? 2( ? 2 ? ?????? ? n ) 3 3 3 1 1 3 2n ? 1 ? S n ? 2( 2 ? 3 ? ?????? ? n ?1 ) 3 3 3 3 2 1 1 1 2n ? 1 1 n ?1 ? S n ? 2[ ? 2( 2 ? ?????? ? n ) ? n ?1 ] ? 4( ? n ?1 ) 3 3 3 3 3 3 3 ?d ?
1 Sn=2—(2n+2)( )n………12 分 3

6分

19.解:令 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ? 0 ,故 h(x) 是单调递减函数, 所以,方程 h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? x ? 0 至多有一解, 又由题设①知方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根, 所以,方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根…………………………………..4 分

1 1 1 ? ? (0, ) ? (0,1) ,满足条件②; 2 2x 2 x ln x 令 F ( x) ? g ( x) ? x ? ? ? ? 3( x ? 1) , 2 2
(2) 易知, g ' ( x) ? 则 F (e) ? ?

e 5 e2 ? ? 0, F (e 2 ) ? ? ? 1 ? 0 ,…………………………………..7 分 2 2 2

7

又 F (x) 在区间 [e, e2 ] 上连续,所以 F (x) 在 [e, e2 ] 上存在零点 x 0 , 即方程 g ( x) ? x ? 0 有实数根 x0 ?[e, e2 ] ,故 g (x) 满足条件①, 综上可知, g ( x) ? M …8 分 (Ⅲ)不妨设 ? ? ? ,∵ f ' ( x) ? 0 ,∴ f (x) 单调递增,∴ f (? ) ? f ( ? ) , 即 f ( ? ) ? f (? ) ? 0 ,令 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ? 0 , 故 h(x) 是单调递减函数,∴ f ( ? ) ? ? ? f (? ) ? ? ,即 f ( ? ) ? f (? ) ? ? ? ? , ∴ 0 ? f ( ? ) ? f (? ) ? ? ? ? ,则有 f (? ) ? f ( ? ) ?

? ? ? ….……………..….12 分

20.解: (Ⅰ)由 e ?

3 b2 2 ,得 2 ? 1? e ? ; 3 3 a

………………2 分

由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b 2 相切, 得 所以椭圆的方程是

2 2

?| b | .所以, b ? 2 , a ? 3
…………………4 分

(Ⅱ)由条件,知|MF2|=|MP|, 即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距 离,由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y 2 ? 4 x 。 …………8 分 (Ⅲ)(1)得圆 O 的方程是 x 2 ? y 2 ? 2, A(? 3 ,0), 直线m的方程是y ? k ( x ? 3 ) 由 , 设 R ( x1 , y1 ), S ( x 2 , y 2 ),由? 则 x1 ? x 2 ? ?

x2 y2 ? ? 1. 3 2

? x 2 ? y 2 ? 2, ? 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2 3k 2 x ? 3k 2 ? 2 ? 0 ? y ? k ( x ? 3) ?

2 3k 2 3k 2 ? 2 ……………9 分 , x1 x 2 ? ; 1? k 2 1? k 2 由 ? ? (2 3k 2 ) 2 ? 4(1 ? k 2 )(3k 2 ? 2) ? 0, 得 ? 2 ? k ? 2 . ①…………10 分
因为 ?ORS是钝角三角形, 所以OR ? OS ? 0, 即OR ? OS ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

4k 2 ? 2 x1 x 2 ? k ( x1 ? 3 )( x 2 ? 3 ) ? (1 ? k ) x1 x 2 ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 3k ? ?0 1? k 2 2 2 所以 ? ②……12 分 ?k? . 2 2 由 A、R、S 三点不共线,知 k ? 0 . ③ 2 2 由①、②、③,得直线 m 的斜率 k 的取值范围是 ? ?k? , 且k ? 0 ……13 分 2 2
2 2 2 2

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? g ( x),? a ? x ?

ln x ( x ? 0) , x ln x x 2 ? ln x ? 1 设? ( x) ? x ? , ? '( x) ? ? 0 ,得 x ? 1 , x x2
8

当x ? (0,1)时,x2 ? ln x ?1 ? 0,?? '( x) ? 0, ? ( x) 单减; 当x ? (1, ??)时,x2 ? ln x ?1 ? 0, ? '( x) ? 0, ? ( x) 单增. ?? ( x) ? ? (1) ? 1,? a ? (??,1] …4 分

(Ⅲ) r ?( x) ? 2 x ? a ?

a 2ax ? (a ? 2) x ? ? 1 ? ax 1 ? ax
2 2

2ax( x ?

a2 ? 2 ) 2 2a ? 0 ,得 x ? a ? 2 2a 1 ? ax

1 a2 ? 2 a 1 1 1 ? ? ? (? , ) ,∴ r ?( x) ? 0 ,∴ r ( x) 在区间 [ ,1] 上单增, ∵ a ? (1, 2) ,∴ 2 2a 2 a 2 2 1? a 1? a ? k (1 ? a 2 ) 对 , ∴ 原 不 等 式 等 价 于 1 ? a ? ln 2 2 1 ? a` ? k (1 ? a 2 ) ,则 ? (a) ? 0 ?a ? (1,2) 恒成立. ?a ? (1, 2) 恒成立,令 ? (a ) ? 1 ? a ? ln 2 a ? ?(a) ? (2ka ? 1 ? 2k ) , ? (1) ? 0 . 1? a ?a ? 0 , ? (a) 单减,∴ ? (a) ? ? (1) ? 0 ,不符合; ①若 k ? 0 时, ? ?(a) ? 1? a 2ka 1 ? 2k 1 ? 2k 1 (a ? ) ,∵ ? ? 1 ? 0 ,∴ ? ?(a) ? 0 , ②若 k ? 0 时, ? ?(a ) ? 1? a 2k 2k 2k
∴ r ( x) max ? r (1) ? 1 ? a ? ln ∴ ? (a ) 单减,∴ ? (a) ? ? (1) ? 0 ,不符合; ③若 k ? 0 时,? ?(a ) ?

2ka 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k (a ? ) ,当 ? 1 ,则在区间 (1, min{2, }) 上 1? a 2k 2k 2k

? ?(a) ? 0 ,此时 ? (a) 单减,∴ ? (a) ? ? (1) ? 0 ,不符合;
?k ? 0 ? 而当 ?1 ? 2k 时,在区间 (1, 2) 上 ? ?(a ) ? 0 ,∴ ? (a ) 单增,∴ ? (a) ? ? (1) ? 0 ,符合; ?1 ? 2k ?
∴k ?

1 为所求. 4

9


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