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最新 苏教版 数学必修五 公开课课件 :3.4.1《基本不等式的证明》ppt课件


3.4.1 基本不等式的证明 情景导入 栏 目 链 接 如下图所示,以线段a+b的长为直径作圆,在直径AB上 取点C,使AC=a,CB=b,过点C作垂直于直径AB的弦 DD′,连接AD、DB,则DC能否用a,b表示,DD′与AB 的关系如何?由此你得到怎样的不等式? 课 标 点 击 栏 目 链 接 1.探索并了解基本不等式的证明过程,体会证明不等式的 基本思想方法. 2.理解基本不等式的几何意义,并掌握取“=”的条件. 栏 目 链 接 要 点 导 航 栏 目 链 接 知识点1 基本不等式 a+b 1. 如果 a、 b 是正数, 那么 ≥ ab(当且仅当 a=b 时取“=” 2 号). 2.对基本不等式的理解. a+b (1)称 为 a, b 的算术平均数, 称 ab为 a, b 的几何平均数. 基 2 本不等式可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均 数. 栏 目 链 接 (2)a=b? a+b a+b a+b = ab.也就是说若 a=b, 则 = ab; 若 2 2 2 a+b > ab.这种关 2 a+b 中的等号成 2 栏 目 链 接 = ab,则( a- b)2=0,即 a=b;若 a≠b,则 系可叙述为:当且仅当 a=b 时,基本不等式 ab≤ a+b 立.若 a 与 b 不能相等, ab≤ 中的等号就不能成立,例如:x2 2 +2+ 1 ≥2 x2+2 (x2+2)× 1 =2 中就不能取等号,因为 x2+ 2 x +2 1 2≠ 2 ,与推出 x2=-1 产生矛盾.事实上,令 t=x2+2,则 t≥2, x +2 1 5 易证 f(t)=t+ (t≥2)是增函数, 也就是 f(t)的最小值为 f(2)= , 即 f(t) t 2 不可能等于 2. 知识点2 基本不等式的其他形式与拓展 1.基本不等式的四种形式: 2 2 a + b (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2)ab≤ (a,b∈R); 2 ?a+b?2 ? (a,b∈R+). (3)a+b≥2 ab(a,b∈R );(4)ab≤? ? 2 ? + 栏 目 链 接 注意:(1)前两种形式的前提条件是 a、b 为实数,后两种形式的 前提条件是 a、b 为正实数. (2)四种形式等号成立的条件都是 a=b. 2.平方平均数 调和平均数 2 a2+b2 a+b ,算术平均数 ,几何平均数 ab, 2 2 a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab≥ . 2 2 1 1 + a b 的大小顺序为 1 1 + a b 注意:这里 a、b 都为正实数,当且仅当 a=b 时, a2+b2 a+b 2 = = ab= . 2 2 1 1 + a b 3.常用的几个不等式: (1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a、b、c∈R,当且仅当 a=b=c 时等 号成立). (2)(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)(a、b、c∈R,当且仅当 a=b=c 时 等号成立). 栏 目 链 接 典 例 解 析 栏 目 链 接 题型1 利用基本不等式比较大小 例 1 若 a>0 且 a≠1, M=(1+an)(1+a)n, N=2n+1· an(n∈N*), 则 M、N 之间的大小关系是( A.M>N ) B.M<N 栏 目 链 接 C.M=N D.M、N 大小关系不定 分析:如果用公式展开,计算量很大,且也不好比较大小,如何 出现 2n+1·an 呢?可利用基本不等式. 解析:∵a>0 且 a≠1, ∴

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