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高考数学中不等式恒成立问题的解题“三招”_图文


上海 中学 数学 ? 2 0 1 3年第 4期 

4 3  

高 考 数 学 中不 等 式 恒 成 立 问题 的解 题 “ 三招"  
2 0 0 1 2 6   上 海 市 实验 学校  陈 琚 塘 
近几年来 , 不等式恒成立 问题成为 了高三 复习迎  考训练 与高 考 的一 个 热 点 与难 点 , 它 涉 及 到一 次 函  数、 二次 函数 、 指 数 函数 、 对数 函数 、 圆锥 曲线 的性质  及 图像 , 渗透着 分类 讨论 、 化 归 与转 化 、 数形 结 合 、 函  数与方程 等数学思想 与方法 , 能充分 考查 学生 的综合  解题能力 , 在 培养 思维 的灵活 性 、 创 造 性 等方 面起 到  了积极 的作 用 , 因此 备受 命题 者青 睐. 常 用 的“ 三招”   解题方 法为解决等式 恒成立 问题 提供 了有效 的手段.  
第一 招: 化 归 函数 法  先 明确 考题 是什 么类 型的 函数 ( 一 次 函数 、 二次  函数等 ) , 然 后利 用 函数性 质 , 求 出参 数 的取 值范 围 
题型 1 :设 T —   一(   +1 )   一  , 当  ∈  

[ O , 2 ]时 , 恒有 , r> 0, 求  的取值 范 围.   解析 : 这类题型要注意变换主元 , 将  看成 主元 ,   化归 为关于 m 的一次 函数 , 利用一次 函数 的性质求解.  
解: 设 丁一. T   一(   +1 ) . r —  一一 ( . r +1 )  

综 上 分析 , 得知 a ≥1 , 故选 答案 ( A) .   点评 : 这是一道“ 一大一小” 无解 的题型 , 是一个 常  考点 , 更是一 个常错 点. 在解 答这 一题 型时 , 只 需先 依  大一小 取 中间” 初步 确定 出不等式 组 的解不 等式 ,  



由“ 一大 一小 取 中间” , 有 一÷ < %2 a ,  
J 

而 不等 式组 恰有 两个 整数解 , 可 知它们 为 0 , 1 ,   易知 2 口介 于 1和 2之间 , 即 1 <2 a <2 ,  
9 

而不等式组 无解 , 显 然该不 等式 不成 立 ; 这 么一来 , 确  定参数满足何条件时不等式不成立就成 为解题 的关键  所在, 在确定参 数范 围时 , 仍建 议分 两 步走 , 先 确定 出  显然情形 , 再对参数取等情形进行单独分析.   例 5   ( 2 0 1 2 年 湖 北 襄 阳 )若 不 等 式 组 

现令 2 a 一1 , 则 一导 <  < 1只有 整数 解 0 ( 不符 
J 

合题 意 ) ,  
9 

再令 2 a 一2 , 则 一} <. r <2 恰 有 两 个整 数解 0 ,  
J 

{ 1 :    ‘ ,     \   有解, 则n 的取值范围是(   )  


1 ( 符合 题意 ) .  
1  

l厶? z  

u 

A .口 ≤3   C.a <2  

B .口 <3   D.n ≤2  

综 上分 析 , 得知 1 <2 & ≤2 , 解得 ÷<a ≤1 .  
厶 

解 析 : 由 { 1 2
. 

点评 : 这 是 一道 “ 一 大一小 ” 情 形 与整 数解 的题 

也是 近年 来 中考 的热 门 考点 和 难 点. 解答时, 先  0 , 有 {  ; 一   , 由 “ 一 大 一 小   型,

取 中间” , 有a 一1 <. r ≤2 , 而不 等 式 组有 解 , 即a 一1   <  ≤ 2成 立 , 显 然会有 a 一1 <2 , 现令 a 一1 —2 , 则 2   <. r ≤ 2不成 立 ( 不符合 题 意 ) .   综上分析 , 得知 口 一1 <2 , 即n <3 , 故选答案 ( B ) .   点评 : 这是 一 道 “ 一大一小” 有解 的题型. 解 答 

依“ 一 大一小 取 中间” 初 步确 定 出不等式 组 的解不 等 
式, 然后 根据 已知 条 件确 定 出满 足要 求 的整 数 解情 

形, 接 着分 两步探 讨满 足条 件 的参 数 范 围( 先确认 参 
数 介于 何 值 之 间 , 后 对 端 点 是 否 取 等 进 行 单 独 分  析) , 最 后综合 解 出参数 范 围.   综 上可 知 , 改 造后 的 口诀 “ 同大取 大 , 同小取小 ;  


时, 仍 先依 “ 一 大一 小 取 中 间” 初 步确 定 出不 等 式 组  的解不 等 式 , 然 后分 两 步 探 讨 参 数满 足 何 条 件 时 不  等式 恒成 立 , 最 后综 合得 出参 数范 围 .   例6 ( 2 0 1 2年湖北 荆 门) 试确 定 实数 a的取值 
范 围 

大一 小取 中间 , 取 好 中 间再 检 查 ” , 不但 能 够解 决  元一 次不 等式 组 的参 数 问题 , 而且思 路清 晰 、 求解 





{ 算  。 除 有  
有  詈  

快速, 且 易为 多数 学 生 所 掌握 . 学生 熟 练 此 法后 , 必  能“ 遥望 ” 一元 一 次不等 式组 的参 数 问题 .  
参 考 文 献 
[ 1 ]刘 昌平 , 胡 翠英. 不 等式 ( 组) 中 字 母 系 数 的 取 值 范 围 

两 个 

1 算 - x + 1  

[ J ] . 初 中数 学教 与学 , 2 0 0 7 , 1 .  
( 初中版) , 2 0 1 2 , 2 .  

[ 2 ]高 晓兵 , 黄永 秋. 观解一 类不 等式组 问题 [ J ] . 中 学 数 学 

4 4  

上海 中学数 学 ? 2 0 1 3年第 4期 

+. z  一. r 一厂 (   ), , , 2 ∈E o , 2 ]时 , 恒 有 T> 0, 只要 

满 足{  ;   - 一 . 3 r    ̄ 3 一 0 2 > 。 , 解 得  <  
或.  > 下 3 + V ̄-
. 

√ 2 — 1 ∈   E o   , 2 ] ? . ? 。 ? . ( f \   寄 . Z ’ T — _ - ÷ l   ) 1 J    — … .   . 一 2  一 √ 2 一 3 , . . ‘ ? .  <  


2  

一 3  

解这类 题 型时分 离 参 数法 较 为 简单 , 但 是 要 注  意 分离参数 的时候 必 须 是 等 价转 化 , 否 则也 要 分 类 
讨论 .  

变式 l :设 丁 一  

一(   +1 )   r一   , 当 . r   E -  

[ 0 。 2 ]时 , 恒有 丁> 0, 求  的取 值范 围.   解析 : 此 时将  看成 主元 , 化 归 为关 于  的二  次 函数 , 利 用 二 次 函数 的 性 质 求 解 .  
解 :设   f   一  。一 (   +1 )  一 , , 2 .  

变式 2 : 若不等 式 ( 一1 )   a< 2 +  

对于 

任 意 正 整 数 ”恒 成 立 , 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 
(   )  

本 题 等价 于函数 _ 厂 (  ) 在. z ’ ∈[ o , 2 ]上 的最 小  值大 于 0 , 求  的取值 范 围.   对称 轴是  一 
( 1 )当  

.  

B ) (  , 号)   , [  , 号 )   ( D ) ( 一 3 , 号 )   c  [  , 号 )   (
解 析 :当  为偶数 时 , 得 到 a< 2 一   , 当  一  

< 0, 即 m<一1时 , _ 厂 ( 。 r ) 在  C -  

[ O , 2 ]上是增 函数 , 因此 . 厂 ( O )是最小 值 ,  
> 0得   < 一  ?   由 』 {   厂 ( , < 0 、 ) 一   、   得  < 一1 .  
一 一  

2 时 , ( 2 一  ) … 一 2 一 专 一 _ 耋 _ , 所 以   < 萼 .  
当   为奇数时 , 得到  >一2   , 而一2 一   在  为奇数时最大值不存在但趋近 于 一2, 故 a≥ 一2.   综上, 不 等式 ( 一1 )   <2 +  对 于任 意 

( 2 )当 0≤ 

≤ 2 ,即 一 1≤ T r t ≤ 3时 ,  

厂 ( z ’ ) 在 顶点 取 到最小值 ,  
r ~ 1≤ / 7 / ≤ 3  

由 {   (  ) = = = 一  
/ T l< 2   一 3.  

> 。  

正 整 数   恒 成 立 时 n ∈『 一 2 , 号 ) . 故 选A .  
第三招 : 数型 结合法 
  J

v =l  +1   I

先 将不 等式两边 看成 两 
> 2, 即  > 3时 , 厂 ( . r )在  r∈  
个 函数 , 再 利 用 图 形 来 处 理 

( 3 )当 

不等式 恒 成 立 问 题 , 运 用 数 

[ o , 2 ]上是 减 函数 , 因此  ( 2 ) 是最 小值 .  

\  / / 、   。  
0  
/ 

由 {   厂 (   2 ) 3 — 一   2 — 一 3   > o 得   妒  
综上,   < 2   一3 .  

形 结合 思 想 , 可 以 避 免 复 杂  的计算 与推 理 , 在 解 题 时 能  提高 效率. 题型 3 : 如果 对任  意实 数 . r, 不 等式 l   + 1   { ≥  恒 成立 , 则 实数 是的  取值 范 围是 
解析 : 画出 . y   一   +l  

第二招 : 分离 参数法 

图 1  

先 在考题 中分离 出参 数 , 化 成 a> . 厂 ( . r )、 a<  ) 等恒 成 立 问 题 , 再 利 用 a> I - f(  ) ] … 、口<  E l(   z ’ )   求 出参 数范 围.   题型 2 :设 丁 = = =  。 一(  +1 )  —   , 当  r∈   [ O , 2 ]时 , 恒有 丁> 0, 求  的取 值范 围.   解析 : 将 两 个参数 l f 、   分离 开 , 化 成  < _ 厂 (  )   型, 再 利用  < E f (  ) ]   求 出参 数范 围.   解: ( 1 )当 . r   C -E o , 2 1时 , 丁> O ㈢。 ’ 。 一(   + 


l ,  。 一如 的图像 , 观察 图  
像 可 看 出 0≤ k≤ 1.  


、  、     . ///   :  
.  




 

变式 3 :已 知 &> 0 且  a≠ 1, 当  ∈ ( 一1 , 1 ) 时,  
1  

1\  
图 2  

?  

不等 式 . r 。 一a  < - 6 -恒成   
厶 

1 )   f 一/ 7 / >0 ㈢(  4 - 1 )   <  一   r 甘  <  — —÷ .  
?

立, 则 a的 取 值 范 围 

.  


?

?

r r > 。 恒 成 立 ㈢   <( 等 { 半  .  

解析 : 不等式 2 一   <  1可化为  > 画出  一  

r ! 一 丢 ,  

鲁 f , + l   一  
÷

, r + l  

一   + 1 +   。  

,  : 一  t , 2 一  1 的图像 由 图 2可 


一3 ≥2 √ 2 —3 , 当且仅当  +1 一√ 2 , 即. r 一  

看 出 n ∈ [   ,   ) u  2 ] .  


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