上海 中学 数学 ? ２ ０ １ ３年第 ４期　

４ ３ 　

高 考 数 学 中不 等 式 恒 成 立 问题 的解 题 “ 三招＂ 　
２ ０ ０ １ ２ ６ 　 上 海 市 实验 学校　 陈 琚 塘　
近几年来 ， 不等式恒成立 问题成为 了高三 复习迎　 考训练 与高 考 的一 个 热 点 与难 点 ， 它 涉 及 到一 次 函　 数、 二次 函数 、 指 数 函数 、 对数 函数 、 圆锥 曲线 的性质　 及 图像 ， 渗透着 分类 讨论 、 化 归 与转 化 、 数形 结 合 、 函　 数与方程 等数学思想 与方法 ， 能充分 考查 学生 的综合　 解题能力 ， 在 培养 思维 的灵活 性 、 创 造 性 等方 面起 到　 了积极 的作 用 ， 因此 备受 命题 者青 睐． 常 用 的“ 三招” 　 解题方 法为解决等式 恒成立 问题 提供 了有效 的手段． 　
第一 招： 化 归 函数 法　 先 明确 考题 是什 么类 型的 函数 （ 一 次 函数 、 二次　 函数等 ） ， 然 后利 用 函数性 质 ， 求 出参 数 的取 值范 围　
题型 １ ：设 Ｔ — 　 一（ 　 ＋１ ） 　 一　 ， 当　 ∈ 　

［ Ｏ ， ２ ］时 ， 恒有 ， ｒ＞ ０， 求　 的取值 范 围． 　 解析 ： 这类题型要注意变换主元 ， 将　 看成 主元 ， 　 化归 为关于 ｍ 的一次 函数 ， 利用一次 函数 的性质求解． 　
解： 设 丁一． Ｔ 　 一（ 　 ＋１ ） ． ｒ —　 一一 （ ． ｒ ＋１ ） 　

综 上 分析 ， 得知 ａ ≥１ ， 故选 答案 （ Ａ） ． 　 点评 ： 这是一道“ 一大一小” 无解 的题型 ， 是一个 常　 考点 ， 更是一 个常错 点． 在解 答这 一题 型时 ， 只 需先 依　 大一小 取 中间” 初步 确定 出不等式 组 的解不 等式 ， 　
“
一

由“ 一大 一小 取 中间” ， 有 一÷ ＜　％２ ａ ， 　
Ｊ　

而 不等 式组 恰有 两个 整数解 ， 可 知它们 为 ０ ， １ ， 　 易知 ２ 口介 于 １和 ２之间 ， 即 １ ＜２ ａ ＜２ ， 　
９　

而不等式组 无解 ， 显 然该不 等式 不成 立 ； 这 么一来 ， 确　 定参数满足何条件时不等式不成立就成 为解题 的关键　 所在， 在确定参 数范 围时 ， 仍建 议分 两 步走 ， 先 确定 出　 显然情形 ， 再对参数取等情形进行单独分析． 　 例 ５ 　 （ ２ ０ １ ２ 年 湖 北 襄 阳 ）若 不 等 式 组　

现令 ２ ａ 一１ ， 则 一导 ＜　 ＜ １只有 整数 解 ０ （ 不符　
Ｊ　

合题 意 ） ， 　
９　

再令 ２ ａ 一２ ， 则 一｝ ＜． ｒ ＜２ 恰 有 两 个整 数解 ０ ， 　
Ｊ　

｛ １ ： 　 　‘ ， 　 　 ＼ 　 有解， 则ｎ 的取值范围是（ 　 ） 　
，

１ （ 符合 题意 ） ． 　
１ 　

ｌ厶? ｚ 　

ｕ　

Ａ ．口 ≤３ 　 Ｃ．ａ ＜２ 　

Ｂ ．口 ＜３ 　 Ｄ．ｎ ≤２ 　

综 上分 析 ， 得知 １ ＜２ ＆ ≤２ ， 解得 ÷＜ａ ≤１ ． 　
厶　

解 析 ： 由 ｛ １ ２
．　

点评 ： 这 是 一道 “ 一 大一小 ” 情 形 与整 数解 的题　

也是 近年 来 中考 的热 门 考点 和 难 点． 解答时， 先　 ０ ， 有 ｛ 　； 一 　 ， 由 “ 一 大 一 小 　 型，

取 中间” ， 有ａ 一１ ＜． ｒ ≤２ ， 而不 等 式 组有 解 ， 即ａ 一１ 　 ＜　 ≤ ２成 立 ， 显 然会有 ａ 一１ ＜２ ， 现令 ａ 一１ —２ ， 则 ２ 　 ＜． ｒ ≤ ２不成 立 （ 不符合 题 意 ） ． 　 综上分析 ， 得知 口 一１ ＜２ ， 即ｎ ＜３ ， 故选答案 （ Ｂ ） ． 　 点评 ： 这是 一 道 “ 一大一小” 有解 的题型． 解 答　

依“ 一 大一小 取 中间” 初 步确 定 出不等式 组 的解不 等　
式， 然后 根据 已知 条 件确 定 出满 足要 求 的整 数 解情　

形， 接 着分 两步探 讨满 足条 件 的参 数 范 围（ 先确认 参　
数 介于 何 值 之 间 ， 后 对 端 点 是 否 取 等 进 行 单 独 分　 析） ， 最 后综合 解 出参数 范 围． 　 综 上可 知 ， 改 造后 的 口诀 “ 同大取 大 ， 同小取小 ； 　
一

时， 仍 先依 “ 一 大一 小 取 中 间” 初 步确 定 出不 等 式 组　 的解不 等 式 ， 然 后分 两 步 探 讨 参 数满 足 何 条 件 时 不　 等式 恒成 立 ， 最 后综 合得 出参 数范 围 ． 　 例６ （ ２ ０ １ ２年湖北 荆 门） 试确 定 实数 ａ的取值　
范 围　

大一 小取 中间 ， 取 好 中 间再 检 查 ” ， 不但 能 够解 决　 元一 次不 等式 组 的参 数 问题 ， 而且思 路清 晰 、 求解　

一

…

｛ 算　 。 除 有 　
有 　詈 　

快速， 且 易为 多数 学 生 所 掌握 ． 学生 熟 练 此 法后 ， 必　 能“ 遥望 ” 一元 一 次不等 式组 的参 数 问题 ． 　
参 考 文 献　
［ １ ］刘 昌平 ， 胡 翠英． 不 等式 （ 组） 中 字 母 系 数 的 取 值 范 围　

两 个　

１ 算 － ｘ ＋ １ 　

［ Ｊ ］ ． 初 中数 学教 与学 ， ２ ０ ０ ７ ， １ ． 　
（ 初中版） ， ２ ０ １ ２ ， ２ ． 　

［ ２ ］高 晓兵 ， 黄永 秋． 观解一 类不 等式组 问题 ［ Ｊ ］ ． 中 学 数 学　

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上海 中学数 学 ? ２ ０ １ ３年第 ４期　

＋． ｚ 　一． ｒ 一厂 （ 　 ）， ， ， ２ ∈Ｅ ｏ ， ２ ］时 ， 恒 有 Ｔ＞ ０， 只要　

满 足｛ 　； 　 － 一 ． ３ ｒ 　 ￣ ３ 一 ０ ２ ＞ 。 ， 解 得 　＜ 　
或． 　＞ 下 ３ ＋ Ｖ￣－
．　

√ ２ — １ ∈ 　 Ｅ ｏ 　 ， ２ ］ ? ． ? 。 ? ． （ ｆ ＼ 　 寄 ． Ｚ ’ Ｔ — ＿ － ÷ ｌ 　 ） １ Ｊ 　 　— … ． 　 ． 一 ２ 　一 √ ２ 一 ３ ， ． ． ‘ ? ． 　＜ 　
一

２ 　

一 ３ 　

解这类 题 型时分 离 参 数法 较 为 简单 ， 但 是 要 注　 意 分离参数 的时候 必 须 是 等 价转 化 ， 否 则也 要 分 类　
讨论 ． 　

变式 ｌ ：设 丁 一 　

一（ 　 ＋１ ） 　 ｒ一 　 ， 当 ． ｒ 　 Ｅ － 　

［ ０ 。 ２ ］时 ， 恒有 丁＞ ０， 求　 的取 值范 围． 　 解析 ： 此 时将　 看成 主元 ， 化 归 为关 于　 的二　 次 函数 ， 利 用 二 次 函数 的 性 质 求 解 ． 　
解 ：设 　 ｆ 　 一　 。一 （ 　 ＋１ ） 　一 ， ， ２ ． 　

变式 ２ ： 若不等 式 （ 一１ ） 　 ａ＜ ２ ＋ 　

对于　

任 意 正 整 数 ”恒 成 立 ， 则 实 数 ａ的 取 值 范 围 是　
（ 　 ） 　

本 题 等价 于函数 ＿ 厂 （ 　） 在． ｚ ’ ∈［ ｏ ， ２ ］上 的最 小　 值大 于 ０ ， 求　 的取值 范 围． 　 对称 轴是　 一　
（ １ ）当 　

． 　

Ｂ ） （ 　， 号） 　 ， ［ 　， 号 ） 　 （ Ｄ ） （ 一 ３ ， 号 ） 　 ｃ 　［ 　， 号 ） 　 （
解 析 ：当　 为偶数 时 ， 得 到 ａ＜ ２ 一 　 ， 当　 一 　

＜ ０， 即 ｍ＜一１时 ， ＿ 厂 （ 。 ｒ ） 在　 Ｃ － 　

［ Ｏ ， ２ ］上是增 函数 ， 因此 ． 厂 （ Ｏ ）是最小 值 ， 　
＞ ０得 　 ＜ 一　 ? 　 由 』 ｛ 　 厂 （ ， ＜ ０ 、 ） 一 　 、 　 得 　＜ 一１ ． 　
一 一 　

２ 时 ， （ ２ 一 　） … 一 ２ 一 专 一 ＿ 耋 ＿ ， 所 以 　 ＜ 萼 ． 　
当 　 为奇数时 ， 得到　 ＞一２ 　 ， 而一２ 一 　 在　 为奇数时最大值不存在但趋近 于 一２， 故 ａ≥ 一２． 　 综上， 不 等式 （ 一１ ） 　 ＜２ ＋　 对 于任 意　

（ ２ ）当 ０≤　

≤ ２ ，即 一 １≤ Ｔ ｒ ｔ ≤ ３时 ， 　

厂 （ ｚ ’ ） 在 顶点 取 到最小值 ， 　
ｒ ～ １≤ ／ ７ ／ ≤ ３ 　

由 ｛ 　 （ 　） ＝ ＝ ＝ 一 　
／ Ｔ ｌ＜ ２ 　 一 ３． 　

＞ 。 　

正 整 数 　 恒 成 立 时 ｎ ∈『 一 ２ ， 号 ） ． 故 选Ａ ． 　
第三招 ： 数型 结合法　
　 Ｊ

ｖ ＝ｌ 　＋１ 　 Ｉ

先 将不 等式两边 看成 两　
＞ ２， 即　 ＞ ３时 ， 厂 （ ． ｒ ）在　 ｒ∈ 　
个 函数 ， 再 利 用 图 形 来 处 理　

（ ３ ）当　

不等式 恒 成 立 问 题 ， 运 用 数　

［ ｏ ， ２ ］上是 减 函数 ， 因此　 （ ２ ） 是最 小值 ． 　

＼ 　／ ／ 、 　 。 　
０ 　
／　

由 ｛ 　 厂 （ 　 ２ ） ３ — 一 　 ２ — 一 ３ 　 ＞ ｏ 得 　 妒 　
综上， 　 ＜ ２ 　 一３ ． 　

形 结合 思 想 ， 可 以 避 免 复 杂　 的计算 与推 理 ， 在 解 题 时 能　 提高 效率． 题型 ３ ： 如果 对任　 意实 数 ． ｒ， 不 等式 ｌ 　 ＋ １ 　 ｛ ≥　 恒 成立 ， 则 实数 是的　 取值 范 围是　
解析 ： 画出 ． ｙ 　 一 　 ＋ｌ 　

第二招 ： 分离 参数法　

图 １ 　

先 在考题 中分离 出参 数 ， 化 成 ａ＞ ． 厂 （ ． ｒ ）、 ａ＜　 ） 等恒 成 立 问 题 ， 再 利 用 ａ＞ Ｉ － ｆ（ 　） ］ … 、口＜　 Ｅ ｌ（ 　 ｚ ’ ） 　 求 出参 数范 围． 　 题型 ２ ：设 丁 ＝ ＝ ＝ 　。 一（ 　＋１ ） 　— 　 ， 当　 ｒ∈ 　 ［ Ｏ ， ２ ］时 ， 恒有 丁＞ ０， 求　 的取 值范 围． 　 解析 ： 将 两 个参数 ｌ ｆ 、 　 分离 开 ， 化 成　 ＜ ＿ 厂 （ 　） 　 型， 再 利用　 ＜ Ｅ ｆ （ 　） ］ 　 求 出参 数范 围． 　 解： （ １ ）当 ． ｒ 　 Ｃ －Ｅ ｏ ， ２ １时 ， 丁＞ Ｏ ㈢。 ’ 。 一（ 　 ＋　
’

ｌ ， 　。 一如 的图像 ， 观察 图 　
像 可 看 出 ０≤ ｋ≤ １． 　
，

、 　、 　 　 ． ／／／ 　 ： 　
． 　

～
一

　

变式 ３ ：已 知 ＆＞ ０ 且　 ａ≠ １， 当　 ∈ （ 一１ ， １ ） 时， 　
１ 　

１＼ 　
图 ２ 　

? 　

不等 式 ． ｒ 。 一ａ 　＜ － ６ －恒成　 　
厶　

１ ） 　 ｆ 一／ ７ ／ ＞０ ㈢（ 　４ － １ ） 　 ＜　 一 　 ｒ 甘　 ＜　 — —÷ ． 　
?

立， 则 ａ的 取 值 范 围　

． 　
．

?

?

ｒ ｒ ＞ 。 恒 成 立 ㈢ 　 ＜（ 等 ｛ 半 　． 　

解析 ： 不等式　２ 一 　 ＜　 １可化为　 ＞ 画出　 一 　

ｒ ！ 一 丢 ， 　

鲁 ｆ ， ＋ ｌ 　 一 　
÷

， ｒ ＋ ｌ 　

一 　 ＋ １ ＋ 　 。 　

， 　： 一　 ｔ ， ２ 一　 １ 的图像 由 图 ２可　
，

一３ ≥２ √ ２ —３ ， 当且仅当 　＋１ 一√ ２ ， 即． ｒ 一 　

看 出 ｎ ∈ ［ 　 ， 　 ） ｕ 　２ ］ ．