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宁夏银川市第九中学2016届高三上学期第四次月考数学(理)试题


银川九中 2016 届高三第四次月考数学试卷(理科)
(本试卷满分 150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1 已知全集 U ? R 集合 A ? {x | 0 ? log2 x ? 2}, B ? {y | y ? x2 ? 2} 则 A ? CU B ? ( A. ?1, 2 ? B. (1, 4) C. [2, 4) D. ? 0, 2 ? )
3 D. ? i 4



2.若 i 是虚数单位,则复数 z ? A.
3 4

2?i 的实部与虚部之积为 ( 1? i 3 3 B. ? C. i 4 4

2 3、命题 p : ?x0 ? N , x0 ? 1,则 ? p 是 2 A ?x0 ? N , x0 ?1 2 B. ?x0 ? N , x0 ?1

(

) D. ?x ? N , x2 ? 1

C. ?x ? N , x2 ? 1

4. “

”是“



”的

A. 必要不充分条件 B.

充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7 5、函数 f ? x ? ? log 2 x ? 的零点包含于区间 x
A. ?1, 2 ? B. (2,3) C. (3, 4)

(
D. ? 4, ???

)

6.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 过原点 O) ,则 S200=( A.100 B.101 ) C.200 D.201

,且 A、B、C 三点共线(该直线 不

7.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? 0 ,公比 q ? 1 , a 3 ?a5 ? 20, a2 a6 ? 64, 则 S5 ?

A.31

B.36

C. 42

D. 48

8.等差数列 ?an ? 中, a3 和 a9 是关于方程 x2 ?16x ? c ? 0 ? c ? 64? 的两根,则该数列的前 11 项和 S11 (
A.58

) .
B.88 C.143 D.176

9.函数 f ( x) ? A sin(?x ?

?
6

)(? ? 0) 的图像与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为

? 的等差数列, 2

要得到函数 g ( x) ? A cos?x 的图像,只需将 f ( x) 的图像





A.向左平移 C.向左平移

? 个单位长度 6
2? 个单位长度 3

B.向右平移

? 个单位长度 3
2? 个单位长度 3

D.向右平移

?2 x ? y ? 0 ? 10. 若变量 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? ?x ? 2 ?
A.0 B.3 C.

5 2

D.

11.已知函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0, ? ?

?
2

8 3

) 的最小正周期是 ? ,若图象向右平移
( )

? 个单位后得 3

到的函数为奇函数,则函数 y ? f ( x) 的图象

A. 关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?
5? 对称 12

C.关于直线 x ?

?
12

对称

D. 关于直线 x ?

12. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 (?1,1] 上方程 f ( x ? 1)
( ) A . (0, )

f ( x) ? mx ? m ? 0 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是
1 B. (0, ] 2 1 C . ( 0, ] 3 1 D . ( 0, ) 3

1 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
1 1 13.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为—————— a b

14.向量 a, b 是平面向量若 a ? (a ? 2b),b ? (b ? 2a) 则 a与b 的夹角是

_____.

? 1 ? ( ,?) 15.已知 ? ? , sin ? ? cos ? ? ? ,则 tan(? ? ) = 2 5 4
16.已知点 P 在曲线 y ? 是 .
4 上, ? 为曲线在点 P 处切线的倾斜角,则 ? 的取值范围 e ?1
x

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤) 1 1 17、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 且 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? ,数 4 2 119 列 ?bn ? 满足 b1 ? ? 且 3bn ? bn?1 ? n (n ? 2且n ? N ? ) . 4 (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列;

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 ?ABC 中 角 A, B, C 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足
2a s i nC (? ) ?b?c. 6 (Ⅰ)求 A 的值;

?

(Ⅱ)若 B ?

?
4

, b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 2Sn+an=1,数列 1 2 1 1 {bn}中,b1=1,b2=2, =b + (n∈N*). bn+1 n bn+2 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; an (2)数列{cn}满足 cn=b ,求:c1+c2+c3+?+cn
n

20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆与直线 x- 3 y-4=0 相 切, (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)若已知点 P(3,2) ,过点 P 作圆 O 的切线,求切线的方程。

21.(本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 ? x(a ? 0) 。 x

(1)若函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,求实数 a 的值; ( 2)讨论函数 f ( x) 的单调性;

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题 号. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 已知 AB 是圆 O 的直径, C、 D 是圆 O 上的两个点, CE⊥AB 于 E, BD 交 AC 于 G, 交 CE 于 F, CF=FG. (Ⅰ)求证:C 是劣弧 BD 的中点; (Ⅱ)求证:BF=FG.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

已知直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参数) .

(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 倍,得到曲线 C2,设

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>0; (Ⅱ)若 f(x)+3|x﹣4|>m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

银川九中 2016 学年高三第 四次月考理科试卷答案 一.选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) ABDAC AABAD DB 二.填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 17 4 14

? 3

15

1 7

? 3? ? 16 ? ,? ? ?4 ?
1 ??2 分∴ 2

解 : (1) 由 2Sn ? 2Sn?1 ? 2an?1 ? 1 得 2an ? 2an?1 ? 1 , an ? an ?1 ?
1 1 n? 2 4

an ? a1 ? (n ? 1)d ?

1 1 (2)∵ 3bn ? bn?1 ? n ,∴ bn ? bn ?1 ? n , 3 3

∴ bn ? an ? 1 bn ?1 ? 1 n ? 1 n ? 1 ? 1 bn ?1 ? 1 n ? 1 ? 1 (bn ?1 ? 1 n ? 3 ) ;
3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn ?1 ? an ?1 ? bn ?1 ? (n ? 1) ? ? bn ?1 ? n ? 2 4 2 4
b1 ? a1 ? ?

∴ 由 上 面 两 式 得

bn ? an 1 , 又 ? bn ?1 ? an ?1 3

1 119 1 ? ? ?30 ∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项, 为公比的等比数列 3 4 4

1 1 1 1 ∴ bn ? an ? 30 ? ( ) n ?1 ? n ? ? 30 ? ( ) n ?1 3 2 4 3

18

(12)解:(Ⅰ) 2 sin A(sin C ?

3 1 ? cos C ? ) ? sin B ? sin C , 2 2

即 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin B ? sin C , 所以 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C , 所以 3 sin A sinC ? cos A sinC ? sinC , 所以 3 sin A ? cos A ? 1 , 所以 2 sin(A ? ) ? 1,
6

?

得A?

?
3


5? 12

(Ⅱ)设△ABC 外接圆半径为 R,由正弦定理 得:

b ? c ? 2 R(sin B ? sin C ) ? 2 R(
? sin A ?

2 3 ? )? 2? 3 2 2

? R ? 1.

?A?? ? B?C ?

6? 2 4 1 1 6 ? 2 3? 3 ? S△ABC ? bcs i n A? ? 2? 3? ? . 2 2 4 4 1 19 解析:(1)由 2Sn+an=1,得 Sn=2(1-an).

1 1 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2(1-an)-2(1-an-1)=-2an+2an-1,即 2an=-an+an
-1



an 1 ∴ = (由题意可知 an-1≠0). an-1 3 1 1 {an}是公比为3的等比数列,而 S1=a1=2(1-a1), 1 1 ?1? 2 1 1 1 1 ?1? ∴a1=3,∴an=3×?3?n-1=?3?n,由 =b + ,b =1,b =2,得 ? ? ? ? bn+1 n bn+2 1 2
?1? 1 1 1 1 d=b -b =1(d 为等差数列?b ?的公差),∴b =n,∴bn=n.
2 1

? n?

n

an ?1? (2)cn=b =n?3?n,设 Tn=c1+c2+?+cn,则 ? ? n ?1? ?1? ?1? ?1? Tn=1×?3?1+2×?3?2+3×?3?3+?+n×?3?n, ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?1?2 ?1?3 ?1?n ?1?n+1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3Tn=1×?3? +2×?3? +?+(n-1)×?3? +n×?3? , 由错位相减,化简得:
3 3 ?1? 1 ?1? 3 2n+3 1 Tn= - ×? ?n- n? ?n= - × n 4 4 ?3? 2 ?3? 4 4 3

20

21.⑴解: f ( x) ?
/

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ? 2 ?1 ? ? ( x ? 0) x x x2 x2
3 ? a ? ?1或a ? ? 。 2

f /(1) ? a ? 2a 2 ? 1 ? ?2 ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0
所以实数 a 的值为 ? 1或
/

3 。 2

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ⑵解: f ( x) ? ? 2 ? 1 ? ? x x x2 x2
当 a ? 0 时, x ? (0, a ), f ( x) ? 0; x ? (a,??), f ( x) ? 0.
/ /

f ( x) 的单调递减区间为 (0, a ) ,单调递增区间为 (a,??)
当 a ? 0 时, x ? (0,?2a ), f ( x) ? 0; x ? (?2a,??), f ( x) ? 0.
/ /

f ( x) 的单调递减区间为 (0,?2a ) ,单调递增区间 为 (?2a,??) 。

22.如图,已知 AB 是圆 O 的直径, C、D 是圆 O 上的两个点,CE⊥AB 于 E,BD 交 AC 于 G,交 CE 于 F,CF=FG. (Ⅰ)求证:C 是劣弧 BD 的中点; (Ⅱ)求证:BF=FG.

解答: 解: (I)∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG ∴AB 圆 O 的直径∴ ∵CE⊥AB∴
[来源:Zxxk.Com]

∵ ∵∠CGF=∠DGA∴ ∴∠CAB=∠DAC∴C 为劣弧 BD 的中点 (II)∵ ∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB 同理可证:CF=GF∴BF=FG

∴∠CBA=∠ACE

23.已知直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参数) .

(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 2 2 解答: 解: (I)l 的普通方程为 y= (x﹣1) ,C1 的普通方程为 x +y =1, 联立方程组 ,解得交点坐标为 A(1,0) ,B( ,﹣ ) 倍,得到曲线 C2,设

所以|AB|=

=1;

(II)曲线 C2:

(θ 为参数) .设所求的点为 P( cosθ ,

sinθ ) ,

则 P 到直线 l 的距离 d= 当 sin( )=﹣1 时,d 取得最小值

= .

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x﹣4|>m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围. 解答: 解: (1)当 x≥4 时 f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0 得 x>﹣5,所以,x≥4 时,不等式 成立. 当 当 时,f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0,得 x>1,所以,1<x<4 时,不等式成立. 时,f(x)=﹣x﹣5>0,得 x<﹣5,所以,x<﹣5 成立

综上,原不等式的解集为:{x|x>1 或 x<﹣5}. (2)f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9,当 所以,f(x)+3|x﹣4|的最小值为 9,故 m<9. ,


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