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[K12配套]2019春九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质课时作业新版沪科版


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24.2 圆的基本性质
第 1 课时 圆的有关概念及点与圆的位置关系 知识要点基础练 知识点 1 圆的定义
1.战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等 于 半径 .

2.以 2 cm 的长为半径作圆,能作 无数 个圆.

知识点 2 点与圆的位置关系

3.(教材改编)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=3 cm,BC=4 cm,若以 A 为圆心、AC 长为半径画☉A,

则点 D 与☉A 的位置关系为

(C)

A.点 D 在☉A 上 B.点 D 在☉A 外

C.点 D 在☉A 内 D.无法判断

4.☉O 的直径为 10 cm,当 OP= 5 cm 时,点 P 在圆上;当 OP <5 cm 时,点 P 在圆内;当 OP=7 cm 时,点 P 在 圆外 .

【变式拓展】如图,数轴上有 A,B,C 三点,点 A,C 关于点 B 对称,以原点 O 为圆心作圆,若点

A,B,C 分别在☉O 外、☉O 内、☉O 上,则原点 O 的位置应该在

(C)

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A.点 A 与点 B 之间靠近 A 点 B.点 A 与点 B 之间靠近 B 点 C.点 B 与点 C 之间靠近 B 点 D.点 B 与点 C 之间靠近 C 点
知识点 3 圆的有关概念 5.如图所示圆规,点 A 是铁尖的端点,点 B 是铅笔芯尖的端点,已知点 A 与点 B 的距离是 2 cm, 若铁尖的端点 A 固定,铅笔芯尖的端点 B 绕点 A 旋转一周,则作出的圆的直径是 (C)

A.1 cm

B.2 cm

C.4 cm

D.π cm

6.下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③过圆内一点有无数多条弦,这些弦都相等;④直径是

圆中最长的弦.其中正确的有

(C)

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

7.如图所示,下列说法:① 是优弧;② 是优弧;③由 A,O,C,B 四点所围成的图形是弓形;④ 弦 AB 所对的弧是劣弧.其中正确的有 (A)

A.0 个

B.1 个

C.2 个

综合能力提升练

8.下列说法正确的是

(C)

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D.3 个

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A.弦是直径

B.弧是半圆

C.半圆是弧

D.过圆心的线段是直径

9.圆内最长的弦的长为 30 cm,则圆的半径为 15 cm.

10.一个点到圆的最大距离是 12 cm,到圆的最小距离是 4 cm,则该圆的半径是 4 cm 或 8 cm .

11.如图,AB=3 cm,用图形表示到点 A 的距离小于 2 cm,且到点 B 的距离不小于 2 cm 的所有 点的集合.(用阴影表示,注意边界上的点是否在集合中,如果在,用实线表示;如果不在,则用 虚线表示)

解:到点 A 的距离小于 2 cm,且到点 B 的距离不小于 2 cm 的所有点的集合如图所示.
12.如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=12,以点 A 为圆心,以 r 为半径画☉A,根据下列条件求 r. (1)若点 D 在☉A 上,求 r 的值; (2)若点 B 在☉A 内,点 C 在☉A 外,求 r 的取值范围; (3)若点 B,C,D 都在☉A 内,求 r 的取值范围.
解:(1)∵四边形 ABCD 为矩形,∴AD=BC=12,∵点 D 在☉A 上,∴r=12. (2)连接 AC.由勾股定理得 AC=13,根据题意,得 5<r<13. (3)根据题意,得 r>13. 配套学习资料 K12 页脚内容

KK12 配套学习资料 13.如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点 C 为圆心作☉C,半径为 r. (1)当 r 取何值时,点 A,B 在☉C 外; (2)当 r 在什么范围时,点 A 在☉C 内,点 B 在☉C 外.
解:(1)当 0<r<3 时,点 A,B 在☉C 外. (2)当 3<r<4 时,点 A 在☉C 内,点 B 在☉C 外. 14.如图,AB 是圆 O 的直径,D 是圆上的一点,∠DOB=75°,DC 交 BA 的延长线于点 E,交圆于点 C,且 CE=AO,求∠E 的度数.
解:连接 OC,∵CE=AO,而 OA=OC,∴OC=EC, ∴∠E=∠AOC,∴∠DCO=∠E+∠AOC=2∠E, ∵OC=OD,∴∠D=∠DCO=2∠E, ∵∠BOD=∠E+∠D,∴∠E+2∠E=75°, ∴∠E=25°. 15.
如图,在四边形 ABCD 中,∠A=90°,AB=5 ,BC=8,CD=6,AD=5.试判断点 A,B,C,D 是否在同一 个圆上,并证明你的结论. 解:点 A,B,C,D 在同一个圆上. 配套学习资料 K12 页脚内容

KK12 配套学习资料 理由:连接 BD,取 BD 的中点 O, 连接 OA,OC.∵∠BAD=90°,AB=5 ,AD=5, ∴BD2=AB2+AD2=(5 )2+52=100, 又∵BC=8,CD=6, ∴BC2+CD2=BD2,∴∠BCD=90°. ∵点 O 是 BD 的中点,∴OA=OB=OD=OC, ∴点 A,B,C,D 在同一个圆上.
拓展探究突破练 16.如图,有两条公路 OM,ON 相交成 30°,沿公路 OM 方向离两条公路的交叉处 O 点 80 米的 A 处有一所希望小学,当拖拉机沿 ON 方向行驶时,路两旁 50 米内会受到噪音影响,已知有两台 相距 30 米的拖拉机正沿 ON 方向行驶,它们的速度均为 5 米/秒,问这两台拖拉机沿 ON 方向行 驶时给小学带来噪音影响的时间是多少?
解:如图,过点 A 作 AC⊥ON,
因为∠MON=30°,OA=80,所以 AC=40, 当第一台拖拉机到 B 点时对学校产生噪音影响,此时 AB=50, 由勾股定理,得 BC=30,第一台拖拉机到 D 点时噪音消失,所以 CD=30. 由于两台拖拉机相距 30 米,则第一台到 D 点时第二台在 C 点,还需前行 30 米才对学校没有噪 音影响.所以影响时间应是 90÷5=18. 答:这两台拖拉机沿 ON 方向行驶给小学带来噪音影响的时间是 18 秒.
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第 2 课时 垂径分弦

知识要点基础练
知识点 1 圆的对称性
1.圆是轴对称图形,它有 无数 条对称轴,圆还是中心对称图形,它的对称中心是 圆 心. 2.如图,CD 是☉O 的一条弦,作直径 AB,使 CD⊥AB,垂足为 E.它是 轴对称 图形,它的对称 轴是 直线 AB .

知识点 2 垂径定理及其推论 3.(教材改编)如图,已知☉O 的直径 AB⊥CD 于点 E,则下列结论错误的是 (B)

A.CE=DE

B.AE=OE

C.

D.△OCE≌△ODE

4.(教材改编)如图,在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C 和 D 两点,AB=10 cm,CD=6 cm,则 AC 长为 2 cm.

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KK12 配套学习资料 知识点 3 垂径定理的实际应用
5.(教材改编)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的 ),点 O 是这段弧的圆心,C 是 上 一点,OC⊥AB,垂足为 D,AB=300 m,CD=50 m,则这段弯路的半径是 250 m.
综合能力提升练 6.如图,☉O 的直径 CD 过弦 AB 的中点 E,且 CE=2,DE=8,则 AB 的长为 (B)

A.9

B.8

C.6

D.4

7.如图,☉O 的弦 AB,AC 的夹角为 50°,M,N 分别是 的中点,则∠MON 的度数是 (D)

A.100°

B.110°

C.120°

D.130°

【变式拓展】如图所示,☉O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P,且 P 是半径 OB 的中点,CD=6 cm,则 直径 AB 的长是 (D)

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A.2 cm

B.3 cm

C.4 cm

D.4 cm

8.如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则 CD 的长为(C)

A.

B.2

C.2

D.8

9.(乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门 的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25 米,BD=1.5 米,且 AB,CD 与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离 地面的距离是(B)

A.2 米

B.2.5 米

C.2.4 米

D.2.1 米

10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知 AB=16 m,半径 OA=10 m,则蔬菜大棚 的高度 CD= 4 m.

11.(烟台中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,点 O,A,B,C 在格点(两 条网格线的交点叫格点)上,以点 O 为原点建立直角坐标系,则过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标 为 (-1,-2) .
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12.如图,破残的圆形轮片上,弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D.已知 AB=24 cm,CD=8 cm.
(1)求作此残片所在的圆心;(不写作法,保留作图痕迹) (2)求(1)中所作圆的半径. 解:(1)如图,作弦 BC 的垂直平分线与弦 AC 的垂直平分线交于 O 点,则 O 点即为此残片所在的 圆心.
(2)连接 OA,设 OA=x,AD=12 cm,OD=(x-8) cm, 由勾股定理,得 x2=122+(x-8)2, 解得 x=13,即圆的半径为 13 cm. 13.如图,☉O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,求 OP 的长度范围.
解:连接 OA,作直径 MN⊥弦 AB,交 AB 于点 D, 由垂径定理,得 AD=DB= AB=4. 配套学习资料 K12 页脚内容

KK12 配套学习资料 又∵☉O 的直径为 10,∴OA=5.

在 Rt△AOD 中,由勾股定理,得 OD=

=3.

∵垂线段最短,半径最长, ∴OP 的长度范围是 3≤OP≤5.

拓展探究突破练 14.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1 m,其中水面的宽 AB 为 0.6 m. (1)求排水管内水的深度; (2)当水面的宽 MN 为 0.8 m 时,此时水面上升了多少米?

解:(1)作半径 OC⊥AB,垂足为 D,交弧 AB 于点 C,连接 OA,则 CD 即为弓形高,

∵OC⊥AB,∴AD= AB,

∵AO=0.5,AB=0.6,∴AD= AB=0.3,

∴OD=

=0.4,

∴CD=OC-OD=0.5-0.4=0.1,即排水管内水的深度为 0.1 米. (2)当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时,直线 OC 与 MN 相交于点 P, 同理可得 OP=0.3, 当 MN 与 AB 在圆心同侧时,水面上升的高度为 0.1 米; 当 MN 与 AB 在圆心异侧时,水面上升的高度为 0.7 米.

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KK12 配套学习资料 第 3 课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
知识要点基础练 知识点 1 圆心角
1.

如图,AB 是☉O 的直径,点 C 在☉O 上,若∠C=55°,则圆心角∠COB 的度数是 (C)

A.55°

B.100°

C.110°

D.130°

2.圆的一条弦分圆周为 3∶6 两部分,则其中劣弧所对的圆心角度数为 120° .

【变式拓展】已知 AB 是☉O 的弦,若 AB 与☉O 的半径相等,则圆心角∠AOB= 60° .

知识点 2 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

3.(教材改编)若正方形 ABCD 四个顶点都在☉O 上,则边 AB 所对的圆心角的度数是 (B)

A.45°

B.90°

C.120°

D.135°

【变式拓展】如图,点 A,B,C 都在☉O 上,∠AOB=∠BOC=∠COA,则△ABC 的形状是 (D)

A.不等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.如图,在☉O 中,弦 AB=CD,请写出图中两组相等的角: 本题答案不唯一,如:∠AOB=∠COD, ∠A=∠B=∠C=∠D,∠AOC=∠BOD 等 . 配套学习资料 K12 页脚内容

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5.(教材改编)如图,AB 是☉O 的直径,若 OD∥AC,求证:D 是 的中点.

解:连接 OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA, ∵OD∥AC,∴∠BOD=∠OAC,∠COD=∠OCA,

∴∠BOD=∠COD,∴

,即 D 是 的中点.

综合能力提升练

6.已知☉O 的半径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离为 5,则弦 AB 所对圆心角的度数是 (B)

A.60°

B.120°

C.90°

D.60°或 120°

7.

如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,若以点 C 为圆心,CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D,则 AC 的长等于 (A)

A.5

B.5

C.5

D.6

8.如图,已知☉O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的圆心角分别为∠AOB,∠COD,若∠AOB 与∠COD 互补,弦 CD=6,则弦 AB 的弦心距为 (A)

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A.3

B.6

C.8

D.5

9.(毕节中考)如图,AB 是☉O 的直径,C,D 为半圆的三等分点,CE⊥AB 于点 E,∠ACE 的度数为 30° .

10.在△ABC 中,∠A=70°,☉O 截△ABC 的三边,所截得的弦相等,则∠BOC= 125° . 11.如图,点 P 在☉O 上,PA,PB 是☉O 的弦,连接 OP.若 OP 平分∠APB,求证:PA=PB.

证明:过点 O 作 OM⊥PA 于点 M,ON⊥PB 于点 N,∵OP 平分∠APB,∴OM=ON,∴PA=PB. 12.如图所示,M,N 分别是☉O 的弦 AB,CD 的中点,AB=CD.求证:∠AMN=∠CNM.

证明:连接 OM,ON, ∵O 为圆心,M,N 分别为弦 AB,CD 的中点, ∴OM⊥AB,ON⊥CD, ∵AB=CD,∴OM=ON, ∴∠OMN=∠ONM, 配套学习资料 K12 页脚内容

KK12 配套学习资料 ∵∠AMN=90°-∠OMN,∠CNM=90°-∠ONM, ∴∠AMN=∠CNM.
13.(1)如图,A,B,C,D,E 都在☉O 上,且 AB=BC=CD=DE=AE.求∠AOB 的度数. (2)受(1)的启发,你能将一个圆四等分,六等分吗?

解:(1)连接 OC,OD,OE,

∵AB=BC=CD=DE=AE,∴

.

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA,

∴∠AOB= =72°. (2)四等分时,作 90°的圆心角;六等分时,作 60°的圆心角.

14.如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是 AB 上的两个动点(不与点 A,B 重合),过点 C,D 分别作与 AB 垂直的弦 EF,MN.
(1)若 AC=BD,求证:EF=MN.

(2)若 C,D 分别是 OA,OB 的中点,则



之间的关系.

解:连接 OE,OM.

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是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说

KK12 配套学习资料 (1)∵OA=OB,AC=BD, ∴OC=OD, ∵EF⊥AB,MN⊥AB,∴EF=MN.

(2)

.

理由:在 Rt△OEC 中,∵C 是 OA 的中点,

∴cos∠AOE=

,∴∠AOE=60°,同理∠MOB=60°,∴∠EOM=180°-∠AOE-∠

MOB=180°-60°-60°=60°,∴∠AOE=∠EOM=∠MOB,∴

.

拓展探究突破练 15.如图 1,PC 是☉O 的直径,PA 与 PB 是弦,且∠APC=∠BPC.

(1)求证:PA=PB. (2)如果点 P 由圆上运动到圆外,PC 过圆心.如图 2,是否仍有 PA=PB?为什么? (3)如图 3,如果点 P 由圆上运动到圆内,PC 过圆心,如图 3,是否仍有 PA=PB?(直接写出结论, 不必说明理由) 解:(1)作 OE⊥PA 于点 E,OF⊥PB 于点 F, ∴∠OEP=∠OFP=90°.
在△POE 和△POF 中, ∴△POE≌△POF,∴PE=PF.
又∵PE= PA,PF= PB,∴PA=PB. 配套学习资料 K12 页脚内容

KK12 配套学习资料 (2)作 OE⊥PA 于点 E,OF⊥PB 于点 F, ∴∠OEP=∠OFP=90°,
在△POE 和△POF 中, ∴△POE≌△POF, ∴OE=OF,PE=PF, ∴AE=BF,∴PA=PB. (3)仍有 PA=PB.
第 4 课时 圆的确定

知识要点基础练 知识点 1 确定圆的条件

1.过两点画圆,可以画

(D)

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.无数个

2.下列条件,可以画出圆的是

(C)

A.已知圆心

B.已知半径

C.已知不在同一直线上的三点

D.已知直径

知识点 2 三角形的外接圆及有关概念

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KK12 配套学习资料 3.如图,☉O 是△ABC 的外接圆,则点 O 是△ABC 的 (B)

A.三条高线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三角形三内角角平分线的交点

4.如图,将△ABC 放在每个小正方形边长为 1 的网格中,点 A,B,C 均落在格点上,用一个圆面

去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是

(A)

A.

B.

C.2

D.

5.直角三角形的斜边为 l,则它的外接圆面积是 π l2 .

知识点 3 反证法

6.用反证法证明命题:如果 AB⊥CD,AB⊥EF,那么 CD∥EF,证明的第一个步骤是 (C)

A.假设 CD∥EF

B.假设 AB∥EF

C.假设 CD 和 EF 不平行

D.假设 AB 和 EF 不平行

【变式拓展】用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是 (D)

A.点在圆内

B.点在圆上

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C.点在圆心上

D.点在圆上或圆内

综合能力提升练

7.下列说法正确的是

(D)

A.半圆是弧,弧也是半圆

B.三点确定一个圆

C.平分弦的直径垂直于弦

D.直径是同一圆中最长的弦

8.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的

圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是

(A)

A.①

B.②

C.③

D.④

9.如图,已知平面直角坐标系内三点 A(3,0),B(5,0),C(0,4),☉P 经过点 A,B,C,则点 P 的坐 标为(C)

A.(6,8)

B.(4,5)

C.(4, )

D.(4, )

10.如图,等边△ABC 的外接圆的半径为 2,则图中阴影部分的面积是 4π -3 含 π 的式子表示)

.(结果用

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KK12 配套学习资料 11.用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一个内角小于或等于 60°”. 已知:∠A,∠B,∠C 是△ABC 的内角.求证:∠A,∠B,∠C 中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明:假设求证的结论不成立,那么 三角形中所有角都大于 60° . ∴∠A+∠B+∠C> 180° . 这与三角形 内角和为 180° 相矛盾. ∴假设不成立. ∴ 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于 60° . 12.如图,为丰富 A,B,C 三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院 M,使它到三个小区的距 离相等,试确定 M 的位置.(用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹)

解:如图.

答案图

13.如图,AD 为△ABC 外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为 F,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E,连接 BD,CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断 B,E,C 三点是否在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上?并说明理由. 解:(1)∵AD 为直径,AD⊥BC,



,∴BD=CD.

(2)B,E,C 三点在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上.

理由:由(1)知

,∴∠BAD=∠CBD,

又∵BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE. 配套学习资料 K12 页脚内容

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∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,

∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE.

由(1)知 BD=CD,∴DB=DE=DC.

∴B,E,C 三点在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上.

14.下面的解题过程对不对?如果不对,如何改正?

题目:△ABC 内接于圆,且 AB=AC=5,圆心到 BC 的距离为 1,求☉O 的半径.

解答:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,AD 过圆心 O,连接 OB.设 OB=OA=r.

在 Rt△ABD 中,有 BD2+AD2=AB2,即 BD2+(r+1)2=52,



在 Rt△BOD 中,有 BD2+OD2=OB2,即 BD2+12=r2,



由①②可得 r=

.

解:错误.有两种情况,①当△ABC 为锐角三角形时,如文中解题过程,得 r= △ABC 为钝角三角形时,圆心 O 不在△ABC 内,

.②当

则有 BD2+(r-1)2=52,BD2+12=r2,得 r=

,故☉O 的半径为

.

拓展探究突破练
15.某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象(如图所示△ABC 即是),公司 领导让工人师傅做一个圆形广告牌,将破损面全部覆盖住,工人师傅量得∠B=45°,∠ C=30°,BC=4 m.为使所做广告牌最小,工人师傅给出两种方案:(1)作△ABC 的外接圆;(2)以 BC 为直径作圆.问:哪个方案中的圆面积最小?是多少?

解:作△ABC 的外接圆☉O 和以 BC 为直径的☉P. 配套学习资料 K12 页脚内容

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方案(2)中圆的面积较小, 理由:∵∠ABC=45°,∠ACB=30°, ∴∠BAC=180°-(45°+30°)=105°. ∵∠BAC≠90°,∴△ABC 的外接圆☉O 的直径大于 BC 的长. ∵☉P 的直径为 BC,☉O 的直径大于 BC 的长, ∴☉P 的面积小于☉O 的面积. ∵☉P 的半径为 BP,∴S=BP2π . ∵BC=4,∴BP=2,∴S=4π . ∴圆的最小面积是 4π m2.
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