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高中数学 1.3.2 导数的应用(函数的极值(2))课件 新人教A版选修2-2_图文


一、复习引入: 1. 常见函数的导数公式: C ' ? 0 ( x n )' ? nxn?1 (e )' ? e x x x x (sin x)' ? cos x (ln x)' ? 1 x (cos x)' ? ? sin x 1 (log a x) ' ? x ln a (a )' ? a ln a ' ' ' 2.法则1 [u( x) ? v( x)] ? u ( x) ? v ( x) 法则2 [u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) [Cu( x)]? ? Cu '( x) 法则3 ? u ? ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? 2 v v ? ? ' 3.复合函数的导数: ? 设函数u ? ? ? x ? 在点x处有导数u? x ? ? ? x ? , 函数y ? f ? u ? 在点x的 对应点u处有导数y? ? f ? ? u ? , 则复合函数y ? f ?? ? x ? ? 在点x处也有导 ? ? ? ? ? 数,且y? x ? yu ? u x 或f x ?? ? x ? ? ? f ? u ? ? ? ? x ? . 4.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间 . 5. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若x0满足f ? ? x0 ? ? 0, 且在x0的两侧f ? x ?的导数异号,则x0是f ? x ?的极 值点,f ? x0 ? 是极值,并且如果f ? ? x ? 在x0两侧满足“左正右负”,则x0 是f ? x ?的极大值点,f ? x0 ? 是极大值。 6. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干 小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号, 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右 正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号, 那么f(x)在这个根处无极值. [例1] 已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处的极 大值为4,极小值为0,试确定a、b、c的值 . [ 分析] 本题的关键是理解“f(x) 在 x =±1 处 的极大值为4,极小值为0”的含义.即x= ±1是方程f′(x)=0的两个根且在根x=±1处 f′(x)取值左右异号. [解析] f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b). 由题意,f′(x)=0应有根x=±1,故5a=3b, 于是f′(x)=5ax2(x2-1) (1)当a>0时, x (-∞,-1) y ′ y + -1 0 (-1,0) - 0 0 (0,1) - 1 0 (1,+∞) + 极大 值 无极 值 极小 值 ? ?4=f(-1)=-a+b+c 由表可知:? ? ?0=f(1)=a-b+c 又 5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=2. (2)当 a<0 时,同理可得 a=-3,b=-5,c=2. [点评] 紧扣导数与极值的关系对题目语言 进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问 题的关键. 变式 函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值 10,则a、b的值为 ( ) A.a=3,b=-3,或a=-4,b=11 B.a=-4,b=1,或a=-4,b=11 C.a=-1,b=5 D.以上都不正确 [答案] D [解析] f′(x)=3x2-2ax-b ∵x = 1 是函数 f(x) 的极值点,且在 x = 1 处的极 值为10,∴f′(1)=3-2a-b=0① f(1)=1-a-b+a2=10② ? ?a=-4 由①②解得? ? ?b=11 ? ?a=3 或? ? ?b=-3 当a=3,b=-3时 f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2 当x<1时,f′(x)>0 当x>1时,f′(x)>0 ∴当x=1时函数不存在极值. 当a=-4,b=11时符合题意,故应选D. [例2] 求函数f(x)=x3-3x2-2在(a-1,a+1)内的极值(a>0) [解析] 由f(x)=x3-3x2-2得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x ) f ( x) (-∞,0) + 0 0 极大值 (0,2) - 2 0 极小值 (2,+∞) + 由此可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2 ,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6 ,无极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值. [点评] 判断函数极值点的注意事项 (1) 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点. (2) 若 f(x) 在 (a , b) 内有极值,那么 f(x) 在 (a , b) 内绝不 是单调函数,即在区间(a,b)上的单调函数没有极 值. (3)导数不存在的点也有可能是极值点,如f(x)=|x|在x =0处不可导,但由图象结合极小值定义知 f(x)=|x| 在x=0处取极小值. (4) 在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小 值点,且极大值不一定比极小值大. (5) 在讨论可导函数 f(x) 在定义域内的极值时, 若方程f′(x)=0的实数根较多时,应注意使用 表格,使极值点的确定

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