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40[1].参数方程、极坐标专项训练(2)


第三章 参数方程、极坐标(2)
【例题精选】 : (极坐标) 例 1:在极坐标系中,点 P( ?,? )( ? ? 0) 关于极轴对称的点的坐标是 A. ( ? ?,? ) C. ( ? ?, ? ? ) 答案:B B. ( ?, ? ? ) D. ( ?,? ? ? )

例 2:已知点 M 的极坐标为 ? 3, 式: (1) ? ? 0,? ? 0,2?

? ?

??

? ,试分别写出它符合下列条件之一的极坐标的形 3?
(2) ? ? 0,? ? ?2?,0

?

? ?
? ?

?

?

(3) ? ? 0,? ? ??,?

?

解:点 M 的极坐标一般可写成 ? 3,2 k? ? 意可得: (1) M ? ?3,

??

?? ? ? 和 ? ?3,2 k? ? ? ? ? ? k ? Z ? ,由题 3? 3? ?

? ?

4 ? ?? 3 ?

(2) M ? 3, ?

? ?

5 ? ?? 3 ?

(3) M ? ?3, ?

? ?

2 ? ?? 3 ?

例 3:已知 ?ABC 三顶点的极坐标分别是 A? 5,

? ?

??

?、 6?

?? ?? ? ? B? 5, ? 和 C? ?4 3, ? ,试判断 ?ABC 的形状,并求 ? ? 2? 3?
出它的面积。 解: AC ? BC

? 52 ? 4 3 ? 133

? ?

2

? 2 ? 5 ? 4 3· cos150?

?ABC 是等腰三角形,易知

AB ? 5 ,AB 边上的高为 4 3 ?
? S ?ABC ?

5 13 3? 3 2 2

1 13 65 3 ? 3 ?5? 2 2 4 ? ? 4 ? ?5? ? ? 。 ? ? 和B? 5, ? 两点,求 AB 和S ?AOB (O 为极点) ? ? 3 6 ? ? ?

例 4:已知: A? ?3,

解:A、B 两点的极坐标可分别表示为 A? 3,
2

??

7? ? ? ? 和B? 5, ? ? 3? 6?

由余弦定理得 AB

? 32 ? 52 ? 2 ? 3 ? 5 ? cos150? ? 34 ? 15 3

? AB ? 34 ? 15 3
由三角形面积公式得

S ?AOB ?

1 15 · 3·5 sin 150? ? 2 4

例 5:极坐标方程 ? ? sin ? 所表示的曲线是 A.正弦曲线 B.直线
2

C.和极轴相切的圆
2 2 2

D.圆心在极轴上的圆
2

1? 1 ? 分析: ? ? sin ? , ? ? ?· sin? ,? x ? y ? y,x ? ? y ? ? ? ? 2? 4
答案:C 例 6:化 ? ?

16 为直角坐标方程。 5 ? 3cos?

解 : 将 原 方 程 变 形 为 5? ? 3? cos? ? 16,即5? ? 3? cos? ? 16 两 边 平 方 并 将

x ? ? cos?,y ? ? sin? 代入,得

25( x 2 ? y 2 ) ? (3x ? 16) 2 ,整理得16x 2 ? 25y 2 ? 96x ? 256 ? 0
例 7:化下列极坐标方程为直角坐标方程: (1) ? ? 2ctg?· csc ? ? 0 ; (2) ? ? 解: (1) ? ? 2 ·

cos? ?0 sin 2 ?

2 ? 2 cos? sin 2 ?

?? ? sin 2 ? ? 2 cos? ? ? 0

2 ?2 s i n ? ? 2? c o ? s ? 0 即 y 2 ? ?2 x

(2) ? sin 2 ? ? 2 ? 2 cos?,? 2 sin 2 ? ? 2? ? 2? cos?

? y 2 ? 2 x 2 ? y 2 ? 2 x, y 2 ? 2 x 即 y2 ? 4x ? 4
【专项训练】 : (时间 90 分钟) 一、参数方程:

?

?

2

? 2 x2 ? y2

?

?

2

2 ? 3t ? x? ? ? 1? t 1、参数方程 ? ( t 为参数)化成普通方程是 ? y ? 1 ? 4t ? 1? t ?

, 它表示的图形是

2、直线 ?

? x ? t sin 20??3 ( t 为参数)的倾斜角是 y ? ? t cos 20 ? ?

t ?t ? ?x ? e ? e 3、参数方程 ? ( t 为参数)表示的曲线是 t ?t ? ?y ? e ? e

A.双曲线 C.双曲线的上支 4、将下列参数方程化成普通方程

B.双曲线的下支 D.圆

? 6k 2 ? 8k x ? ? ? 1 ? k 2 (k为参数) (1) ? ? y ? 8 ? 6k ? 1? k 2 ? 4 cos? ? x? ? ? 1 ? cos? (2) ? (?为参数) 4 sin ? ?y ? ? 1 ? cos? ?
? x ? 2 cos2 ? ? ( ? 为参数)的长是 2 ? y ? 3 sin ? ?

5、曲线 ?

6、若直线 l:?

?x ? x0 ? t cos? (t 为参数)与 y 轴相交,则 l 在 y 轴上的截距是 ? y ? y0 ? t sin ?

7、过点 P(2,0)的直线 l 夹在直线 y ? 程是

3x和y ? 3x ? 2 间线段长为 2,则 l 的普通方

8、直线 ?

?x ? 2 ? t ? y ? 3t

( t 为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 截得的弦长为:

A. 10

B.2 10

C.

10 2

D.

10 3

9、过点 P(2,1)作椭圆 长。

x2 y2 ? ? 1 的弦,使 P 为弦的中点,求弦所在的直线方程和弦 16 4

cos? ? x? ? ? 1 ? cos? 10、参数方程 ? ( ? 为参数)表示的曲线是 ? y ? 2 sin ? ? 1 ? cos? ?

, 化成普通方程是

11、设 P( x,y ) 是椭圆 2 x ? 3y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值
2 2



小值是 二、极坐标

1、极轴上距离点 A? 4 2 ,

? ?

??

? 5 个单位的点的极坐标是 4?

2、已知极坐标系中的两点 A? 3, ?

? ?

4 ? 4 ? ? ? ? ,B? ?1, ? ? 则 AB ? ? 3 ? 3 ?

3、已知点 P 的极坐标 ? 2 ,

? ?

5 ? ? ? 若取 ? ? 0, ? 2? ? ? ? 0 ,则点 P 的极坐标是 6 ?

4、点(-3,4)的极坐标是: A. ? 5,arctg? ? ? ?

? ?

? 4?? ? 3? ?
3? 5?

B. ? 5,arsin ?

? ?

4? 5?

C. ? ?5, ? arccos ?

? ?

D. ? ?5, arccos? ? ? ?

? ?

? 3? ? ? 5? ?

5、已知点 A? ?3,

? ?

??

?? ? ? ,B? 3, ? 求 AB 和?AOB 的面积,并判断 ?AOB 的形状。 ? 6? 2?

6、化下列极坐标方程为直角坐标方程:

?? sec ? ? (1)? ? sin?? ? ? ;(2 )? ? ? 3? 1 ? tg?
7、直线 ? ?

?
3

? ? ? R?与曲线? ?

4 的交点坐标是 1 ? cos?

8、过点 (a, 0) 且与极轴相交成 60? 角的直线的极坐标方程是

9、已知:圆 C 的极坐标方程是 ? 2 ? 2?(cos? ? 3 sin? ) ? 5 ? 0 则圆心坐标是 【答案】 : 一、参数方程: 1、答案: 3x ? 5y ? 11 ? 0(x ? ?3) ;直线(去掉点(-3,4) ) 。 提示:由定比分点公式,方程表示过两点(2,1) (-3,4)的直线,但不含点(-3, 4) 。 2、答案: 110? 解:设倾斜角为 ?,? ? 0,? ,则tg? ? ?

?

?

cos 20? ? ?ctg 20? ? tg110? sin 20?

3、答案:C 解:平方差: y ? x ? 4, ? y ? e ? e
2 2 t ?t

? 2 (均值定理)

?曲线表示双曲线的上支
x 8 ? 6k ? ? k,代入y ? 得( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 25 2 y 1? k

4、解: (1)

(2)原方程化为 ?

? x cos? ? 4 cos? ? ? x ,解此方程组得 ? y cos? ? 4 sin ? ? ? y

cos? ?

?x ?y , sin ? ? ,消去?,得y 2 ? ?8( x ? 2) x?4 x?4

5、答案: 13 解:消去参数得

x y ? ? 1?0 ? x ? 2? 是一条线段长度为 2 2 ? 32 ? 13 2 3

6、答案: y0 ? x0 tg? 解: 令 x ? 0,得t ? ?

x0 代入y ? y 0 ? t sin ?,得y ? y 0 ? x 0 tg? cos?

7、答案: x ? 2 或y ? 解:y ?

3 ( x ? 2) 3

故 l 与它们的夹角为 30? , 因此 l 的倾角为 90? 3x和y ? 3x ? 2 的距离为 1,

或 30? ,于是所求直线 l 的方程为 x ? 2 或y ?

3 ( x ? 2) 3

8、答案:B

t ? x ?2? ? 2 ? 解:将直线参数方程的标准式 ? ( t 为参数)代入双曲线方程得: ? y ? 3t ? 2 ?
t 2 ? 4t ? 6 ? 0
则弦长: t1 ? t 2 ?

? t 1 ? t 2 ? 2 ? 4t 1 t 2

? 2 10

9、解:设直线方程为 ?

? x ? 2 ? t cos? ( t 为参数)代入椭圆方程得: ? y ? 1 ? t sin ?

t 2 (cos2 ? ? 4 sin 2 ? ) ? 4t (cos? ? 2 sin? ) ? 8 ? 0

依题意, t 1 ? t 2 ? 0,得tg? ? ? 所求直线方程为: y ? 1 ? ?

1 , 2

1 ( x ? 2) 即x ? 2 y ? 4 ? 0弦长为 t1 ? t 2 ? 2 5 2

10、答案: y 2 ? ?2? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? 2? ?

1? ? 2?

解:

y sin ? ? ? tg?,又y ? ? tg x 1 ? cos? 2

?

y ? tg? ? x

2tg 1 ? tg

?
2 ?

2

?

2y 1? y2

2 1? ? ? y ? 0 或 y 2 ? ?2? x ? ? 当y ? 0时 sin ? ? 0, cos? ? ?1 ? 2? ?x ? 1 2
2

为抛物线 y ? ?2? x ? ? 的顶点,又x ?

? ?

1? 2?

cos? 1 1 ? 1? ? 1 ? cos? 1 ? cos? 2

1? ? 1? ? ?普通方程为 y 2 ? ?2? x ? ? ? x ? ? ? 2? ? 2?

11、答案: 22; ? 22 解:设 x ?

6 cos?,y ? 2 sin?,x ? 2 y ? 6 cos? ? 4 sin? ? 22 sin(? ? ? )

? ? 为确定的锐角,?? 22 ? x ? 2 y ? 22
二、极坐标: 1、答案: (1,0) 、 (7,0) 提示:问题化为以 A(4,4)为圆心,5 为半径的圆与 x 轴的两个交点(1,0) 、 (7,0) 其极坐标即(1,0) 、 (7,0)

2、答案: 7

3、答案: ? ?2 , ?

? ?

??
? 6?

4、C

5、解: AB ?

32 ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 cos120? ? 3 3

1 9 ? 3 ? 3 ? sin 120? ? 3 2 4 ?ABO是顶角为120? 的等腰三角形 S ?AOB ?

6、 (1) x ? y ?
2 2

3 1 x? y?0 2 2

(2) x ? y ? 1 ? 0

7、答案: ? 8,

? ?

??
?
3

? 8 4? ? ? 、? , ? 3? ? 3 3?
和 4? 8 ? 8 4? ? 代入得? ? 8和? ? ,这里容易失去一解 ? , ? 。 ?3 3 3 3?

解:分别将 ? ?

8、答案: 2 ? sin?

?? ? ? ? ? ? 3a ?3 ?

提示:可先在直角坐标系中求直线方程,即过点(a,0) ,倾斜角为 60? 的直线方程是

y ? 3( x ? a) 再将 x ? ? cos?,y ? ? sin? 代入即可。

9、答案: ? 2 ,

? ?

4 ? ?? 3 ?

解:先化为直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 3y ? 5 ? 0 即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 , 其圆心 ?1, ?

?

4 ? ? 3 半径为 3,圆心的极坐标即 ? 2 , ? ? ? 3 ?

?


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