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0届高三一轮数学(理)复习第讲空间中的平行关系


第47讲 空间中的平行关系

1. 已知直线 a?α, 直线 b?α, 则“a∥b”是“a∥α” 的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:由线面平行的判定定理可知充分条件成立,但 a ∥α 时,a 与 b 的位置关系是平行或异面,即必要条件不成 立,故选 A.

2.(原创)如图,矩形 ABCD 中,E,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF∥AB,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后 的矩形为 MNEF,且平面 MNEF⊥平面 ECDF,则下列叙述 不正确的是( D ) A.NC∥平面 MFD B.NC∥MD C.EF 与 ND 异面 D.EF∥NC

解析:易判断 EF 与 NC 为异面直线,故选 D.

3.若平面 α∥平面 β,直线 a∥α,点 B∈β,则在平面 β 内且过点 B 的所有直线中( A ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一的一条与 a 平行的直线

4.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( D ) A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥ α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥ α

解析:A、B、C 中 α 与 β 都有可能相交.

5.(原创)如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC∥ 平面 DEFG,EF∥DG,且 AB=DE,DG=2EF,则( A ) A.BF∥平面 ACGD B.CF∥平面 ABED C.BC∥FG D.平面 ABED∥平面 CGF

解析:取 DG 的中点为 M,连接 AM、FM,则 由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形, 所以 DE 綊 FM.

因为平面 ABC∥平面 DEFG,平面 ABC∩平面 ADEB= AB,平面 DEFG∩平面 ADEB=DE, 所以 AB∥DE,所以 AB∥FM,又 AB=DE,所以 AB= FM,所以四边形 ABFM 是平行四边形,即 BF∥AM. 又 BF?平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD,故选 A.



平行判断的基本应用
【例 1】m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,

有以下四个命题: ①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ; ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β ④若 m∥n,n?α,则 m∥α. 其中是真命题的是( A.①③ C.②③ ) B.①④ D.②④

解析:确定命题正确常常需要严格的证明,判断命题错 误只需一个反例就可以了.如图在正方体 A′C 中,平面 BB′C′C 垂直平面 A′B′C′D′ ,直线 AD 平行平面 BB′C′C,但直线 AD 并不垂直平面 A′B′C′D′,故② 错误,排除 C、D;由线面平行的判定定理知,④缺少 m?α 的条件,故④错误,故选 A.

【拓展演练 1】 已知两个不同的平面 α,β 和两条不重合的直线 a,b,则 下列四个命题中为真命题的是( A.若 a∥b,b?α,则 a∥α B.若 α⊥β,α∩β=b,a⊥b,则 a⊥β C.若 a?α,b?α,a∥β,b∥β,则 α∥β D.若 α∥β,a?α,a?β,a∥α,则 a∥β )

解析:选项 A 中,直线 a 可能在平面 α 内;选项 B 中, 直线 a 可能在平面 β 内;选项 C 中,直线 a,b 为相交直线时 命题才成立.



直线与平面平行的判定和性质
【 例 2 】 (2013· 北京市石景山区一模)如图,三棱柱

ABCA1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1 =3,D 为 AC 的中点.求证:AB1∥平面 BDC1.

证明:连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD,如图. 因为四边形 BCC1B1 是矩形,所以 O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点,所以 OD∥AB1. 因为 AB1?平面 BDC1,OD?平面 BDC1, 所以 AB1∥平面 BDC1.

【拓展演练 2】 (2012· 广东省深圳市模拟)如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的 母线, BC 是底面圆 O 的直径, D、 E 分别是 AA1、 CB1 的中点, DE⊥平面 CBB1.证明:DE∥平面 ABC.

证明:连接 EO,OA. 因为 E,O 分别为 B1C,BC 的中点, 1 所以 EO∥BB1,且 EO= BB1. 2 1 又 DA∥BB1,且 DA= BB1, 2 所以 DA 綊 EO, 所以四边形 AOED 是平行四边形, 即 DE∥OA,DE?平面 ABC,OA?平面 ABC 所以 DE∥平面 ABC.



平面与平面平行的判定与性质
【例 3】(2012· 东北四校第二次联考)如图,边长为 1 的正

三角形 SAB 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面垂直, 且 AB ∥CD,BC⊥AB,BC=1,CD=2,E、F 分别是线段 SD、CD 的中点.求证:平面 AEF∥平面 SBC.

1 证明:因为 F 是 CD 的中点,所以 FC= CD=1. 2 又 AB=1,所以 FC=AB, 因为 FC∥AB,所以四边形 ABCF 是平行四边形. 所以 AF∥BC, 而 AF?平面 SBC,BC?平面 SBC, 所以 AF∥平面 SBC. 又因为 E,F 分别是 SD,CD 的中点,所以 EF∥SC, 而 EF?平面 SBC, SC?平面 SBC, 所以 EF∥平面 SBC, 又 AF∩EF=F,所以平面 AEF∥平面 SBC.

【拓展演练 3】 (改编)如图,S 为矩形 ABCD 所在平面外一点,E,F,H 分别是 SD, BC, SC 上的点, 且 SE∶ED=BF∶FC=SH∶HC, 求证:平面 EHF∥平面 SAB.

证明:因为 SH∶HC=SE∶ED, 所以 EH∥DC. 而 DC∥AB,所以 EH∥AB, 又 EH?平面 SAB,AB?平面 SAB, 所以 EH∥平面 SAB, 因为 SH∶HC=BF∶FC,所以 HF∥BS, 又 HF?平面 SAB,BS?平面 SAB, 所以 HF∥平面 SAB, 又因为 FH 与 HE 为平面 EHF 内的两条相交直线, 所以平面 EHF∥平面 SAB.

1.(2012· 四川卷)下列命题正确的是( C ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直 线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则 这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两 个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

解析:A 中,两直线可能平行,相交,异面,故 A 不 正确;两平面平行或相交,B 不正确;C 正确;D 中,这 两个平面还可能平行或相交,故选 C.

2.(2010· 山东卷)在空间,下列命题正确的是( D ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

解析:A 中的平行投影是平行的但不一定重合;B 中 满足条件两个平面还可能相交;C 中满足条件的两个平面 也可能相交,排除 A,B,C,故选 D.

3.(2013· 江苏卷)如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB⊥ 平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB,过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F. 点 E,G 分别是侧棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC;(2)略.

证明:(1)因为 E,G 分别是侧棱 SA,SC 的中点, 所以 EG∥AC. 又 EG?平面 ABC,AC?平面 ABC, 所以 EG∥平面 ABC. 因为 AB=AS,AF⊥SB,所以 F 是 SB 的中点, 所以 FG∥BC,而 FG?平面 ABC,BC?平面 ABC, 所以 FG∥平面 ABC. 又因为 EG∩FG=G,EG,FG?平面 EFG, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)略.


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