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初中数学经典几何难题及问题详解


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经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二) C E

G

A

D

O

2、已知:如图,P 是正方形 ABCD 内一点,∠PAD=∠PDA=150.

求证:△PBC 是正三角形.(初二)

A

P

F

B

D

B

C

3、如图,已知四边形 ABCD、A1B1C1D1 都是正方形,A2、B2、C2、D2 分别是 AA1、BB1、

CC1、DD1 的中点. 求证:四边形 A2B2C2D2 是正方形.(初二)

A A2 A1

D D2

D1

B1 C1

B2 B

C2 C

4、已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,M、N 分别是 AB、CD 的中点,AD、BC

的延长线交 MN 于 E、F.

求证:∠DEN=∠F.

F

E

标准文案

N

C

D

A

B

M

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经 典 难 题(二)

1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且 OM⊥BC 于 M.

(1)求证:AH=2OM;

A

(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)

O · HE

B

MD C

2、设 MN 是圆 O 外一直线,过 O 作 OA⊥MN 于 A,自 A 引圆的两条直线,交圆于 B、C

及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q. 求证:AP=AQ.(初二)

G E

C



B

D

M P

A

QN

3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:

设 MN 是圆 O 的弦,过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE,设 CD、EB 分别交 MN

于 P、Q.

E

求证:AP=AQ.(初二)

C M
P

A ·

Q N

·O

B

D

4、如图,分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形

CBFG,点 P 是 EF 的中点.

求证:点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半.(初二)

D

G

C E

P

F

A

QB

标准文案

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经 典 难 题(三)

1、如图,四边形 ABCD 为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE 与 CD 相交于 F.

求证:CE=CF.(初二)

A

D

F

E

B

C

2、如图,四边形 ABCD 为正方形,DE∥AC,且 CE=CA,直线 EC 交 DA 延长线于 F.

求证:AE=AF.(初二) F

A

D

B

C

E

3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点,PF⊥AP,CF 平分∠DCE.

求证:PA=PF.(初二)

A

D F

B

P

C

E

4、如图,PC 切圆 O 于 C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三) A

BO

D

P

E

F

C

标准文案

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经 典 难 题(四)
1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5. 求:∠APB 的度数.(初二) A
P

B
2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB.(初二) A
B

C
D P
C

3、设 ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三) A D

B

C

4、平行四边形 ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点,AE 与 CF 相交于 P,且 AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二)

A

D

F

P

B

EC

标准文案

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经 典 难 题(五)

1、设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点,L=PA+PB+PC,求证: ≤L<2. A
P

B

C

2、已知:P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PA+PB+PC 的最小值.

A

D

P

B

C

3、P 为正方形 ABCD 内的一点,并且 PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

A

D

P

B

C

4、如图,△ABC 中,∠ABC=∠ACB=800,D、E 分别是 AB、AC 上的点,∠DCA=300,

∠EBA=200,求∠BED 的度数.

A

标准文案

E D

B

C

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经 典 难 题(一)
1.如下图做 GH⊥AB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,
即△GHF∽△OGE,可得 EO = GO = CO ,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。 GF GH CD
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出 PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形

3.如下图连接 BC1 和 AB1 分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点, 连接 EB2 并延长交 C2Q 于 H 点,连接 FB2 并延长交 A2Q 于 G 点,



A2E=

1 2

A1B1=

1 2

B1C1=

FB2

,EB2=

1 2

AB=

1 2

BC=FC1

,又∠GFQ+∠Q=900 和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ,
可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以 A2B2=B2C2 , 又∠GFQ+∠HB2F=900 和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形。

标准文案

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4.如下图连接 AC 并取其中点 Q,连接 QN 和 QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠
DEN 和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
经 典 难 题(二)
1.(1)延长 AD 到 F 连 BF,做 OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD, 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF, 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接 OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。
标准文案

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3.作 OF⊥CD,OG⊥BE,连接 OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。 由于 AD = AC = CD = 2FD = FD , AB AE BE 2BG BG
由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE。 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ,从而可得 AP=AQ。

4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG,CI,FH。可得 PQ= EG + FH 。 2

由△EGA≌△AIC,可得 EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得 FH=BI。

从而可得 PQ=

AI + BI
=

AB ,从而得证。

2

2

标准文案

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经 典 难 题(三)
1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接 CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得 B,G,D 在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。 推出 AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形。 ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证:CE=CF。
2.连接 BD 作 CH⊥DE,可得四边形 CGDH 是正方形。
由 AC=CE=2GC=2CH, 可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,
标准文案

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又∠FAE=900+450+150=1500, 从而可知道∠F=150,从而得出 AE=AF。

3.作 FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出 GFEC 为正方形。
令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。

tan∠BAP=tan∠EPF= X =

Z

,可得 YZ=XY-X2+XZ,

Y Y- X+ Z

即 Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得 X=Z ,得出△ABP≌△PEF , 得到 PA=PF ,得证 。

标准文案

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经 典 难 题(四)
1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接 PQ ,则△PBQ 是正三角形。 可得△PQC 是直角三角形。
所以∠APB=1500 。

2.作过 P 点平行于 AD 的直线,并选一点 E,使 AE∥DC,BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:
AEBP 共圆(一边所对两角相等)。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。

3.在 BD 取一点 E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得:

BE = AD ,即 AD?BC=BE?AC,



BC AC

又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得

AB = DE ,即 AB?CD=DE?AC,



AC DC

由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证。

标准文案

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4.过 D 作 AQ⊥AE

,AG⊥CF

,由 S

S
ADE =

ABCD
2

=S

DFC ,可得:

AE

P Q AE
=

PQ ,由 AE=FC。

2

2

可得 DQ=DG,可得∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理)。

经 典 难 题(五)
1.(1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形。
既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要 AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小 L= ;
标准文案

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(2)过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D,F。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP,

推出 AD>AP



又 BP+DP>BP



和 PF+FC>PC



又 DF=AF



由①②③④可得:最大 L< 2 ;

由(1)和(2)既得: ≤L<2 。

2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形。
既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小 PA+PB+PC=AF。
标准文案

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既得 AF= 1 + ( 3 + 1)2 =

4+ 2 3 2+ 3 =

42

2

=

( 3 + 1)2
=

2 ( 3 + 1)

2

2

= 6+ 2 。 2

3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:

既得正方形边长 L = (2 + 2 )2 + ( 2 )2 a = 5 + 2 2 a 。

2

2

标准文案

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4.在 AB 上找一点 F,使∠BCF=600 ,

连接 EF,DG,既得△BGC 为等边三角形,

可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ,

得到 BE=CF , FG=GE 。

推出 : △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,

既得:∠DFG=400



又 BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400



推得:DF=DG ,得到:△DFE≌△DGE ,

从而推得:∠FED=∠BED=300 。

标准文案


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