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陕西省西安铁一中、铁一中国际合作学校2014届高三上学期9月月考数学(文)试题


高三年级模拟考试 数学(文)试题
满分:150 分, 考试时间:120 分钟

一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
?x 1.已 知 集 合 A ? y y ? 2 , x ? 0 , 集 合 B ? x y ? x 2 , 则 A ? B ?

?

?

?

1

?

A. ?1, ?? ? 2.函数 f ( x) ?

B. ?1, ?? ?

C. ? 0, ?? ? ) C. [?2, 2]

D. ? 0, ?? ?

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ( ln( x ? 1) A. [?2,0) ? (0,2] B. (?1,0) ? (0,2]

D. (?1, 2] ( D.a-b=1 ( ) )

3.已知 f ( x) ? sin 2 ( x ? A.a+b=0 4.函数 y=

?

1 ) 若 a=f(lg5), b ? f (lg ) 则 4 5
C.a+b=1

B.a-b=0

A.( ? 1,1]

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
B.(0,1] C.*1,+∞) ( D.(0,+∞) )

5.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 S n ?
n?1

A. 2

?3? B. ? ? ?2?

n?1

?2? C. ? ? ?3?

n?1

D.

1 2 n?1

6.定 义 集 合 X ? Y ? CU ( X ? Y ) ,则 集 合 ( A ? B) ? C ? A. ( A ? B) ? C C U C. C ( A ? B) ? C U B . ( A ? B) ? C C U D . C ( A ? B) ? C U

(

)

7. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 , 根 据 图 中 标 出 的 尺 寸 ,可 得 这 个 几 何 体的 体 积为
A .12 B . 12

3

C.

4 3

D . 16

3

8.已 知 等 差 数 列 ? an ? 的 公 差 d ? 0 , 若 a4 ? a6 ? 24, a2 ? a8 ? 10 , 则 该 数 列 的 前 n 项 和 sn 的 最 大 值 为 A. 60 B. 5 5 C. 50 D. 45 )

1 9.若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=- 2,c=xa+yb(x,y∈R),则 x+y 的最大值是( A.2 B. 3 C. 2 D.1

10.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA, OB 为直径作两个半圆.

在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(

)

1 1 A. ? 2 ?

1 B. ?

C. 1 ?

2

?

2 D. ?

二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) ( 11.曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为________. 12 . 已 知 {an } 为 等 差 数 列 , S n 为 其 前 n 项 和 . 若 a1 ?

1 , S2 ? a3 , 则 2

a2 ? ________; S n =________.
1 13.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cosC= ,则 sinB= 4 ________.. 14. 已知函数 f ? x ? ? ? 取值范围是

?log 2 ? x ? 1? , x ? 0
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

, 若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有三个零点, 则实数 m 的

.
2 2

15. 已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分)已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. ( Ⅰ ) 求 a 的值; x ( Ⅱ ) 若 ?f?x?-2f? ??≤k 恒成立,求实数 k 的取值范围. ? ? 2??
2 2 17.(本题满分 12 分)设 函 数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos ? x(? ? 0) 的 最 小 正 周

期为

2? . 3
(Ⅰ ) 求

? 的值 .
? 个单 位长 度 2

( Ⅱ ) 函 数 y ? g ( x) 的 图 像 是 由 y ? f ( x) 的 图 像 向 右 平 移 若 得 到 , 求 y ? g ( x) 的 单 调 增 区 间 .

18. (本小题满分 12 分)如图,在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 底 面 ABCD , E 为 PC 中 点 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 . AB / /CD, ?ADC ? 90 , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . ( Ⅰ ) 求 证 : BE / / 平 面 APD ; ( Ⅱ ) 求 证 : 平面PBC ? 平面PBD .
0
A

P

E

D

C

B

19. 本 小 题 1 2 分 ) 数 列 {a n } 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 (
2 2a n S n ? a n ? 2 . 2 ( Ⅰ ) 求 证 : 数 列 { S n } 为 等 差 数 列 , 并 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ;

( Ⅱ ) 设 bn ?

2
4 4Sn

?1

, 求 数 列 { b n } 的 前 n 项 和 Tn 的 最 小 值 .

x2 y 2 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2,0) ,离心率 a b


2 .直线 y ? k ( x ? 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. ) 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 得面积为

10 时,求 k 的值. 3

数学(文科)参考答案与评分标准 一、选择题: (每 小 题 5 分 , 满 分 50 分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

答案

B

D

C

B

B

A

D

D

C

A

二、填空题: (每 小 题 5 分 , 满 分 25 分 ) 11. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; 三、解答题: 16.解: Ⅰ ) 由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2.又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1},所以当 a≤0 ( 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,- ≤x≤ ,得 a=2. a a 1, x≤-1, 12.1,

n ; 2

13.

15 ; 4

14. (0,1) ;

15. 0 ? a ? 3 .

? ?-4x-3,-1<x<-1, x ( Ⅱ ) 记 h(x)=f(x)-2f? ?,则 h(x)=? 2 ?2? ?-1,x≥- 1, ? 2

所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.
2 2 2 2 17.解 : Ⅰ ) f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ? sin 2? x ? 1 ? 2cos 2? x (

? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 , 4
依题 意 得
2? 2? ? ,故 2? 3

?

? 的最 小 正周 期 为

? ?? 5? ? g ( x) ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3 x ? ) ? 2 , 2 4? 4 ? ? 5? ? ≤ 2k? ? (k ? Z ) , 由 2k? ? ≤ 3x ? 2 4 2 2 ? 2 7 ? (k ? Z ) , 解 得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 18.解 : I) 取 PD 的 中 点 F , 连 结 EF , AF , (
(Ⅱ ) 依题 意 得: 因 为 E 为 PC 中 点 , ∴ EF / /CD , 且 E F ?

3 . 2

…………6 分

1 C D? 1 , 2

? , 在 梯 形 ABCD 中 , A B / / C D, A B 1 ∴ EF / / AB, EF ? AB,
四 边 形 ABEF 为 平 行 四 边 形 , ∴ BE / / AF ,

BE ? 平 面 PAD , AF ? 平 面 PAD , ∴ BE / / 平 面 PAD .…………6 分
( II) AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 , 则 BC ? BD, ? BC ? 平面PBD ? 平面PBC ? 平面PBD ,
2 19.解 : Ⅰ ) ∵ 2a n S n ? a n ? 1 , ∴ 当 n ≥ 2 时 , 2( S n ? S n?1 ) S n ? ( S n ? S n?1 ) 2 ? 1 , ( 2 2 2 整 理 得 , S n ? S n?1 ? 1 ( n≥ 2) 又 S1 ? 1 , , 2 ∴ 数 列 {Sn } 为 首 项 和 公 差 都 是 1 的 等 差 数 列 .

2 ∴ S n ? n , 又 Sn ? 0 , ∴ S n ? n .

∴ n ≥ 2 时 , a n ? S n ? S n?1 ? n ? n ? 1 , 又 a1 ? S1 ? 1 适 合 此 式 , ∴ 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 为 a n ? n ? n ? 1 . ( Ⅱ ) ∵ bn ? …………6 分

2 1 1 ? ? , ? 1 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ? ?? ∴ Tn ? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? =1? , 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1
4 4Sn

2

?

2 1 的最 小 值为 . …………12 分 2? 3 n ? a?2 ? x2 y2 2 ? c 20..解: (1)由题意得 ? 解得 b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1. ? 4 2 ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c ?
? y ? k ( x ? 1) ? (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2
设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为

?Tn ?

2

( x1 , y1 )

,

( x2 , y2 )

,



y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ? 1) , x1 ? x2 ?
所 |MN|=

4k 2 2k 2 ? 4 , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 = (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] =
|k| 1 ? 2k 2

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) . 1 ? 2k 2

由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ? )

,

1 | k | 4 ? 6k 2 | k | 4 ? 6k 2 10 ? 所以△AMN 的面积为 S ? | MN | ?d ? . 由 , 解得 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3

k ? ?1 .
另解(2) s ? :

1 1 10 ? 3 ? y1 ? y 2 ? ? 3 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 2 3

21.解 : Ⅰ ) f ( x)的定义域为(0,??), f ?( x) ? (
1? a 令 f ?( x) ? 0得x ? e ,

1 ? (ln x ? a) , x2

当 x ? (0, e1?a )时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是 增 函 数 ; 当 x ? (e1?a ,??)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是 减 函 数 ;
1? a 1? a a ?1 ∴ f ( x)在x ? e 处取得极大值, f ( x) 极大值 ? f (e ) ? e , 无 极 小 值 . …………4

分 ( Ⅱ ) ① 当 e1?a ? e 2 时 , 即 a ? ?1时 , 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x)在(0, e1?a ) 上 是 增 函 数 , 在 (e1? a , e 2 ] 上 是 减 函 数 ,

? f ( x ) max ? f ? e1? a ? ? e a ?1 ,
?a 2 又 当 x ? e ? a时, f ( x) ? 0,当x ? (0, e ? a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ? a , e 2 ]

0,当x ? (0, e ? a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ? a , e 2 ] 时 , f ( x) ? (0.e a ?1 ) ,
∴ f ( x)与图象g ( x) ? 1的 图 象 在 (0, e 2 ] 上 有 公 共 点 , ? e a ?1 ? 1 . 解 得 a ? 1, 又a ? ?1, 所以a ? 1 . ② 当 e1?a ? e 2即a ? ?1 时 , f ( x)在(0, e 2 ] 上 是 增 函 数 , ∴ f ( x)在(0, e ]上的最大值为f (e ) ?
2 2

2?a , e2

所以 原 问题 等 价于

2?a ? 1, 解得a ? e 2 ? 2. 又 ? a ? ?1, ∴ 无 解 , 2 e 综 上 , 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ?1, ?? ? . …………10 分

( Ⅲ ) 令 a =1, 由 ( Ⅰ ) 知 ,

ln x ? 1 ? 1( x ? 0),? ln x ? x ? 1, x 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ,? ln(1 ? )? ?ln 2 ? 1 相加得: n n n ?1 n ?1 n ?1 n 2 1 1 ln(n ? 1) ? ln ? ln ? ? ? ln ? 1 ? ? ? ? 。 n n ?1 1 2 n

21. ( 本 小 题 1 4 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ( Ⅰ ) 求 f (x) 的 极 值 ;

ln x ? a (a ? R) . x

2 ( Ⅱ ) 若 函 数 f (x) 的 图 象 与 函 数 g (x) =1 的 图 象 在 区 间 (0, e ] 上 有 公 共

点, 求 实 数 a 的取 值 范围 ; ( Ⅲ ) 求 证 : ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 ??? , 2 n


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