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宁夏回族自治区银川一中2016届高三上学期第四次月考数学(文)试题 Word版含答案


银川一中 2016 届高三年级第四次月考

数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0} , B ? {x | x ? ?1或x ? 4} ,则集合 A ? B 等于
2

A. x | ?2 ≤ x ? ?1 C. x | 3 ≤ x ? 4

?

?

B. x | ?1 ? x ≤ 3 D. x | x ≤ 3或x ? 4

?

?

?

?

?

?

2.命题“若 x2+y2=0,x、y∈R,则 x=y=0”的逆否命题是 A.若 x≠y≠0,x、y∈R,则 x2+y2=0 C.若 x≠0 且 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 B.若 x=y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 D.若 x≠0 或 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0

3.直线 l 过抛物线 x2=2py (p>0)的焦点,且与抛物线交于 A、B 两点,若线段 AB 的长是 6, AB 的中点到 x 轴的距离是 1,则此抛物线方程是 A.x =12y
2

B.x =8y

2

C. x =6y

2

2) , B(?1, ? 2) , C (31) , ,且 BC 4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,
坐标为 A. ? 2, ? 5.函数 f ( x ) ? ? A.3

??? ?

???? ? 2 AD ,则顶点 D 的

D.x =4y

2

? ?

7? 2?

B. ? 2, ?
? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ? 2 ? ln x , x ? 0

? ?

1? ? 2?

2) C. (3,

, 3) D. (1

的零点个数为 D.0

B.2

C .1

6.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ< 示,则当 t= A.-5 安

? )的图象如图所 2

1 秒时,电流强度是 100
B.5 安 C.5 3 安 D.-10 安

6 题图

7.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为 A. -4 B. 1 4 C. 4 D. - 1 4

1 8.已知点 F1(- 2,0),F2( 2,0),动点 P 满足|PF2|-|PF1|=2,当点 P 的纵坐标是 时, 2

点 P 到坐标原点的距离是 A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 6 2

9.若直线 2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,则 A. 2 ? 2 B. 2 ? 1 C. 3 ? 2 2

2 1 ? 的最小值是 a b

D. 3 ? 2 2

10.设 F1、F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线的右支上存在 a 2 b2

一点 P,使 PF1 ? PF2 ? 0, 且 ?F1 PF 2 的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D.5

11.如图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针 方向滚动, M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么, 当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M , N 在大圆内所绘出的 图形大致是
11 题图

12.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时,不等式 2 f ?x ? ? 2 x ? f ??x ? ? 0成立, 若a ? 3 关系为 A. a>c>b B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a
0.2

1 1 f 3 0.2 , b ? (log? 2) f ?log? 2?, c ? (log2 ) f (log2 ), 则 a , b , c 之间的大小 4 4

? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

? x ? y ? 1 ≤ 0, y ? 13.若实数 x,y 满足 ? x ? 0, 则 的取值范围是 x ?y ≤ 2 ?
14.设函数 f(x)=log3(9x)· log3(3x),

.

1 ≤x≤9,则 f(x)的最小值为 9

. .

15.动点 A 在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 16.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连 接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,…,

如此继续,若共得到 1023 个正方形,设初始正方形的边长为

2 ,则最小正方形的边长为 2
17. (本小题满分 12 分)

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3. ? 2 5

(1)求△ABC 的面积; (2)若 c ? 1 ,求 a 的值. 18. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}的各项均为正数, a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+S . S1 S2 n 19. (本小题满分 12 分) 已知过抛物线 y ? ? ? px( p ? ?) 的焦点,斜率为 ? ? 的直线交抛物线于 A( x? , y? ) ,

B( x? , y? )( x? ? x? ) 两点,且 AB ? 18.
(1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB, 求 ? 的值. 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . (1)写出 C 的方程;

(2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是 多少? 21. (本小题满分 12 分)

??? ?

??? ?

??? ?

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 (1)若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图 2
设函数 f ( x) ? 象上,求 m 的值; (2)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (3)在(1)的条件下,设 G ( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 2

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在, 求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 △ ABC 中, AB ? AC ,D 是 △ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E. (1)求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2)若 ?BAC ? 30° , △ ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 , 求 △ ABC 外接圆的面积. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 B

A D E

C

在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐 标方程为 ? cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 1 ,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. 3?

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ≥ 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ≥ 2 ,求 a 的取值范围.

银川一中 2016 届高三年级第四次月考数学(文)答案
一.选择题: 1.A 2.D 3.B 4.A 5.B 6. A 7. C 8. D 9.C 10.D 11.A 12.D. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 1 13. ? 2,∞ ; 14. - ; 15. (2x-3)2+4y2=1; 16. 错误!未找到引用源。 ? ? 32 4 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

3 A 2 5 2 A ?1 ? , ,所以 cos A ? 2 cos ? 2 5 2 2 ??? ? ??? ? 4 sin A ? .又由 AB · AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3 ,所以 bc ? 5 . 5 1 因此 S△ ABC ? bc sin A ? 2 . 2 (2)解:由(1)知 bc ? 5 .又 c ? 1 ,所以 b ? 5 . 2 2 2 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 20 ,所以 a ? 2 5 .………………12 分
17. (1)解:因为 cos 18. 解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn 1.


?d ? ? 6 , ? 5 ?d ? 2 ? ? S2 b2 ? (6 ? d )q ? 64, ? 依题意有 ? 解得 或 ( 舍去 ) ? ? 2 q ? 8 S b ? (9 ? 3 d ) q ? 960, 40 ? ? ? 3 3 ?q ? . ? ? 3


故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1. (2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),……………………………………………………8分 1 1 1 1 1 1 1 所以 + +…+ = + + +…+ Sn 1× S1 S2 3 2× 4 3× 5 n(n+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +…+n- )= (1+ - - ) 2 3 2 4 3 5 2 n+1 n+2 n +2 2 2n+3 3 = - .………………………………………………………………………12分 4 2(n+1)(n+2)

p ) ,与 y 2 ? 2 px 联立, 2 5p 2 2 从而有 4 x ? 5 px ? p ? 0, 所以 x1 ? x2 ? 4 由抛物线定义得 AB ? x1 ? x2 ? p ? 18, ? p ? 8.
19.解: (1)直线 AB 的方程是 y ? 2 2( x ? 从而抛物线方程为 y ? 16x …
2
2 2 (2)由 p ? 8 ,可得 x ? 10 x ? 16 ? 0 ,从而 x1 ? 2, x2 ? 8, 代入 y ? 16x 得

y1 ? ?4 2 , y2 ? 8 2 , 从而 A(2,?4 2 ), B(8,8 2 ) 分
设 OC ? ( x 3 , y 3 ) ? OA ? ? OB ? ( 2,?4 2 ) ? ? (8,8 2 ) ? (8? ? 2,8 2? ? 4 2 ) ,
2 ? 16x 3 即 (2? ?1) ? 4? ? 1 .… 又 y3

2

解得 ? ? 0, 或? ? 2. ………………… 20.(1)设 P(x,y) ,由椭圆定义,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半轴为
2 2 2 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 2 ? ( 3) ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x ?

y2 ? 1 …. 4

4分

? 2 y2 ? 1, ?x ? (2)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ? 2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 消去 y 整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? ? 2 ….. 6 分 k ?4 k ?4 ??? ? ??? ? OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? . k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 ??? ? ??? ? 1 所以 k ? ? 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17 ???? ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 而 ( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4 x1 x2 ? 所以 AB ?

42 4 ? 3 43 ?13 ? 4 ? ? , 172 17 172

4 65 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 17 21.(1)令 ln( x - 1) = 0 ,则 x = 2 , 3 \ P (2,0) 关于 x = 的对称点为(1,0) , 2 1 m + (4 + m) = 0, \ m = - 3 . 由题知 f (1) = 0, \ 3 2 (2) F ( x) = mx + 2(4 + m) x + 8ln x ,定义域为 (0, + ?∞) , 8 F (( xx )) = 2mx + (8 + 2m) + F' ? x 2 2mx + (8 + 2m) x + 8 = x (2mx + 8)( x + 1) . = x Q ∵x > 0, 则 x + 1 > 0 , ( ∴当 m ? 0 时, 2mx + 8 > 0, F 此时 F ( x ) 在 ?0,? ?? 上单调递增, F'? (x x))>0, > 0, 4 ? F '( ? 0得0 < x < F ( xx ))> , 当 m < 0 时,由 m
4 m 4? ? 此时 F ( x ) 在 ? 0,? ? 上为增函数, m? ?

???? ?

由 F ' ( x) ? 0 得 x ? ?

在??
?

?

综上当 m ? 0 时, F ( x ) 在 ?0,? ?? 上为增函数,

4 ? ,? ?? 为减函数, m ?

m < 0 时,在 ? 0,?
?

?

4? ? 4 ? ? 上为增函数,在 ? ? ,? ?? 为减函数. m? ? m ?

(3)由条件(1)知 G( x ) ? ?

?? x 3 ? x 2 , x ? 2 ?a ln( x ? 1), x ? 2

.

假设曲线 y = G ( x ) 上存在两点 P 、 Q 满足题意,则 P 、 Q 两点只能在 y 轴两侧,
3 2 设 P(t , G (t ))(t > 0), 则 Q (- t , t + t ),

∵△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, ∴ 即 OP ?? OQ ? 0, \ OP OQ 0, \ - t 2 + G(t )(t 3 + t 2 ) = 0 .① (1)当 0 ? t ? 2 时, 此时方程①为 - t 2 + (- t 3 + t 2 )(t 3 + t 2 ) = 0, 化简得 t - t + 1 = 0 . 此方程无解,满足条件的 P 、 Q 两点不存在. (2)当 t > 2 时, G (t ) = a ln(t - 1) ,方程①为 - t 2 + a ln(t - 1)(t 3 + t 2 ) = 0, 即
4 2

uur uuu r

\ G (t ) = - t 3 + t 2 ,

1 = (t + 1)ln(t - 1), a
t+ 1 , t- 1

(tt) )? = ln(t - 1) + 设 h(t ) = (t + 1)ln(t - 1)(t > 1), 则 h'?
显然当 t > 2 时 h' ( t ) ? 0 即 h( t ) 在(2,+∞)为增函数,

∴ \ h(t ) 的值域为 ( h( 2),? ?) 即(0,+∞) ∴当 a > 0 时方程①总有解. 综上若存在 P 、 Q 两点满足题意,则 a 的取值范围是(0,+∞). A 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, A 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. 解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点, D E ? A,B,C,D 四点共圆,??CDF ? ?ABC . O D E O ??ABC ? ?ACB , 又 AB ? AC, F H ??ADB ? ?CDF . 且 ?ADB ? ?ACB, F B H C 对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF .即 AD 的 B C 延长线平分 ?CDE . ( 2 )设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH ⊥ BC .连接 OC .由题意 ?OAC ? ?OCA ? 15° ,?ACB ? 75° , ??OCH ? 60° .

3 r ? 2 ? 3 ,得 r ? 2 ,外接圆面积为 4 π . 2 ?1 ? 3 π? ? sin ? 23. 解: (1)由 ? cos ? ? ? ? ? 1 得 ? ? cos ? ? ? ?2 ? ? 1. 2 3? ? ? ?
设圆半径为 r ,则 r ? 从而 C 的直角坐标方程为

1 3 x? y ? 1 ,即 x ? 3 y ? 2 . 2 2
?2 3 π? 2 3 π 时, ? ? ,所以 N ? ?. ? 3 , 2? 3 2 ? ? ? ? ? 2 3? ?. 3 ? ?

? ? 0 时, ? ? 2 ,所以 M (2, 0) . ? ?

(2) M 点的直角坐标为(2,0) , N 点的直角坐标为 ? 0, 所以 P 点的直角坐标为 ? 1, ? ,则 P 点的极坐标为 ? ? ? ?

? ?

3? 3 ?

?2 3 π? ,? ?. ? 3 6?

π ,? ? (??, ? ?) . 6 24. 解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| .由 f ( x) ≥ 3 ,得 | x ? 1| ? | x ? 1|≥ 3 , (ⅰ) x ≤ ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ≥ 3 ,即 ?2 x ≥ 3 . ? x ≤ ?1 3 ? ]. 不等式组 ? 的解集为 (??, 2 ? f ( x) ≥ 3 (ⅱ)当 ?1 ? x ≤ 1时,不等式化为 1 ? x ? x ? 1≥ 3 ,不可能成立. ??1 ? x ≤1 不等式组 ? 的解集为 ? . f ( x ) ≥ 3 ? (ⅲ)当 x ? 1 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 1≥ 3 ,即 2 x ≥ 3 . ?x ? 1 3 ? ?) . 不等式组 ? 的解集为 [ , 2 ? f ( x) ≥ 3 3 3 ? ]?[ , ? ?) . 综上得, f ( x) ≥ 3 的解集为 ( ??, 2 2 ,f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件. (2)若 a ? 1
所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ?

??2 x ? a ? 1,x ≤ a, ? a ? x ? 1,f ( x) 的最小值为 1 ? a . 若 a ? 1,f ( x ) ? ?1 ? a, ?2 x ? (a ? 1),x ≥ 1. ?
??2 x ? a ? 1,x ≤ 1, ? 1 ? x ? a,f ( x) 的最小值为 a ? 1 . 若 a ? 1,f ( x) ? ?a ? 1, ?2 x ? (a ? 1),x ≥ a. ?
所 以 ?x ? R,f ( x) ≥ 2 的 充 要 条 件 是 | a ? 1|≥ 2 , 从 而 a 的 取 值 范 围 为 (??, ? 1] ? [3, ? ?) .

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