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1.5可化为一元一次方程的分式方程


本课内容 本节内容 1.5 可化为一元一次方程的 分式方程 动脑筋 某校八年级学生乘车前往某景点秋游,现有 两条线路可供选择:线路一全程25km,线路二全 程30km;若走线路二平均车速是走线路一的1.5 倍,所花时间比走线路一少用10min,则走线路 一、二的平均车速分别为多少? 设走线路一的平均车速为x km/h,则走线路二 的平均车速为1.5x km/h. 又走线路二比走线路一少用10 min,即 1 走线路一的时间 - 走线路二的时间 = 6 h. 因此,根据这一等量关系,我们可以得到如下方程: 25 - 30 = 1 . x 1.5 x 6 25 - 30 = 1 . x 1.5 x 6 像这样,分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 议一议 30 = 1 的分母中含有 分式方程 25 x 1.5 x 6 未知数,我们该如何来求解呢? 25 - 30 = 1 x 1.5 x 6 联想到我们在七年级已经学过一元一次方程的 解法,因此我们应通过“去分母”,将分式方程转 化为一元一次方程来求解. 方程两边同乘6x,得 25×6-30×4 = x . 解得 x = 30. 经检验,x=30 是所列方程的解. 由此可知,走线路一的平均车速为30km/h, 走线路二的平均车速为45km/h. 从上面可以看出,解分式方程的关键是把含 未知数的分母去掉,这可以通过在方程的两边同 乘各个分式的最简公分母而达到. -3 =0 例1 解方程 : x5 x -2 解 方程两边同乘最简公分母x(x-2), 得 5x - 3( x- 2 )= 0 . 解得 左边 = x = -3. 检验:把x=-3代入原方程,得 5 - 3 =0 = 右边 -3 - 2 - 3 因此x=-3是原方程的解. 分式方程的解也叫作分式方程的根. 1 = 4 . 例2 解方程 :x - 2 x2 - 4 解 方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2), 得 解得 x+2=4. x=2. 检验:把x=2代入原方程,方程两边的分式的 分母都为0,这样的分式没有意义. 因此,x=2不是原分式方程的根,从而原 分式方程无解. 1 = 4 . 例2 解方程:x - 2 x2 - 4 从例2看到,方程左边的分式的分母x-2是最 简公分母(x+2)(x-2)的一个因式. 这启发我们,在检验时只要把所求出的未知 数的值代入最简公分母中,如果它使最简公分母 的值不等于0,那么它是原分式方程的一个根; 如果它使最简公分母的值为0,那么它不是 原分式方程的根,称它是原方程的增根. 解分式方程有可能产生增根,因此解 分式方程必须检验. 说一说 解可化为一元一次方程的分式方程的基 本步骤有哪些? 可化为一元一次方程的分式方程 方程两边同乘各个分式的最简公分母 一元一次方程 求解 一元一次方程的解 检验 把一元一次方程的解代入最简公分母中, 若它的值不等于0,则这个解是原分式方程的 根;若它的值等于0,则原分式方程无解. 练习 1. 解下列方程: ( 1) ( 2) ( 3) 5 - 1 =0 ; 2x x - 3 x + 2 =3; 2 x -1 1- 2 x 1 + x =1 ; x -1 1- x 答案:x = 5 答案: x=1 5 答案:无解 答案: x = -3 2 ( 4) 3 = 1 . x2 - x x2 -1 2. 解下列方程: ( 1) 2 - 4 =0 ; x - 2 x2 -4 答案:x

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