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山东省莱芜市2018届高三上学期期中考试数学理试题 含解析 精品


高三期中质量检测理科数学试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】 = ) ,选 C. B. ,集合 C. ,则 D. ( )

2. 下列命题中的假命题是( A. C. , , B. D.



【答案】D 【解析】 D. 3. 下列函数中,既是奇函数又是区间 A. 【答案】B 【解析】 又是区间 4. 数列 A. 【答案】A 【解析】 5. 已知向量, 的夹角为 A. B. C. ,且 D. , ,则 ( ) ,选 A. 不是奇函数; 上的增函数; 既是奇函数又是区间 不是奇函数,所以选 B. ,则 ( ) 上的减函数; 是奇函数 B. C. D. 上的减函数的是( ) , ; ; , ; , ,所以 D 为假命题,选

为等差数列, 是其前 项的和,若 B. C. D.

【答案】D 【解析】因为 ,所以

,选 D. 6. 要得到函数 A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位 【答案】A 【解析】 7. A. ,所以向左平移 个单位,选 A. ,则 ( ) 的图象,只需将函数 B. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位 的图象( )

的内角 、 、 的对边分别为、 、 ,若、 、成等比数列,且 B. C. D.

【答案】B 【解析】由、 、成等比数列,得 ,所以 ,选 B.

8. 函数

的大致图象是(



A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】由 得 ,舍去 A; 当 时 ,舍去 B; 当 时 ,舍去 D;选 C.

点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧: (1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由 函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的 周期性,判断图象的循环往复.(2)由实际情景探究函数图象.关键是将问题转化为熟悉的

数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题. 9. 我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法前两步分 为: 第一步:构造数列 , , , ,?, .① 第二步:将数列①的各项乘以 ,得数列(记为) , , ,?, . 则 A. 【答案】B 【解析】因为 ,所以 ,选 B. 点睛: 裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式, 然后通过累加抵消中间 若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列,c B. ( C. ) D.

为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一 项的裂项求和,如 10. 函数 A. 1 B. 2 C. 3 或 . )

零点的个数为( D. 4

【答案】C 【解析】当 当 时, 时, 与 有两个交点,因此一共有三个零点,选 C. 中, ,边 的取值范围是( D. , ) ,若 、 分别是边 、 上的点,

11. 在平行四边形 且满足 A. 【答案】D 【解析】设 B. ,则

C.

,选 D. 点睛:平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式 ;三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进 行化简. 12. 函数 是定义在 上的奇函数,且 为偶函数,当 ) 时, ,若函数 ;二是坐标公式

有三个零点,则实数 的取值范围是( A. C. 【答案】C 【解析】因为 为偶函数, 为奇函数,所以 B. D.

,即周期为 4

点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 【答案】 【解析】 的值为__________.

14. 计算: 【答案】 【解析】

__________.

点睛: 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分, 从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”, 看函数名称之间的差异, 从而确定使用的公式, 常见的有“切化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通 分”等 15. 已知曲线 : 的值为__________. 【答案】 【解析】设交点为 ,则切线斜率为 与曲线 : ,若两条曲线在交点处有相同的切线,则实数

16. 若对任意的

,均有

成立,则称函数 , ,

为函数

和函数 , 且 是

在区间 和 在

上的“中间函数”.已知函数 区间

上的“中间函数”,则实数 的取值范围是__________.

【答案】 【解析】 在区间 上恒成立,所以

点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单 调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量, 构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 已知函数 (1)求函数 (2)求 在 . 的最小正周期和单调递增区间; 上的最小值. , .(2) .

【答案】(1)最小正周期为 ;单调递增区间为

【解析】试题分析: (1)先利用二倍角公式降幂,再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将 函数化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求周期与单调区间(2)根据自变量范围确 定正弦函数取值范围,再根据正弦函数图像确定最小值 试题解析: (1) , 所以函数 由 得 所以函数 (2)因为 所以 所以 在 , 的最小正周期为 . , , , , , . , , ,为常数. . ,

的单调递增区间为 ,所以 ,所以 上的最小值为 中,已知

18. 在数列

(1)证明: , , 成等差数列; (2)设 ,求数列 的前 项和 .

【答案】(1)证明见解析;(2)

. 成立即可(2)先构造 ,由等比数列定义得数列 的前 项和 .

【解析】试题分析: (1)根据递推关系求 , ,再验证 等差数列 ,再根据等差数列通项公式得

为等比数列,最后根据等比数列求和公式求数列 试题解析: (1)因为 所以 同理, 又因为 所以 , , , , , , , ,

故 , , 成等差数列. (2)由 令 所以 所以 即 所以 , , , 当 当 , , , . ,则 ,得 , , ,

是以 为首项,公差为的等差数列, , ,两式相加,得: ,

19. 已知 (1)若 (2)求

的内角 、 、 的对边分别为、 、 , ,求 的值;

.

的取值范围. .

【答案】(1) ;(2)

试题解析: (1)由余弦定理及题设可知: 由正弦定理 (2)由题意可知 ,得 . .

,得



. 因为 所以 ,所以 的取值范围是 . (, 的图象在点 ). ,求 在区间 上的最大值 ,故 ,

20. 已知函数 (1)若 和最小值; (2)若 在区间

处的切线方程为

上不是单调函数,求的取值范围. . ,求导函数解得 ;再根据 ,

【答案】(1)最大值为 8,最小值为 ;(2) 【解析】试题分析: (1)由导数几何意义得 得

.再根据导函数求得零点, 列表可得导函数符号, 确定函数单调性, 最后得到最值 ( 2) 上存在零点,所以 的两根满足 或 ,

由题意得导函数在 解得的取值范围. 试题解析: (1)∵ ∵点 又 ∴ ∴ 在 ,∴ ,解得 ,



上,∴

, ,

的图象上,∴ , , . ,

由 ∵ ∴

可知 , 在区间

和 ,



的极值点. , , . 在 上存在零点.

上的最大值为 8,最小值为 在区间 ,

(2)因为函数 而 若 ,

上不是单调函数,所以函数 ,

的两根为 都在

上,则 上,则 . 中, .

解集为空集,这种情况不存在; 或 ,

若有一个根在区间 ∴ 21. 在等差数列 , (1)求数列 和

,其前 项和为 ,等比数列

的各项均为正数,

,且

的通项公式;

(2)令

,设数列

的前 项和为 ,求



)的最大值与最小值.

【答案】(1)



;(2)

的最大值是 ,最小值是

. , ,再根据等差

【解析】试题分析: (1)由条件列关于公差与公比的方程组,解得 与等比数列通项公式求通项公式(2)化简可得 ,结合函数 单调性,可确定其最值 的公差为 ,等比数列

,再根据等比数列求和公式得

试题解析: (1)设等差数列

的公比为 ,则

解得 所以

, ,

, . ,故 , ; ,

(2)由(1)得 当 为奇数时, 当 为偶数时, 令 , ,则

, 随 的增大而减小,所以 , 随 的增大而增大,所以 ,故 在 时是增函数.

故当 为奇数时, 当 为偶数时, 综上所述, 22. 已知函数 (1)若函数 (3)设函数 围. 【答案】(1) ;(2) .

; , 的最大值是 ,最小值是 . .

在其定义域内为增函数,求实数的取值范围; ,若在 上至少存在一点 ,使得 成立,求实数的取值范

【解析】试题分析: (1)由题意得导函数在其定义域内恒非负,再根据二次方程恒成立条件 得实数的取值范围; (2)将不等式有解问题,利用参变分离法转化为对应函数最值问题,再 利用导数求对应函数最值,即得实数的取值范围. 试题解析: (1) 因为函数 所以 当 当 ∴ 在其定义域内为增函数, , 恒成立, , ,

时,显然不成立; 时, . , 上至少存在一点 ,使得 , , , ,则 ,不符合条件; , ,即 . ,要满足 , 时恒成立,则 ,

(2)设函数 则原问题转化为在 ① ∵ 时, ,∴



时,





,可知







单调递增, .

,整理得

.

综上所述,

点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一 端是含有参数的不等式, 另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数 后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.

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