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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案:第三章 3.4 曲线与方程


§4

曲线与方程

4.1 曲线与方程

[对应学生用书P60]

在平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中. 问题 1:直线 y=x 上任一点 M 到两坐标轴距离相等吗? 提示:相等. 问题 2:到两坐标轴距离相等的点都在直线 y=x 上吗? 提示:不一定. 问题 3:到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么? 提示:y=±x.
方程的曲线、曲线的方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一 个二元方程的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么,这条曲线叫作方程的曲线,这个方 程叫作曲线的方程.
判断方程是否是曲线的方程,要从两方面考虑,一是检验点的坐标是否都适合方程,二 是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.

[对应学生用书P61]
曲线与方程的概念的理解 [例 1] (1)判断点 A(-4,3),B(-3 2,-4),C( 5,2 5)是否在方程 x2+y2=25(x≤0) 所表示的曲线上;

(2)方程 x2(x2-1)=y2(y2-1)所表示的曲线是 C,若点 M(m, 2)与点 N?? 23,n??在曲线 C
上,求 m,n 的值. [思路点拨] 由曲线与方程的关系知,只要点 M 的坐标适合曲线的方程,则点 M 就在

方程所表示的曲线上;而若点 M 为曲线上的点,则点 M 的坐标(x0,y0)一定适合曲线的方程.

[精解详析] (1)把点 A(-4,3)的坐标代入方程 x2+y2=25 中,满足方程,且点 A 的横坐 标满足 x≤0,则点 A 在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上;
把点 B(-3 2,-4)的坐标代入 x2+y2=25,因为(-3 2)2+(-4)2=34≠25,所以点 B 不在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上.
把点 C( 5,2 5)的坐标代入 x2+y2=25,得( 5)2+(2 5)2=25,满足方程,但因为横 坐标 5不满足 x≤0 的条件,所以点 C 不在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上.

(2)因为点 M(m, 2),N?? 23,n??在曲线 C 上,所以它们的坐标都是方程的解,所以 m2(m2

-1)=2×1,34×??-14??=n2(n2-1),解得 m=±

2,n=±12或±

3 2.

[一点通]

1.判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手.

(1)要判断点是否在方程表示的曲线上,只需检验点的坐标是否满足方程即可;

(2)若所给点在已知曲线上,则点的坐标适合已知曲线的方程,由此可求点或方程中的

参数.

2.判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否都适合方

程,二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.

1.“点 M 在曲线 y2=4x 上”是“点 M 的坐标满足方程 y=-2 x”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:点 M 在曲线 y2=4x 上,若点 M(x0,y0),则 y20=4x0,不能得出 y0=-2 x0;若

点 M(x0,y0)满足方程 y=-2 x,则 y0=-2 x0,∴y20=4x0,故为必要不充分条件. 答案:B 2.判断下列结论的正误,并说明理由. (1)过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线的方程为 x=0;

(2)到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=-2; (3)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1; (4)△ABC 的顶点 A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D 为 BC 中点,则中线 AD 的方程为 x =0. 解:(1)过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线方程为 x=3,

∴结论不正确.

(2)∵到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程是 y=±2,

∴结论错误.

(3)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程应为|x|·|y|=1,即 xy=±1,∴结论错

误.

(4)中线 AD 是一条线段,而不是直线,应为 x=0(-3≤y≤0),

∴结论错误. 由方程确定曲线
[例 2] (1)方程(x+y-1) x-1=0 表示什么曲线? (2)方程 2x2+y2-4x+2y+3=0 表示什么曲线? [思路点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点,类似于用函数的解析式研究函数的图像,

可由方程的特点入手分析.

[精解详析] (1)由方程(x+y-1) x-1=0 可得:

??x-1≥0,
?
??x+y-1=0,

或 x-1=0,

即 x+y-1=0(x≥1)或 x=1,

∴方程表示直线 x=1 和射线 x+y-1=0(x≥1), (2)方程的左边配方得 2(x-1)2+(y+1)2=0, 而 2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,

∴?????2?y?+x-11?2?=2=0,0,

∴???x=1, ??y=-1,

∴方程表示的图形为点 A(1,-1).

[一点通]

曲线的方程是曲线的代数体现,判断方程表示什么曲线,可根据方程的特点利用配方、

因式分解等方法对已知方程变形,转化为我们熟知的曲线方程,在变形时,应保证变形过程

的等价性. 3.方程|x|+|y|=1 表示的曲线是( )

解析:原方程可化为

??x≥0,y≥0, ??x≥0,y≤0,

?

或?



??x+y=1,

??x-y=1,

??x≤0,y≤0, ??x≤0,y≥0,

?

或?

??x+y=-1, ??-x+y=1.

作出其曲线为 D.
答案:D 4.方程 4x2-y2+4x+2y=0 表示的曲线是( ) A.一个点 B.两条互相平行的直线 C.两条互相垂直的直线 D.两条相交但不垂直的直线 解析:∵4x2-y2+4x+2y=0,
∴(2x+1)2-(y-1)2=0,

∴2x+1=±(y-1),

∴2x+y=0 或 2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直.

答案:D

5.方程 1-|x|= 1-y表示的曲线为( )

A.两条线段

B.两条直线

C.两条射线

D.一条射线和一条线段

解析:由已知得 1-|x|=1-y,1-y≥0,1-|x|≥0.

∴有 y=|x|,|x|≤1.

∴曲线表示两条线段,故选 A. 答案:A

求曲线的方程

[例 3] 如图已知 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,
过点 P 作 l 的垂线,垂足为 Q,且 QP ·QF = FP ·FQ ,求动点 P
的轨迹方程.
[思路点拨] 本题可设出 P(x,y),则 Q(-1,y).然后由 QP ·QF = FP ·FQ 得出 P(x,
y)满足的关系式,整理后即可得 P 的轨迹方程.
[精解详析] 设点 P(x,y),则 Q(-1,y), QP =(x+1,0), QF =(2,-y), FP =(x -1,y), FQ =(-2,y),
由 QP ·QF = FP ·FQ ,
∴(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y), ∴2x+2=-2x+2+y2,即动点 P 的轨迹方程为 y2=4x. [一点通] 1.求曲线方程的基本思路是:建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法).在解 题时,根据题意,正确列出方程是关键,还要注意最后一步,如果有不符合题意的特殊点要 加以说明.一般情况下,求出曲线方程后的证明可以省去. 2.直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法.

6.已知定点 A(-1,0),B(1,0),动点 P 满足直线 PA,PB 的斜率之积为-1,则动点 P 满足的方程是( )
A.x2+y2=1 B.x2+y2=1(x≠±1) C.x2+y2=1(x≠0) D.y= 1-x2(x≠±1) 解析:设动点 P 的坐标为(x,y),则 kPA=x+y 1(x≠-1),
kPB=x-y 1(x≠1).

∵kPA·kPB=-1,



y

y ·

=-1,整理得 x2+y2=1(x≠±1).

x+1 x-1

答案:B 7.已知△ABC 的两个顶点 A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C 在曲线 y=3x2-1 上移 动,求△ABC 的重心 G 的轨迹方程. 解:设△ABC 的重心 G(x,y),C(x0,y0),

?? x0-2 x= 3 ,
则? ?? y0-2
y= 3 ,

??x0=3x+2, 即?
??y0=3y+2.

∵点 C 在 y=3x2-1 上, ∴y0=3x20-1,即 3y+2=3(3x+2)2-1. 整理得 y=9x2+12x+3. ∴△ABC 的重心 G 的轨迹方程为 y=9x2+12x+3. 8.等腰三角形 ABC 中,若一腰的两个端点分别为 A(4,2),B(-2,0),A 为顶点,求另 一腰的一个端点 C 的轨迹方程. 解:设点 C 的坐标为(x,y),

∵△ABC 为等腰三角形,且 A 为顶点,

∴|AB|=|AC|

又∵|AB|= ?4+2?2+22=2 10,

∴|AC|= ?x-4?2+?y-2?2=2 10, ∴(x-4)2+(y-2)2=40.

又∵点 C 不能与 B 重合,也不能使 A、B、C 三点共线, ∴x≠-2 且 x≠10,

∴点 C 的轨迹方程为 (x-4)2+(y-2)2=40(x≠-2 且 x≠10).

1.理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意: (1)曲线上点的坐标都是方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 2.求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系,要遵循垂直性和对称 性的原则,即借助图形中互相垂直的直线建系,借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的 点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁.

[对应课时跟踪训练?二十?]

1.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A.y2=x 与 y= x B.y=lg x2 与 y=2lg x C.yx+-12=1 与 lg(y+1)=lg(x-2) D.x2+y2=1 与|y|= 1-x2 解析:考察每一组曲线方程中 x 和 y 的取值范围,不难发现 A,B,C 中各对曲线的 x

与 y 的取值范围不一致.

答案:D

2.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 满足的方程的曲

线所围成的图形的面积为( )

A.π

B.4π

C.8π

D.9π

解析:设 P 为(x,y),由|PA|=2|PB|,得 ?x+2?2+y2=2 ?x-1?2+y2,

即(x-2)2+y2=4,∴点 P 满足的方程的曲线是以 2 为半径的圆,其面积为 4π.

答案:B 3.方程 x2+xy=x 的曲线是( ) A.一个点 C.一条直线 解析:x2+xy=x,即 x2+xy-x=0,

B.一个点和一条直线 D.两条直线

∴x(x+y-1)=0,∴x=0 或 x+y-1=0.

故方程表示两条直线.

答案:D

4.已知点 A(0,-1),点 B 是抛物线 y=2x2+1 上的一动点,则线段 AB 的中点 M 满足

的方程为( )

A.y=2x2

B.y=4x2

C.y=6x2

D.y=8x2

解析:设 B(x0,y0),M(x,y).

∵M 是 AB 的中点,

x0+0

y0-1

∴x= 2 ,y= 2 ,得 x0=2x,y0=2y+1.

又∵B(x0,y0)在抛物线 y=2x2+1 上,∴y0=2x20+1,

即 2y+1=2(2x)2+1,因此 y=4x2,故 M 满足的方程为 y=4x2.

答案:B 5.在△ABC 中,已知 A(2,0),B(-1,2),点 C 在直线 2x+y-3=0 上移动.则△ABC 的重心 G 满足的方程为________. 解析:设△ABC 的重心 G 的坐标为(x,y),点 C 的坐标为(x0,y0),则

?? 2+?-1?+x0

x=

3



?

?? 0+2+y0 y= 3 ,

??x0=3x-1, ∴? ??y0=3y-2,

∵ 点 C 在直线 2x+y-3=0 上,故有 6x+3y-7=0,

又∵重心 G 不在 AB 上,故 x≠34,y≠56,

∴重心 G 满足的方程为 6x+3y-7=0(x≠34).

答案:6x+3y-7=0(x≠34)

6.方程4-x2 k+k-y21=1 表示的曲线为 C,给出下列四个命题:

①曲线 C 不可能是圆;

②若 1<k<4,则曲线 C 为椭圆;

③若曲线 C 为双曲线,则 k<1 或 k>4;

④若曲线

C

表示焦点在

x

轴上的椭圆,则

5 1<k<2.

其中正确的命题是________.

解析:当 4-k=k-1,即 k=52时表示圆,命题①不正确;显然 k=52∈(1,4),∴命题②不 正确;若曲线 C 为双曲线,则有(4-k)(k-1)<0,即 k<1 或 k>4,故命题③正确;若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-k>k-1>0,解得 1<k<52,命题④正确.
答案:③④ 7.已知直角三角形 ABC,∠C 为直角,A(-1,0),B(1,0),求满足条件的点 C 的轨迹方 程.
解:设 C(x,y),则 AC =(x+1,y), BC =(x-1,y).
∵∠C 为直角,
∴ AC ⊥ BC ,即 AC ·BC =0,
即(x+1)(x-1)+y2=0.化简得 x2+y2=1. ∵A,B,C 三点要构成三角形, ∴A,B,C 不共线,∴y≠0, ∴C 的轨迹方程为 x2+y2=1(y≠0).
8.设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 MN =2 MP , PM ⊥ PF .当点 P
在 y 轴上运动时, 求 N 点的轨迹 C 的方程.
解:∵ MN =2 MP ,故 P 为 MN 中点.
又∵ PM ⊥ PF ,P 在 y 轴上,F 为(1,0).
故 M 在 x 轴的负方向上,设 N(x,y)(x>0), 则 M(-x,0),P(0,2y),
∴ PM =(-x,-2y), PF =(1,-2y). 又∵ PM ⊥ PF ,故 PM ·PF =0,
即-x+y42=0,∴y2=4x(x>0). 即 N 点的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x>0).

4.2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点

圆锥曲线的共同特征

[对应学生用书P63]

圆锥曲线上点 M(x,y)到定点 F(c,0)的距离和它到定直线 x=ac2的距离比是常数 e. 问题 1:若 F(4,0),l:x=245,e=45,则点 M 的轨迹方程是什么?轨迹呢? 提示:2x52 +y92=1,椭圆.
问题 2:若 F(5,0),l:x=156,e=54,则点 M 的轨迹方程是什么?轨迹呢? 提示:1x62 -y92=1,双曲线.

圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e. 当 0<e<1 时,圆锥曲线是椭圆; 当 e>1 时,圆锥曲线是双曲线; 当 e=1 时,圆锥曲线是抛物线.
直线与圆锥曲线的交点

问题 1:若直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切.正确吗? 提示:正确. 问题 2:若直线与抛物线有一个公共点,则直线与抛物线一定相切吗? 提示:不一定.当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一个交点. 问题 3:过(2,0)点能作几条直线和双曲线x42-y32=1 仅有一个交点? 提示:3 条.

曲线的交点 设曲线 C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0,曲线 C1 和 C2 的任意一个交点的坐标都满足方 程组???f?x,y?=0, 反过来,该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的 ??g?x,y?=0. 坐标.
1.椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数 e.
2.直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的 基本方法.
[对应学生用书P63]
圆锥曲线共同特征的应用 [例 1] 曲线上的点 M(x,y)到定点 F(5,0)的距离和它到直线 l:x=156的距离之比是常数 54,(1)求此曲线方程;(2)在曲线求一点 P 使|PF|=5. [思路点拨] (1)可由|MF|与 d(d 为 M 到 l:x=156的距离)比为54,列出 M(x,y)满足的关 系,进而求出曲线的方程. (2)由|PF|=5,可得 P 到 l 的距离为 4,从而可求得 P 的坐标. [精解详析] (1)设 d 是点 M 到定直线 l 的距离,根据题意,曲线上的点 M 满足|MdF|=54,
由此得 ???x1-56-5?2x+?? y2=54, 即 ?x-5?2+y2=54??156-x??,
两边平方整理得1x62 -y92=1. (2)设 P(x,y)到 l 的距离为 d,由|PF|=5,得 d=4.
即??156-x??=4,解得 x=356或 x=-45.
由于|x|≥4,故 x=-45不合题意,舍去.

由 x=356得 y=±65 14.
∴点 P 的坐标为??356,±6 514??.
[一点通] 圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联
系,这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立,这种关系的应用可以实现点到点的距离向点
到直线的距离的转化,从而使运算得以简化.
1.抛物线 y2=2px(p>0)上有 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点, F 是它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )
A.x1,x2,x3 成等差数列 B.y1,y2,y3 成等差数列 C.x1,x3,x2 成等差数列 D.y1,y3,y2 成等差数列 解析:由抛物线定义: |AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|CF|=|CC′|. ∵2|BF|=|AF|+|CF|,∴2|BB′|=|AA′|+|CC′|. 又∵|AA′|=x1+p2,|BB′|=x2+p2,|CC′|=x3+p2,
∴2??x2+p2??=x1+p2+x3+p2?2x2=x1+x3.
答案:A 2.已知点 A(1,2)在椭圆1x62 +1y22 =1 内,F 的坐标为(2,0),在椭圆上求一点 P 使|PA|+2|PF| 最小. 解:∵a2=16,b2=12,∴c2=4,c=2. ∴F 为椭圆的右焦点,并且离心率为24=12. 设 P 到右准线 l 的距离为 d,则|PF|=12d,d=2|PF|. ∴|PA|+2|PF|=|PA|+D.
当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的纵坐标相同时,|PA|

+d 最小,如图. 把 y=2 代入1x62 +1y22 =1,
得 x=4 3 6(负值舍去),
即 P??43 6,2??为所求的点.
直线与圆锥曲线的交点 [例 2] 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆x52+ym2=1 总有公共点,求 m 的取值范 围. [思路点拨] 几何法:由于直线过定点(0,1),而直线与椭圆总有公共点,所以(0,1)必在
椭圆内部或边界上,结合椭圆的位置关系可求 m 的范围.代数法:联立直线与椭圆方程组
成方程组,根据方程组有解来求 m 的范围.
[精解详析] 法一:由于椭圆的焦点在 x 轴上,知 0<m<5. 又∵直线与椭圆总有公共点, ∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上, ∴052+1m2≤1,即 m≥1, 故 m 的取值范围是 m∈[1,5). 法二:由椭圆方程及椭圆焦点在 x 轴上知 0<m<5.
??y=kx+1, 由???x52+ym2=1
得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, 又直线与椭圆有公共点, ∴上述方程的 Δ≥0 对一切 k 都成立, 即(10k)2-4(m+5k2)×5(1-m)≥0, 亦即 5k2≥1-m 对一切 k 都成立, ∴1-m≤0,即 m≥1,故 m 的取值范围是 m∈[1,5). [一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,有两种方法,代数法是一般方法,思路易得,但
运算量较大,利用几何法求解思路灵活,方法简捷,故在解题时选择适当的方法可达到事半

功倍的效果.

3.已知直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支相交于不同两点,则 k 的取值范围是 ________.

??y=kx+2, 解析:由?

得(1-k2)x2-4kx-10=0

①,直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2

??x2-y2=6

=6 的右支相交于不同两点,即方程①有两个不同的正实数解,所以

Δ=16k2+40?1-k2?>0,
? 4k ??1-k2>0, ?? 10
-1-k2>0,

解得- 315<k<-1.

答案:??- 315,-1??
4.求过点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线方程. 解:①若直线的斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0.显然

与抛物线只有一个公共点,即直线 x=0 与抛物线只有一个公共点.

②若直线的斜率存在,设方程为 y=kx+1,

??y2=2x, 由?

得 k2x2+2(k-1)x+1=0,当 k=0 时,解得 y=1,

??y=kx+1,

即直线 y=1 与抛物线只有一个公共点. 当 k≠0 时,由 Δ=4(k-1)2-4k2=0,得 k=12. 即直线 y=12x+1 与抛物线只有一个公共点. 综上所述,所求直线方程为 x=0 或 y=1 或 y=12x+1.
中点弦、弦长问题 [例 3] 过点 P(-1,1)的直线与椭圆x42+y22=1 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点恰为点 P,求 AB 所在的直线方程及弦长|AB|. [思路点拨] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),把 A,B 两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)

再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜率,从而可求直线 AB 的方程,再联立方程求得 A,B

的坐标,根据两点间的距离公式求|AB|.

[精解详析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 A,B 两点在椭圆上得?????xx2221++22yy2122= =44, , 两式相减 得

(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.① 显然 x1≠x2,故由①得 kAB=yx11--yx22=-2?xy11++xy22?. 因为点 P 是 AB 的中点,所以有 x1+x2=-2,y1+y2=2.② 把②代入①得 kAB=12,故 AB 的直线方程是 y-1=12(x+1),即 x-2y+3=0.

??x-2y+3=0,

由???x42+y22=1,

消去 y 得 3x2+6x+1=0.

∴x1+x2=-2,x1x2=13,

|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2

= ?x1-x2?2+[k?x1-x2?]2

= 1+k2 ?x1-x2?2

= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2



1+14· 324=

30 3.

[一点通]

1.在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时,“点差法”是常用的方法,但是利

用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点,因此必须判断满足条件的直线是否存在,即把

求出的直线方程与圆锥曲线方程联立,看是否满足 Δ>0.

2.直线 y=kx+b 与曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2)时,弦长公式为|AB|= 1+k2|x1 -x2|或|AB|= 1+k12|y1-y2|(k≠0).

5.已知双曲线焦距为 4,焦点在 x 轴上,且过点 P(2,3). (1)求该双曲线的标准方程; (2)若直线 l 经过该双曲线的右焦点且斜率为 1,求直线 m 被双曲线截得的弦长. 解:(1)设双曲线方程为ax22-by22=1(a,b>0),

由已知可得左、右焦点 F1,F2 的坐标分别为(-2,0),(2,0),

则|PF1|-|PF2|=2=2a,所以 a=1,

又 c=2,所以 b= 3, 所以双曲线方程为 x2-y32=1.

(2)由题意可知直线 l 的方程为 y=x-2, 联立双曲线及直线方程消去 y 得 2x2+4x-7=0,
7 设两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2=-2,x1x2=-2,

由弦长公式得|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2=6. 6.已知椭圆1x62 +y42=1,过点 P(2,1)引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方 程. 解:设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P 为弦 AB 的中点,

∴x1+x2=4,y1+y2=2.

又∵A,B 在椭圆上,

∴x21+4y21=16,x22+4y22=16. 两式相减,得(x21-x22)+4(y21-y22)=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,

y1-y2 -?x1+x2? 1

1

∴= x1-x2

4?y1+y2?

=-2,即

kAB=-2.

∴所求直线方程为 y-1=-12(x-2),

即 x+2y-4=0.

直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下:

(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程,利用判别式来解决, 并应注意讨论,不要漏项,也可利用图形直观判断.

(2)涉及圆锥曲线的弦长问题,一般用弦长公式|AB|= 1+k2|x1-x2|=

1+k12·|y1-

y2|,弦过焦点时,也可用定义来解决. (3)解决与弦中点有关的问题的常用方法:一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求

解.二是把端点坐标代入曲线方程,作差构造出中点坐标和直线的斜率.

[对应课时跟踪训练(二十一)]

1.过点(2,4)作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,这样的直线有( )

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

解析:点(2,4)位于抛物线 y2=8x 上,故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条,

一条平行于对称轴,另一条与抛物线相切.

答案:B

2.若直线 y=x+2 与椭圆xm2+y32=1 有两个公共点,则 m 的取值范围是(

)

A.(-∞,0)∪(1,+∞)

B.(1,3)∪(3,+∞)

C.(-∞,-3)∪(-3,0)

D.(1,3)

??y=x+2, 解析:由?x2 y2
??m+ 3 =1

消去 y,整理得(3+m)x2+4mx+m=0.若直线与椭圆有两个公共

点,

??3+m≠0,

??m≠-3,

则?

解得?

??Δ=?4m?2-4m?3+m?>0,

??m<0或m>1.

由xm2+y32=1 表示椭圆知,m>0 且 m≠3.

综上可知,m 的取值范围是 m>1 且 m≠3.

答案:B

3.已知双曲线方程为 x2-y42=1,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则共有

L( ) A.4 条

B.3 条

C.2 条

D.1 条

解析:因为双曲线方程为 x2-y42=1,所以 P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过 P(1,0)并且

和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过

P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有 3 条.

答案:B

4.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若

线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

解析:抛物线的焦点 F??p2,0??,所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-p2,即 x=y

+p2,将其代入 y2=2px=2p??y+p2??=2py+p2,

所以 y2-2py-p2=0,所以y1+2 y2=p=2,

所以抛物线的方程为 y2=4x,准线方程为 x=-1.

答案:B 5.已知双曲线 x2-y32=1,过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A,B 两点,并使 P 为 AB 的中点,则直线 AB 的斜率为________. 解析:法一:显然直线 AB 存在斜率,

设 AB 斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB 方程为 y-1=k(x-2),由

??y=k?x-2?+1, ???x2-y32=1,
得(3-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-4=0,

2k-4k2 ∴x1+x2= 3-k2 =4,∴k=6.

法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4, y1+y2=2,且 x12-y321=1,x22-y322=1.

?y1-y2??y1+y2?

两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=

3

.

显然 x1-x2≠0,

y1-y2 3?x1+x2?

∴= x1-x2

y1+y2

=6,即 kAB=6.

答案:6

6.已知点 M 到定点 F(1,0)的距离与 M 到定直线 l:x=3 的距离的比为 33,则动点 M 的轨迹方程为________.

解析:设 M(x,y),则

?x-1?2+y2 3 |x-3| = 3 ,

∴3(x-1)2+3y2=(x-3)2.

∴2x2+3y2=6. x2 y2
∴所求方程为 3 + 2 =1. 答案:x32+y22=1 7.已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F,点 A(8,8), 求线段 AB 的中点到准线的距离. 解:设 AB 的中点是 P,到准线的距离是|PQ|,

由题意知点 F(2,0),直线 AB 的方程是:y=43(x-2), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

??y2=8x, 由? 4
??y=3?x-2?,

消去 x 得 y2=8??34y+2???y2-6y-16=0?y1=8,y2=-2.

∴|AB|=

1+?34?2|y1-y2|=225,

由抛物线的定义知:|PQ|=12|AB|=245. 8.已知椭圆x32+y22=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 且倾斜角为 45°的直线 l 与椭 圆相交于 A,B 两点. (1)求 AB 的中点坐标; (2)求△ABF2 的周长与面积. 解:(1)由x32+y22=1,知 a= 3,b= 2,c=1.

∴F1(-1,0),F2(1,0),∴l 的方程为 y=x+1,

联立???x32+y22=1, ??y=x+1,

消去 y 得 5x2+6x-3=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x0,y0),则 x1+x2=-65,x1x2=-35,x0=x1+2 x2=

3

y1+y2

-5,y0= 2

x1+1+x2+1 x1+x2



2

= 2 +1

=25??或y0=x0+1=-35+1=25??,

∴中点坐标为 M??-35,25??.

|1-0+1| 2

(2)由题意知,F2 到直线 AB 的距离 d=

= = 2, 12+12 2

|AB|= 1+k2l · ?x1+x2?2-4x1x2=85 3,

∴S△ABF2=12|AB|d=12×8 5 3× 2=45 6, △ABF2 的周长=4a=4 3.
[对应学生用书 P66] 一、圆锥曲线的定义 1.椭圆: 平面内到两定点 F1,F2 距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合. 2.抛物线: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合. 3.双曲线: 平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于|F1F2|)的点的集合. 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”,对于圆锥曲线的有关问题,要 有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略. 二、圆锥曲线的标准方程与简单性质 1.圆锥曲线的标准方程: 椭圆、双曲线有两种形式的标准方程,抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的 形式来确定焦点的位置,根据焦点的位置选择恰当的方程形式. 2.圆锥曲线的简单几何性质: (1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件. (2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心,抛物线只有一条对称轴. (3)椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点,抛物线有一个顶点. (4)双曲线焦点位置不同,渐近线方程也不同. (5)圆锥曲线中基本量 a,b,c,e,p 的几何意义及相互转化是解题的重要依据. 三、轨迹方程的问题 求轨迹方程的几种常用方法: (1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求 x,y 之间的 关系式. (2)代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换

为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标 x,y 来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标 x,y 之间的关系式.
(3)定义法:如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线 的定义,则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.
(4)参数法:选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数,用参数表示动点的坐 标(x,y),即得动点轨迹的参数方程,消去参数,可得动点轨迹的普通方程.
四、直线与圆锥曲线位置关系 1.直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点,涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、 中点弦、取值范围、最值、定点、定值等问题. 2.这类问题往往综合性强,注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结 合,与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合,解决方法主要是通过解方程组,转化 为一元方程,与中点弦有关的问题也可用“点差法”,解决问题的过程中,要注意“整体代 换”思想的应用.

??对应阶段质量检测?三???

?? 见8开试卷

??

(时间 90 分钟,满分 120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是( )

A.(2,0)

B.(-2,0)

C.(4,0)

D.(-4,0)

解析:抛物线焦点位于 x 轴负半轴上,为(-2,0).

答案:B 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 3倍,则椭圆的离心率为( )

3 A. 2

6 B. 3

2

1

C. 2

D.2

解析:因为椭圆的长轴长 2a 是短轴长 2b 的 3倍,所以 a= 3b,则 c= a2-b2= 2b,

所以椭圆的离心率 e=ac=

2b= 3b

6 3.

答案:B

3.以椭圆1x62 +y92=1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线的标准方程为(

)

A.1x62 -4y82 =1

B.x92-2y72 =1

C.1x62 -4y82 =1 或y92-2x72 =1

D.以上都不对

解析:当顶点为(±4,0)时, 对于双曲线,a=4,c=8,b=4 3,则双曲线的标准方程

为1x62 -4y82 =1;当顶点为(0,±3)时,对于双曲线,a=3,c=6,b=3 3,则双曲线的标准方 y2 x2
程为 9 -27=1.

答案:C

4.直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆的离心率为( )

1

2

A.5

B.5

5 C. 5

25 D. 5

解析:直线 l 与 x 轴交于(-2,0),与 y 轴交于(0,1).由题意知 c=2,b=1,

∴a=

5,∴e=ac=2

5

5 .

答案:D

5.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( )

1 A.2

B.1

C.2

D.4

解析:由题意知,圆的圆心为(3,0),半径为 4;抛物线的准线为 x=-p2.

∴3-??-p2??=4,∴p=2.

答案:C

6.一动圆 P 与圆 O:x2+y2=1 外切,而与圆 C:x2+y2-6x+8=0 内切,那么动圆的

圆心 P 的轨迹是( )

A.双曲线的一支

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

解析:圆 C 的方程即(x-3)2+y2=1,圆 C 与圆 O 相离,设动圆 P 的半径为 R.

∵圆 P 与圆 O 外切而与圆 C 内切,

∴R>1,且|PO|=R+1,|PC|=R-1,又|OC|=3,

∴|PO|-|PC|=2<|OC|,即点 P 在以 O,C 为焦点的双曲线的右支上.

答案:A

7.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ·MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭

圆离心率的取值范围是( )

A.(0,1)

B.??0,12??

C.??0,

2? 2?

D.?? 22,1??

解析:由题意知,点 M 的轨迹为以焦距为直径的圆,

则 c<b,∴c2<b2.又 b2=a2-c2,∴e2<12.

又 e∈(0,1),∴e∈??0, 22??.

答案:C 8.两个正数 a,b 的等差中项是92,一个等比中项是 2 5,且 a>b,则双曲线ax22-by22=1

的离心率为( )

5

41

A.3

B. 4

C.54

D.

41 5

?? a+b=9, ? 解析:由题意知 ab=?2 5?2,
??a>b,

解得 a=5,b=4,

∴c= a2+b2= 25+16= 41.

∴双曲线的离心率 e=ac=

41 5.

答案:D 9.(浙江高考)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的 两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A.3

B.2

C. 3

D. 2

解析:设焦点 F(±c,0),双曲线的实半轴长为 a,则双曲线的离心率 e1=ac,椭圆的离心

率 e2=2ca,所以ee12=2. 答案:B 10.(浙江高考)如图 F1,F2 是椭圆 C1:x42+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别
是 C1,C2 在第二、四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2

B. 3

3

6

C.2

D. 2

解析:由椭圆可知|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2 3.

因为四边形 AF1BF2 为矩形, 所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12, 所以 2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4, 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|=12-4=8,所以|AF2|-|AF1|=2 2,

因此对于双曲线有 a= 2,c= 3,

所以

C2

的离心率

e=ac=

6 2.

答案:D 11.若椭圆 C 的焦点和顶点分别是双曲线x52-y42=1 的顶点和焦点,则椭圆 C 的方程是 ________.

解析:由题意可知,双曲线x52-y42=1 的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0),( 5,

x2 y2

x2

0),设椭圆 C 的方程是a2+b2=1(a>b>0),则 a=3,c= 5,b=2,所以椭圆 C 的方程为 9 +

y2 4 =1.

答案:x92+y42=1

12.若曲线k-x22+k+y25=1 的焦距与 k 无关,则它的焦点坐标是________.

解析:∵k+5>k-2,∴当 k+5>k-2>0 时,方程 x2 + y2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭 k-2 k+5

圆.此时 c2=(k+5)-(k-2)=7,焦点坐标为(0,± 7). 当 k+5>0>k-2 时,方程 y2 - x2 =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线.此时 c2=(k+5) k+5 2-k

+(2-k)=7 焦点坐标为(0,± 7).
答案:(0,± 7) 13.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当 △FPM 为等边三角形时,其面积为________. 解析:据题意知,△FPM 为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.设
P??m42,m??,
则 M(-1,m),等边三角形边长为 1+m42,又由 F(1,0),|PM|=|FM|,得 1+m42=
?1+1?2+m2,得 m=2 3,

∴等边三角形的边长为 4,其面积为 4 3.
答案:4 3 14.以下是关于圆锥曲线的命题:
①设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,|| PA |-| PB ||=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP―→=12( OA + OB ),则
动点 P 的轨迹为椭圆;③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④ 双曲线2x52 -y92=1 与椭圆3x52 +y2=1 有相同的焦点.

其中,真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 解析:对于①,其中的常数 k 与 A,B 间的距离大小关系不定,所以动点 P 的轨迹未必

是双曲线;对于②,动点 P 为 AB 的中点,其轨迹为以 AC 为直径的圆;对于③④,显然成

立. 答案:③④ 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
15.(本小题满分 12 分)已知点 A(0,4),B(0,-2),动点 P(x,y)满足 PA ·PB -y2+8
=0. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹与直线 y=x+2 交于 C ,D 两点,求证:OC⊥OD(O 为原点).
解:(1)由题意可知, PA =(-x,4-y), PB =(-x,-2-y),
∴x2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0,∴x2=2y 为所求动点 P 的轨迹方程.

??y=x+2, (2)证明:设 C(x1,y1),D(x2,y2).由???x2=2y,

整理得 x2-2x-4=0,

∴x1+x2=2,x1x2=-4,

∵kOC·kOD=yx11·yx22=?x1+2x1?x?x2 2+2?

x1x2+2?x1+x2?+4



x1x2

-4+4+4



=-1,

-4

∴OC⊥OD.

16.(本小题满分

12

分)已知直线

y=

2 2x

与椭圆在第一象限内交于

M

点,又

MF2⊥x

轴,

F2 是椭圆的右焦点,另一个焦点为 F1,若 MF1 ·MF2 =2,求椭圆的标准方程.
解:由已知设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0),

则 M 点的横坐标为 c.

∴M 点的坐标为??c, 22c??. ∴ MF1 =??-2c,- 22c??, MF2 =??0,- 22c??. ∴ MF1 ·MF2 =12c2.
由已知得12c2=2,∴c=2. 又在 Rt△MF1F2 中,
|F1F2|=4,|MF2|= 2,
∴|MF1|= |F1F2|2+|MF2|2=3 2.
∴2a=|MF1|+|MF2|=4 2. ∴a=2 2.∴b2=4. ∴所求椭圆的标准方程为x82+y42=1. 17.(本小题满分 12 分)(陕西高考)设椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35. (1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标. 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得1b62=1,∴b=4,
c 3 a2-b2 9 又 e=a=5,得 a2 =25, 即 1-1a62=295,∴a=5,
x2 y2 ∴C 的方程为25+16=1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y=45(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程 y=45(x-3)代入 C 的方程,

得2x52 +?x-253?2=1, 即 x2-3x-8=0,

3- 41

3+ 41

解得 x1= 2 ,x2= 2 ,

x1+x2 3 设 AB 的中点坐标 x = 2 =2,

y =y1+2 y2=25(x1+x2-6)=-65,
即中点坐标为??32,-65??.
注:用韦达定理正确求得结果,同样给分. 18.(本小题满分 14 分)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:ax22+by22=1(a>b>0)的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.
??b=1, 解:(1)由题意得?
??a=2.
所以椭圆 C1 的方程为x42+y2=1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存

在,不妨设其为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx-1.

又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 d=

1, k2+1

所以|AB|=2 4-d2=2

4k2+3 k2+1 .

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.

??x+ky+k=0, 由?
??x2+4y2=4

消去

y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故

8k x0=-4+k2,

8 k2+1 所以|PD|= 4+k2 .

1

8 4k2+3

设△ABD 的面积为 S,则 S=2|AB|·|PD|= 4+k2 ,

所以 S=

32 4k2+3+

13 ≤ 2
4k2+3

32

16 13

4k2+3· 13 = 13 ,

4k2+3

当且仅当 k=± 210时取等号.

10 所以所求直线 l1 的方程为 y=± 2 x-1.


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