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3.1.1数系的扩充与复数的概念.ppt1


3.1.1

数系的扩充与复数的概念

数的发展过程(经历)
测量、分配中的等分 计数的需要 (循环小数) ————— ?自然数 ————————?分数 解方程3 x=5 表示相反意义的量 (整数集和有理数集到此才完整形成) ———————?负数 解方程x+3=1 循环小数 2=2 ? __________ _ 解方程x —————?无理数 (实数集形成? 小数集 ? 不循环小数 ) ? __________ _

————————? 虚数(复数集形成)

解方程x2=-1

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系: 整数 有理数

R
无理数 实数

Q

Z

N

知识引入

我们已经知道:

对于一元二次方程 x 2 ? 1 ? 0 没有实数根.

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
?C R

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

? ? 实数 b ? 0 ? 复数a+bi ? ? 纯虚数 a ? 0, b ? 0 ? 虚数 b ? 0 ? ? 非纯虚数 a ? 0, b ? 0 ?

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

虚数集 复数集 纯虚数集 实数集

如果两个复数的实部和虚部分别相

等,那么我们就说这两个复数相等.
若 a, b, c, d ? R ,

a ? bi ? c ? di

?a ? c ? ? ?b ? d

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与 虚部。

2?
2

7 , 0 . 618 ,

2 7

i,

0

i , i ?1 ? 3 ?,

3 ? 9 2i,

5 i+8,

例1: 实数m取什么值时,复数
z ? m ? 1 ? ( m ? 1)i

(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 m ? 1 时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是虚数. (3)当 ? m ? 1 ? 0 ? ?m ? 1 ? 0 即 m ? ? 1 时,复数z 是 纯虚数.

例2:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

(1)m= ? 1 (2)m ? ?1 (3)m=-2

练习:实数m 取什么值时,复数 z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i (1) 是实数? (2)纯虚数? (3)零?
解:(1)当m2-5m-6=0时, 即m=6或m=-1时, z为实数

(2)当

m2-3m-4=0 2-5m-6?0 时, m

即m=4时, z为纯虚数
即m=-1时, z为零

m2-3m-4=0 (3)当 2-5m-6=0 时, m

例2: 已知 ( 2 x ? 1 ) ? i ? y ? ( 3 ? y ) i



其中 x , y ? R , 求

x与 y .

解:根据复数相等的定义,得方程组
?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ? ( 3 ? y )

x? 5 2 ,y?4

1、若x,y为实数,且

?

x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2

?

求x,y.

x=-3,y=4

2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求实数x的值.

i

x=2

例3. 解下列方程
(1)x2-2x+3=0;
2-x+1=0; (2)x

2-x+1=0. (3)2x

练习
1 已 知 复 数 Z = 3 x -1 ? x ? ( x ? 4 x ? 3) i ? 0, 求 实 数 x
2

2、 判 断 对 错 (1 ) 当 Z ? C , 则 Z ? 0 ;
2

( 2 ) 若 Z 1、 Z 2 ? C , 且 Z 1- Z 2> 0 , 则 Z 1> Z 2; (3 ) 若 a ? b , 则 a ? i ? b ? i

练习
3 、 若 关 于 x的 方 程 (1 + i ) x ? 2 ( a ? i ) x ? 5 ? 3 i ? 0
2

有 实 数 解 , 求 a的 值 。

4 . 不等式 m ? ( m ? 3 m ) i ? ( m ? 4 m ? 3 ) ? 10 成立,
2 2 2

求实数 m 的取值范围 .

5. 已知 x 是实数,y 是纯虚数,且满足 ? 2 x ? 1 ? ? ?3 ? y ?i ? y ? i , 求 x 、y 。

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi ( a ? R , b ? R ) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi ? c ? di
?a ? c ? ? ?b ? d

练习:P104


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