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高中数学选修课高考题型及解析


高中数学选修课高考题型解析
选修 2-1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何
2-1-1 常用逻辑用语 一、题型一:命题、真命题、假命题的判断 1.例 1:下列语句是命题的是( ) A.梯形是四边形 B.作直线 AB C.x 是整数 D.今天会下雪吗 2、例 2.下列说法正确的是( ) A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B.语句“最高气温 30 ℃时我就开空调”不是命题 C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D.语句“当 a>4 时,方程 x -4x+a=0 有实根”是假命题 解析:对于 A,改写成“若 p,则 q”的形式应为“若有两个角是直角,则这两个角相等”; B 所给语句是命题; C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3,腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形 不是菱形”来说明.故选 D. 变式练习:下列命题是真命题的是( ) A.{?}是空集 B.{x∈N||x-1|<3}是无限集 2 C.π 是有理数 D.x -5x=0 的根是自然数 解析:选 D. x2-5x=0 的根为 x1=0,x2=5,均为自然数. 二、题型二:复合命题的结构 例 3 将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假: (1)6 是 12 和 18 的公约数; 2 (2)当 a>-1 时,方程 ax +2x-1=0 有两个不等实根; (3)已知 x、y 为非零自然数,当 y-x=2 时,y=4,x=2. 解析:(1)若一个数是 6,则它是 12 和 18 的公约数,是真命题. 2 (2)若 a>-1,则方程 ax +2x-1=0 有两个不等实根,是假命题. 1 因为当 a=0 时,方程变为 2x-1=0,此时只有一个实根 x= . 2 (3)已知 x、y 为非零自然数,若 y-x=2,则 y=4,x=2,是假命题. 变式练习:指出下列命题的条件 p 与结论 q,并判断命题的真假: (1)若整数 a 是偶数,则 a 能被 2 整除; (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形; (3)相等的两个角的正切值相等. 解析:(1)条件 p:整数 a 是偶数,结论 q:a 能被 2 整除,真命题. (2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形” , 即“若一个四边形的对角线相等且互相平分,则该四边形是矩形” . 条件 p:一个四边形的对角线相等且互相平分 结论 q:该四边形是矩形,真命题. (3)命题“相等的两个角的正切值相等” ,即“若两个角相等,则这两个角的正切值相等” . 条 件 p:两个角相等,结论 q:这两个角的正切值相等,假命题. 三、题型三:命题真假判断中求参数范围 2 2 例 4、已知 p:x +mx+1=0 有两个不等的负根,q:方程 4x +4(m-2)x+1=0(m∈R)无实 根,求使 p 为真命题且 q 也为真命题的 m 的取值范围.
2

解:A

?Δ =m -4>0, ? 解析:若 p 为真,则? ?m>0, ?
2

2

解得 m>2.

若 q 为真,则 Δ =16(m-2) -16<0,解得 1<m<3. ?m>2, ? p 真,q 真,即? 故 m 的取值范围是(2,3). ? ?1<m<3. 2 变式练习:已知命题 p:lg(x -2x-2)≥0;命题 q:0<x<4,若命题 p 是真命题,命题 q 是 假命题,求实数 x 的取值范围. 解:命题 p 是真命题,则 x -2x-2≥1,∴x≥3 或 x≤-1, 命题 q 是假命题,则 x≤0 或 x≥4.∴x≥4 或 x≤-1. 四、题型四:四种命题的等价关系及真假判断 π 例 5.命题“若△ABC 有一内角为 ,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( 3 A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题
2

)

π 解析:原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列,则△ABC 有一内角为 ”, 3 它是真命题. 故选 D. 例 6.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 答案: B 例 7.若“x>y,则 x >y ”的逆否命题是( ) 2 2 2 2 A.若 x≤y,则 x ≤y B.若 x>y,则 x <y 2 2 2 2 C.若 x ≤y ,则 x≤y D.若 x<y,则 x <y 解析:选 C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的 结论的否定作为条件即可得逆否命题. 例 8. .给出下列命题: ①命题“若 b -4ac<0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④“若 m>1,则 mx -2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 解析:①否命题:若 b -4ac≥0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)有实根,真命题; ②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则 a> b>0”是真命题,故其逆否命题为真命题; ④逆命题:若 mx -2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R,则 m>1,假命题.
2 2 2 2 2 2 2 2

所以应填①②③. 变式练习.若命题 p 的逆命题是 q,命题 q 的否命题是 r,则 p 是 r 的( ) A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.以上判断都不对 解析:选 B. 命题 p:若 x,则 y,其逆命题 q:若 y,则 x,那么命题 q 的否命题 r:若 非 y,则非 x,所以 p 是 r 的逆否命题.所以选 B. 五、题型五:问题的逆否证法 2 例 9.判断命题“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”的逆否命题的真假. 2 解:∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.∴方程 x +2x-3m=0 的判别式Δ =12m+4>0. 2 ∴原命题“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”为真命题. 2 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”的逆否 命题也为真命题. 六、题型六:判断条件关系及求参数范围 π 例 10.“x=2kπ + (k∈Z)”是“tan x=1”成立的( 4 A.充分不必要条件 C.充要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π π 解析:当 x=2kπ + 时,tan x=1,而 tan x=1 得 x=kπ + , 4 4 π 所以“x=2kπ + ”是“tan x=1”成立的充分不必要条件.故选 A. 4 例 11、设 A 是 B 的充分不必要条件,C 是 B 的必要不充分条件,D 是 C 的充要条件,则 D 是

A 的(

) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析: 由题意得:
2

故 D 是 A 的必要不充分条件
2

例 12.已知条件 p:-1≤x≤10,q:x -4x+4-m ≤0(m>0)不变,若非 p 是非 q 的必要而 不充分条件,如何求实数 m 的取值范围? 解:p:-1≤x≤10. q:x2-4x+4-m2≤0 ?[x-(2-m)][x-(2+m)]≤0(m>0) ?2-m≤x≤2+m(m>0). 因为非 p 是非 q 的必要而不充分条件, 所以 p 是 q 的充分不必要条件, 即{x|-1≤x x|2-m≤x≤2+m}, ? ? ?2-m≤-1 ?2-m<-1 故有? 或? ,解得 m≥8. ?2+m>10 ?2+m≥10 ? ? 所以实数 m 的范围为{m|m≥8}. 2 2 变式练习 1:已知条件:p:y=lg(x +2x-3)的定义域,条件 q:5x-6>x ,则 q 是 p 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 2 解析:选 A. p:x +2x-3>0,则 x>1 或 x<-3;q:5x-6>x ,即 x -5x+6<0, 由小集合? 大集合,∴q? p,但 p q.故选 A. 1 变式练习 2 已知 p: ≤x≤1,q:a≤x≤a+1,若 p 的必要不充分条件是 q,求实数 a 的取 2 值范围. 解析:q 是 p 的必要不充分条件,则 p? q 但 q? /p. 1 1 1 ∵p: ≤x≤1,q:a≤x≤a+1.∴a+1≥1 且 a≤ ,即 0≤a≤ . 2 2 2

? 1? ∴满足条件的 a 的取值范围为?0, ?. ? 2?
七、充要条件的论证 4 2 例 13 求证:0≤a< 是不等式 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立的充要条件. 5 4 2 2 证明:充分性:∵0<a< ,∴Δ =a -4a(1-a)=5a -4a=a(5a-4)<0, 5 则 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立. 而当 a=0 时,不等式 ax -ax+1-a>0 可变成 1>0. 显然当 a=0 时,不等式 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立. 必要性:∵ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立,
? ?a>0, ∴a=0 或? 2 ? ?Δ =a -4a
2 2 2 2

-a

4 解得 0≤a< . 5

4 2 故 0≤a< 是不等式 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立的充要条件. 5 八、命题真假值的判断 例 14.如果命题“p∨q”与命题“非 p”都是真命题,那么( ) A.命题 p 不一定是假命题 B.命题 q 一定为真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 与命题 q 的真假相同 解析:选 B.“p∨q”为真,则 p、q 至少有一个为真.非 p 为真,则 p 为假,∴q 是真 命题. 变式练习:判断由下列命题构成的 p∨q,p∧q,非 p 形式的命题的真假: (1)p:负数的平方是正数,q:有理数是实数; (2)p:2≤3,q:3<2; (3)p:35 是 5 的倍数,q:41 是 7 的倍数. 解:(1)p 真,q 真,∴p∨q 为真命题,p∧q 为真命题,非 p 为假命题; (2)p 真,q 假,∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,非 p 为假命题; (3)p 真,q 假,∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,非 p 为假命题. 九、命题的否定与否命题 a b 例 15.命题“若 a<b,则 2 <2 ”的否命题为________,命题的否定为________. a b a b 解析:命题“若 a<b,则 2 <2 ”的否命题为“若 a≥b,则 2 ≥2 ”, a b 命题的否定为“若 a<b,则 2 ≥2 ”. 变式练习 1:“a≥5 且 b≥3”的否定是____________; “a≥5 或 b≤3”的否定是____________.

解:a<5 或 b<3

a<5 且 b>3

变式练习 2: (2010 年高考安徽卷) 命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定 是________. 解:存在 x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 十、全称命题与特称命题相关小综合题 2 2 例 17.若命题 p:? x∈R,ax +4x+a≥-2x +1 是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.a≤-3 或 a>2 B.a≥2
2

)

C.a>-2
2

D.-2<a<2

解析:依题意:ax +4x+a≥-2x +1 恒成立, 即(a+2)x +4x+a-1≥0 恒成立,
? ?a+2>0, 所以有:? ?16- a+ ?
2

a-

??

? ?a>-2, ?a +a-6≥0 ?
2

?a≥2.

所以选 B 变式练习 1: 已知命题 p:? x0∈R,tan x0= 3;命题 q:? x∈R,x -x+1>0,则命 题“p 且 q”是________命题.(填“真”或“假”) π 解析: 当 x0= 时,tan x0= 3,∴命题 p 为真命题; 3
2

x2-x+1=?x- ?2+ >0 恒成立,∴命题 q 为真命题,∴“p 且 q”为真命题. 2

? ?

1?

?

3 4

所以填:真 变式练习 2:已知命题 p: ? x∈R, 使 tan x=1, 命题 q: x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, 下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧?q”是假命题;③命题“?p∨q”是真命 题;④命题“?p∨?q”是假命题,其中正确的是( ③④ D.①②③④ π 解析: 当 x= 时,tan x=1,∴命题 p 为真命题. 4 由 x -3x+2<0 得 1<x<2,∴命题 q 为真命题. ∴p∧q 为真,p∧?q 为假,?p∨q 为真,?p∨?q 为假.所以选 D
2 2

)

A.②③

B. ①②④

C. ①

十一、综合训练典型题 例 18.设命题 p:实数 x 满足 x - 4ax +3a <0 ,其中 a>0,命题 q :实数 x 满足 2 ? ?x -x-6≤0,
? 2 ? ?x +2x-8>0.
2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 2 2 解:(1)由 x -4ax+3a <0 得 (x-3a)(x-a)<0. 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1<x<3.

?-2≤x≤3, ? 解得? ?x<-4或x>2. ? 所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ?1<x<3 ? 若 p∧q 为真,则? ?2<x<3, ? ?2<x≤3 所以实数 x 的取值范围是(2,3).

?x -x-6≤0, ? 由? 2 ?x +2x-8>0. ?

2

即 2<x≤3.

(2)非 p 是非 q 的充分不必要条件, 即非 p? 非 p 且非 q 非 q. 设 A={x|x≤a 或 x≥3a},B={x|x≤2 或 x>3},则 A 所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2].
2 2 4 3

B.

变式练习 2:已知命题 p:函数 y=x +2(a -a)x+a -2a 在[-2,+∞)上单调递增.q: 关于 x 的不等式 ax -ax+1>0 解集为 R.若 p∧q 假,p∨q 真,求实数 a 的取值范围. 解析: ∵函数 y=x +2(a -a)x+a -2a
2 2 2 2 2 4 3 2

=[x+(a -a)] -a ,在[-2,+∞)上单调递增,∴-(a -a)≤-2, 即 a -a-2≥0,解得 a≤-1 或 a≥2.即 p:a≤-1 或 a≥2
? ?a≥0 2 由不等式 ax -ax+1>0 的解集为 R 得? ?Δ <0 ?
2

2



即?
? ?

?a≥0 ?

-a

2

-4a<0

解得 0≤a<4

∴q:0≤a<4.

∵p∧q 假,p∨q 真.∴p 与 q 一真一假. ∴p 真 q 假或 p 假 q 真, 即?
?a≤-1或a≥2 ? ?a<0或a≥4 ? ?-1≤a<2, ? 或? ?0≤a<4. ?

∴a≤-1 或 a≥4 或 0≤a<2. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞).

2-1-2 圆锥曲线与方程 本讲内容是圆锥曲线的基础内容, 也是高考重点考查的内容, 在每年的高考试卷中一般 有 2~3 道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性 质, 从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。 圆锥曲线在高考试题中占有稳定 的较大的比例, 且选择题、 填空题和解答题都涉及到, 客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、 标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法 对于本讲内容来讲,预测 2010 年: (1)1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题; (2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。 三. 【要点精讲】

1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有

| MF1 | ? | MF2 |? 2a
椭圆的标准方程为:

(a ? b ? 0) (焦点在 y 轴上) 。

x2 y 2 y2 x2 a ? b ? 0 ( ) (焦点在 x 轴上)或 ? ? 1 ? ?1 a 2 b2 a2 b2
2 2 2

注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 c ? a ? b ;

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置, 和 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 2 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 只要看 x 和 y 的分母的大小。例如椭圆 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆
②在 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程

y ? ?b 所围成的矩形里;

x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a , | y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , a 2 b2

②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点

( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中
心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭 圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。 同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2 a 和 2b , a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中,| OB2 |? b ,

| OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c 2 ; c ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 , a 且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就 越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦 2 2 2 点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。
2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 ( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F 1F 2 | 条件下; | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 时 为双曲线的一支(含 F2 的一支) ; | PF2 | ? | PF ; 1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F 1 的一支) ② 当 2a ?| F 1F 2 | 时 , || PF 1 | ? | PF2 ||? 2a 表 示 两 条 射 线 ; ③ 当 2a ?| F 1F 2 | 时 ,

④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形; | F1F2 | 叫做焦距。 椭圆和双曲线比较: 椭 定义 方程
x y ? ?1 a 2 b2
2 2 2


x y ? ?1 b2 a 2
2


x2 y 2 ? ?1 a 2 b2



线
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
F (?c, 0) F (0, ?c)

F (?c, 0) F (0, ?c) 焦点 注意:如何有方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质
①范围:从标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 a2 b2 x ? ? a 的外侧。即 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。 x2 y2 ? ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双 a2 b2 x2 y2 曲线的对称轴,原点是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中 a b
②对称性:双曲线 心。

x2 y2 ? ? 1 的方程里, a2 b2 对 称 轴 是 x, y 轴 , 所 以 令 y ? 0 得 x ? ? a , 因 此 双 曲 线 和 x 轴 有 两 个 交 点
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

x2 y2 A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线 2 ? 2 ? 1 的顶点。 a b 令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶 点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚 轴:线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为 双曲线的渐近线。从图上看,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接 a2 b2

近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价。 亦即若题目中出现上述其一, 即可推知双曲线为 等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a ? b ,则等轴双曲线可以设为: x ? y ? ? (? ? 0) , 当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上
2 2

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互换) c 相同, ⑥注意 16 9 9 16
还有焦点所在的坐标轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。

方程 y 2 ? 2 px

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。
p ,0) ,它的准线方 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 程是 x ? ?

p ; 2

(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式: y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛物线的 图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y l

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0) y
F

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l

图形

o F
p ( , 0) 2 p x?? 2 x?0

x

F o

x

l

o

x

焦点坐标 准线方程

(?

范围 对称性 x轴 x轴 (0, 0) (0, 0) 顶点 e ?1 e ?1 离心率 说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性 质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3) 注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。 四. 【典例解析】 题型 1:椭圆的概念及标准方程 例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 两个焦点的坐标分别是 (?4, 0) 、(4, 0) , 椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于10 ; (2)两个焦点的坐标分别是 (0, ?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 ( ? (3)焦点在 x 轴上, a : b ? 2 :1 , c ? b ; (4)焦点在 y 轴上, a ? b ? 5 ,且过点 (? 2,0) ; (5)焦距为 b , a ? b ? 1 ;
2 2

p , 0) 2 p x? 2 x?0

p (0, ) 2 p y?? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

p (0, ? ) 2 p y? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

3 5 , ); 2 2

(6)椭圆经过两点 ( ?

3 5 , ) , ( 3, 5) 。 2 2

解析: (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,故设椭圆的标准方程为 ∵ 2a ? 10 , c ? 4 ,∴ b ? a ? c ? 9 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

所以,椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 25 9

(2)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

3 5 3 5 3 1 2a ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为 (3)∵ c ?
2

y 2 x2 ? ? 1。 10 6

6 ,∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ,①
2 2

又由 a : b ? 2 :1 代入①得 4b ? b ? 6 , ∴ b ? 2 ,∴ a ? 8 ,又∵焦点在 x 轴上,
2

x2 y 2 ? ? 1。 8 2 y 2 x2 (4)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a b 2 2 ∴ 2 ? 1 ,∴ b ? 2 , b 2 2 2 又∵ a ? b ? 5 ,∴ a ? 3 , y 2 x2 ? ? 1. 所以,椭圆的标准方程为 3 2 (5)∵焦距为 6 ,∴ c ? 3 , 2 2 2 ∴ a ? b ? c ? 9 ,又∵ a ? b ? 1 ,∴ a ? 5 , b ? 4 , x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 或 ? ? 1. 所以,椭圆的标准方程为 25 16 25 16 2 2 x y ? ? 1 ( m, n ? 0 ) (6)设椭圆方程为 , m n 5 2 ? 3 2 ? (? 2 ) ( 2 ) ? ?1 ? 由? m 得 m ? 6, n ? 10 , n ?3 5 ? ? ?1 ?m n
所以,椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? ?1. 所以,椭圆方程为 10 6
点评: 求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义, 还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间 的关系 例 2. (1) (06 山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是 短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 。 (2) (06 天津理,8)椭圆的中心为点 E (?1 , 0) ,它的一个焦点为 F (?3, 0) ,相应于焦

点 F 的准线方程为 x ? ?

7 ,则这个椭圆的方程是( 2
B.



A.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

C.

D.

?b 2 ? 4 ? ? 2 y2 ?a ? 2b, c ? 2 3 ? ? ?a 2 ?16 ? x ? ?1 为所求; 解析: (1)已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? F ( ? 2 3,0) ? ? (2)椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), 7 ∴ 半焦距 c ? 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? . 2 2 2 a 5 ( x ? 1) ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ? y 2 ? 1 ,选 D。 ∴ c 2 5
点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型 2:椭圆的性质 例 3. (1) (06 山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到 相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为( (A) 2 (B) ) (C)

2 2

1 2

(D)

2 4

(2) (2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线 切,则该双曲线的离心率等于( A. 3 B.2

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相 2 a b

) C. 5
'

D. 6

【解析】设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y 由题意有

|x ? x0 ? 2 x0 .

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 x0
2

解得: x0 ? 1,? 【答案】C

b b ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a

点评:本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质。

例 4. (1) ( (2009 全国卷Ⅰ理) 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l , 点 A?l , 2
) D. 3

线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =( A.

2

B. 2

C. 3

【解析】 过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB , 故 | BM |? 【答案】A

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? ? ? | AF |? 2 .故选 A 3 2 3 3

(2) (2009 浙江理)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线, a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是 2

该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? ( ) A. 2 B. 3 C. 5

D. 10

【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B , C ,

? a2 ab ? a2 ab B? , , C ( ,? ) 则有 ? a ?b a ?b ? a?b a?b ?
BC ? ( 2a 2b 2a 2b ab ? ? ab 2 2 , ? ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC,?4a ? b ,?e ? 5 . 2 2 2 2 a ?b a ?b a ? b a ? b ? ?

【答案】C

题型 3:双曲线的方程

P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值 例 5. (1)已知焦点 F 1 (5,0), F 2 (?5,0) ,双曲线上的一点
等于 6 ,求双曲线的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程; (2)求与椭圆 25 5
(3)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为

9 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的标准方程。 4
解 析 :( 1 ) 因 为 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a 2 b2 2 2 2 ∵ 2a ? 6, 2c ? 10 ,∴ a ? 3, c ? 5 ,∴ b ? 5 ? 3 ? 16 。 x2 y 2 ? ?1; 所以所求双曲线的方程为 9 16 x2 y 2 ? ? 1 的 焦 点 为 ( 2 5 , 0 )? (2)椭圆 , ( 2 5 ,, 0可 ) 以设双曲线的方程为 25 5 x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 20 。 a 2 b2 18 2 又∵过点 (3 2, 2) ,∴ 2 ? 2 ? 1 。 a b x2 y2 2 2 综上得, a ? 20 ? 2 10, b ? 2 10 ,所以 ? ?1。 20 ? 2 10 2 10 点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量 a, b, c 之间的关系。 (3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a 2 b2 ∵点 P 1, P 2 在双曲线上,∴点 P 1, P 2 的坐标适合方程①。

? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? 2 ? 1 1 ? a 16 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , a b ?1 ?1 ? ? b2 9 ? a 2 ? 16 y 2 x2 ? ? ?1。 ∴? 2 即双曲线的标准方程为 16 9 ? ?b ? 9
点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a , b 的值;在求解的 过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚 例 6.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 , 则双曲线的标准方程是____________________. 解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与 虚轴长之比为 5 : 4 ,即 c : b ? 5:4 ,解得 c ? 5, b ? 4 ,则双曲线的标准方程是
2 2

x2 y 2 ? ?1; 9 16

点评: 本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。 充分挖掘双 曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷 题型 4:双曲线的性质

例 7. (1) (2009 安徽卷理)下列曲线中离心率为 6 的是 2 A.

x2 y 2 ? ?1 2 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 C. x ? y ? 1

4

6

D. x ? y ? 1
4 10

2

2

【解析】由 e ? 【答案】B

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B. a 2 a 2 a 2 2

x2 y 2 (2) ( 2009 江西卷文)设 F 1 和 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的两个焦点 , 若 a b

F1,F2 , P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

【解析】由 tan 【答案】B

?
6

?

c c 3 有 3c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. ? a 2b 3

(3) (2009 天津卷文)设双曲线 双曲线的渐近线方程为( ) A. y ? ? 2 x B . y ? ?2 x

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则 a2 b2

C .y??

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

【解析】由已知得到 b ? 1, c ? 3, a ? 近线方程为 y ? ? 【答案】C

c 2 ? b 2 ? 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐

b 2 x?? x a 2

【考点定位】 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。 考察了同学们的运算能力和推理 能力。

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直 例 8. (1)(2009 湖北卷理)已知双曲线 2 2 4 b
线 y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )

A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
? ? 2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2

? ?

1? ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
? 2 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?

D. K ? ? ??, ?

? ? ?

2? ? 2 ?

【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A. 【答案】A

(2) (2009 四川卷文、理)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 , 2 b2
)

其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 =( A. -12 B. -2 C. 0 D. 4

【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ,于 是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1) , PF2 ? (2 ? 3,?1) .
∴ PF )(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0 1 · PF 2 = (?2 ? 3,?1 【答案】C

(3) (2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜 b2
( )

率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为 A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

x2 y 2 【解析】设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 a b
N , BD ? AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率 为

3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角

60???BAD ? 60?,| AD |?
由双曲线的第二定义有

1 | AB | , 2

1 1 1 | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 1 5 6 又 AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? . e 2 5
【答案】A 题型 5:抛物线方程 例 9. (1))焦点到准线的距离是 2; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0, ? 2),求它的标准方程 解析: (1)y =4x,y = ? 4x,x =4y,x = ? 4y;
2 2 2 2

方程是 x = ? 8y。 点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此只 要给出确定 p 的一个条件, 就可以求出抛物线的标准方程。 当抛物线的焦点坐标或准线方程 给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求 的标准方程就会有多解。 题型 6:抛物线的性质
2

例 10. (1)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 ( ) A. ?2
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
D. 4

B. 2

C. ? 4 ) (C) y ? ?2

(2)抛物线 y ? 8x 的准线方程是( (A) x ? ?2 (B)

x ? ?4
2

(D) y ? ?4 ) D. (- 4,0)

(3) (2009 湖南卷文)抛物线 y ? ?8x 的焦点坐标是( A. (2,0) B. (- 2,0) C. (4,0)

解析: (1)椭圆

则 p ? 4 ,故选 D; (2)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A; (3) 【解析】由 y ? ?8x ,易知焦点坐标是 (?
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0), 6 2

p , 0) ? (?2, 0) ,故选 B. 2

【答案】B 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例 11. (1) (全国卷 I)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2

( )

A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

(2)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 。 2 (3)对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范 围是( ) A.(-∞,0)
2

B.(-∞,2 ]

C.[0,2]

D.(0,2)

能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是
2
2

. (要求填写合适条件的序号)

解析: (1)设抛物线 y ? ? x 上一点为(m,-m ),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为

| 4m ? 3m 2 ? 8 | 2 4 ,当 m= 时,取得最小值为 ,选 A; 3 3 5
(2)答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B

y 解析:设点 Q 的坐标为( 0 ,y0) , 4
由 |PQ|≥|a|,得 y0 +(
2 2 2

2

y0 2 2 -a) ≥a . 4

2

整理,得:y0 (y0 +16-8a)≥0, 2 2 ∵y0 ≥0,∴y0 +16-8a≥0.

y y 即 a≤2+ 0 恒成立.而 2+ 0 的最小值为 2. 8 8
∴a≤2.选 B。 点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。 五. 【思维总结】 在复习过程中抓住以下几点: (1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》. 并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定, 其实质是精通课本, 而本章考题大多 数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键; (2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛 物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离 心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算; (3)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) ,F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的 焦半径公式分别为(p>0) : 2-1-3 空间中的向量与立体几何

2

2

考点 1.利用空间向量证明空间垂直问题 利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容,考查形式 灵活多样,常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合,考查形式可以是小题,也可以是 解答题的一部分,或解答题的某个环节,题目容易,是高考中的重要得分点. 例 1(2010 辽宁理 19) )已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.证明:CM⊥SN; 审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x, y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图,则 P(0,0,1) ,C

1 AB ,N 为 2

1 1 1 ) , N ( ,0,0) , S (1, ,0) 2 2 2 1 1 1 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0) , 2 2 2 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , 所以 CM⊥SN . 2 2
(0,1,0) , B (2,0,0) , M (1,0, 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定(证明)问 题,常用向量法,即通过证明所证直线的方向向量的数量 积为 0 证明两直线垂直.

E F分 例 2(2010 天津理 19) 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 、
别是棱 BC , CC1 上的点, CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 =

1: 2 : 4 .证明 AF ? 平面 A1ED
审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点, 设

AB ? 1 , 依 题 意 得

, , F (1, D( 0 , 2 0 2,1) )

,

? 3 ? A1 (0,0, 4) , E ?1, , 0 ? ? 2 ?
ED =0. 已知 AF ? (1, 2,1) , EA1 ? ? ?1, ? , 4 ? , ED ? ? ?1, , 0 ? 于是 AF · EA1 =0,AF ·
AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E 因此, AF ? EA 1,
所以 AF ? 平面 A 1ED 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量 法,先求出平面的法向量和直线的方向向量,证明平面法向 量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平 面内两条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可.

? ?

3 2

? ?

? ?

1 2

? ?

例 3 ( 2010 年山东文)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2 MA . 求证:平面 EFG ? 平面 PDC . 审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 解析:以 A 为原点,向量 DA , AB , AM 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,如图建立坐标 系, 设 AM=1, 则 AD=AB=PD=2,则 B(0,2,0),C(-2,2,0),D(-2,0,0),P(-2,0,2), M(0,0,1), 则 E(0,1,

1 ),G(-1,1,1),F(-2,1,1), 2

∴ EG =(-1,0,

1 ), GF =(-1,0,0),设平面 EFG 的法向量 m =( x , y , z ) ,则 2 1 z =0 且 GF ? m = ?x =0,取 y =1,则 x = z =0,∴ m =(0,1,0), 2
∵ m ? DA = 2 ? 0 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 =0,

EG ? m = ? x ?

易证面 PDC 的法向量为 DA =(2,0,0),

∴ m ⊥ DA ,

∴平面 EFG ? 平面 PDC

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题,常向量法,即先建立坐标系,求出两个平 面的法向量,通过证明这两个平面的法向量垂直,即得面面垂直. 考点 2.利用空间向量处理空间平行关系 空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容,考查的形式灵活多 样,常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合,可以是小题,也可以是解答题的一个小 题,题目的难度一般不大,是高考中的得分点之一. 例 4(2010 湖南理 18)在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,E 是棱 DD 1 的中点。在棱 C1 D 1 上是 否存在一点 F,使 B1F ∥平面 A 1BE ?证明你的结论。 审题要津:本题坐标系易建立,可用向量法求解. 解析:以 A 为坐标原点,如图建立坐标系,设正方形的棱长为 2,则 B(2,0,0),E(0,2,1), A 1 (0,0,2), B 1 (2,0,2), ∴ BE =(-2,2,1), BA1 =(-2,0,2) , 设面 BEA1 的法向量为 m =( x , y , z ) ,则

m ? BE = ?2 x ? 2 y ? z =0 且 m ? BA1 = 2 x ? 2 z =0,取 x =1,
则 z =-1, y =

3 3 ,∴ m =(1, ,-1), 2 2

假设在棱 C1D1 上存在一点 F,使 B1F ∥平面 A 1BE ,设 F( x0 ,2,2)(0≤ x0 ≤2),

则 BF =( x0 ? 2 ,2,2) , 则 m ? BF = 1? ( x0 ? 2) ?

3 ? 2 ? (?1) ? 2 =0, 2

解得 x0 =1, ∴当 F 为 C1D1 中点时, B1F ∥平面 A 1BE . 【点评】 对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法, 有两种思路: (1) 用共面向量定理, 证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来, 即这三个向量共线, 根 据共面向量概念和直线在平面外,可得线面平行; (2)求出平面法向量,然后证明法向量与 直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题,通常先假设成立,设出相关点的坐标,利用相 关知识,列出关于坐标的方程,若方程有解,则存在,否则不存在.注意, (1)设点的坐标 时, 利用点在某线段上, 设出点分线段所成的比, 用比表示坐标可以减少未知量, 简化计算;(2) 注意点的坐标的范围. 例 5 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,在底面 ABC 中 ?ABC = 90 ,D 是 BC 上
0

一点,且 A 1B ∥面 AC1 D , D 1为B 1C1 的中点,求证:面 A 1 BD 1 ∥面 AC1D . 审题要津:本题的坐标系容易建立,可用向量法. 解析:以 B 点为原点,如图建立坐标系,设 AB= a ,BC= 2b , 则A ( a ,0,0) ,C1 (0,2b ,c ),B1 (0,0, c ),A BB1 = c , 1( a , 0,c ), ∴ D1 (0,b ,c ),设 D(0, y0 ,0)(0≤ y0 ≤ 2b ) ,

∴ AD =(- a , y0 ,0), AC1 =(- a , 2b ,c ), BA1 =( a ,0, , c ), BD1 =(0, b , c ) 设面 AC 1 D的 法 向 量 为 m =( x1 , y1 , z1 ) , 则 m ? AD = ?ax1 ? y0 y1 =0 且

m ? AC1 = ?ax1 ? 2by1 ? cz1 =0,取 y1 = a ,则 x1 = y0 , z1 =
则 m =( y0 , a ,

ay0 ? 2ab ) , 又∵ A 1B ∥面 AC1 D , c ay0 ? 2ab ab ∴ m ? BA =0,解得 y0 = b , ∴ m =( b , a , ? ) , 1 = ay0 ? c ? c c
设面 A 1 BD 1 的法向量为 n =( x2 , y2 , z2 ),则 n ? BA 1 = ax2 ? cz2 =0 且 n ? BD 1 = by2 ? cz2 =0, 取 z2 =1,则 x2 = ? ∴ n= ?

ay0 ? 2ab , c

c c c c , y2 = ? ,则 n =( ? , ? ,1), a b a b
∴ m ∥ n, ∴面 A 1 BD 1 ∥面 AC1 D .

c m, ab

【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路, (1)利用向量证明一个面内两条相交直 线分别与另一个平面平行,根据面面判定定理即得; (2)求出两个平面的法向量,证明这两

个法向量平行,则这两个面就平行. 考点 3 利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题 异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点,常与探索性 问题、平行问题、垂直等问题结合,重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定 理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力,是立体几何中的难点,难度为中档难度.

E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, 例 6(2010 天津理 19) 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值;
(2)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。 审题要津:本题坐标系易建立,可以向量法. 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设

? 3 ? AB ? 1 ,依题意得 D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A1 (0,0, 4) , E ?1, , 0 ? ? 2 ?
(1) 证 明 : 易 得 EF ? ? 0, ,1? , A 1D ? (0,2, ?4) , 于 是

? ?

1 ? 2 ?

c o s E F 1, A D ?

E F 1A D 3 ? ?, E F 1A D 5

所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为

3 5

(2)解:设平面 EFD 的法向量 n = ( x, y, z ) ,则 n ? EF = 不妨令 x =1,可得 n =(1,2,-1),

1 1 y ? z =0 且 n ? ED = ? x ? y =0, 2 2
1 n =0 且 m ? DA1 = ?2n ? 4 p =0, 2

设平面 A1ED 的法向量 m = (m, 则 m ? ED = ? m ? n ,p ) 取 p =1,则 n =2, m =1,则 m =(1,2,1) 于是 cos n,m =

n?m 2 5 = ,从而 sin n,m = , |n || m | 3 3

所以二面角 A1 -ED-F 的正弦值为

5 3

【点评】 (1)对异面直线夹角问题,先求出两条异面直线的方向向量分别为 m 、 n ,在求 出 m 、 n 的夹角,设两异面直线的夹角 ? ,利用 cos ? = | cos m,n | 求出异面直线的夹角, 注意: (1)异面直线夹角与向量夹角的关系;(2)对二面角 ? ? l ? ? 的大小问题,先求出平 面 ? 、 ? 的法向量 m 、 n ,再求出 m 、 n 的夹角,在 ? 内取一点 A,在 ? 内取一点 B,设 二面角 ? ? l ? ? 大小为 ? ,若 n ? AB 与 m ? AB 同号,则 ? = m,n ,若 n ? AB 与 m ? AB

异号,则 ? = ? ? m,n ,注意二面角大小与法向量夹角的关系. 例 7( 2010 全国卷 I 理 7)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与 平面 AC D1 所成角的余弦值为

A

2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

审题要津: 本题是正方体中的线面关系问题, 可用空间向量法 求解. 解 析 : 如 图 建 立 坐 标 系 , 设 正 方 体 棱 长 为 1 , BB1 与 面 A C D 1 的夹角为 ? ,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0), D1 (0,0,1), B1 (1,1,1), ∴ AC =(-1,1,0) ,

AD1 =(-1,0,1), BB1 =(0,0,1),
设面 ACD1 的法向量 n = ( x ,y ,z ) , 则 0= AC ? n = ? x ? y 且 0= AD1 ? n = ?x ? z , 取 x =1, 则 y =1, z =1, ∴ n =(1,1,1) ,∴ sin ? =

3 6 | BB1 ? n | = ,∴ cos ? = ,故选 D. 3 | BB1 | ? | n | 3

【点评】对于线面夹角问题,若容易建立坐标系,则常用坐标法,建立坐标系,求出线面夹 角问题中三位直线的方向向量 m 和平面法向量 n ,设线面角为 ? ,则直线方向向量 m 在平 面法向量 n 方向上的投影的长度

| m?n| | m?n| 与直线方向向量 m 的模之 | m | 比 就是线 |n| | m || n |

面夹角的正弦值,即 sin ? =

| m?n| . | m || n |

选修 2-2:导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入;
2-2-1 导数及其应用 一、知识导学 1.瞬时变化率: 设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义, 当自变量在 x ? x0 附近改变量为 ?x 时, 函数值相应地改变 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x) ,如果当 ?x 趋近于 0 时,平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 趋近于一个常数 c (也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝 ?x ?x
对值越来越小,可以小于任意小的正数) ,那么常数 c 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率。

2.导数:当 ?x 趋近于零时,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于常数 c。可用符号“ ? ”记作: ?x

当 ?x ? 0 时,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? c ,符号“ ?” ? c 或记作 lim ?x ?0 ?x ?x

读作 “趋近于” 。 函数在 x0 的瞬时变化率, 通常称作 f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 并记作 f ?( x0 ) 。 3.导函数:如果 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每一点 x 都是可导的,则称 f ( x) 在区间 ( a, b) 可导。 这样,对开区间 ( a, b) 内每个值 x ,都对应一个确定的导数 f ?( x) 。于是,在区间 ( a, b) 内,

f ?( x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y ? f ( x) 的导函数。记为 f ?( x) 或 y ?
(或 y ? 。 x) 4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则

( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) 即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差) 。 2)函数积的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则

[ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数
乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3)函数的商的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的, g ( x) ? 0 ,则

? ? f ( x) ? g ( x) f ?( x) ? f ( x) g ?( x) ? g ( x) ? ? g 2 ( x) ? ?

? 5.复合函数的导数:设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u ? x ? ? ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的 ? ? f ?(u) ,则复合函数 y ? f [? ( x)] 在点 x 处有导数,且 y? ? ? 对应点 u 处有导数 yu x ? yu ? u x .
6.几种常见函数的导数: (1) C ? ? 0(C为常数) (3) (sin x)? ? cos x (5) (ln x ) ? ?

? ? nx (2) (x )
n

n?1

(n ? Q)

(4) (cosx)? ? ? sin x (6) (log a x ) ? ?

1 x

1 log a e x

(7) (e x )? ? e x 二、疑难知识导析

(8) (a x )? ? a x ln a

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率

? ? 2.运用复合函数的求导法则 y ? x ? yu ? u x ,应注意以下几点
(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后, 常出现如下错误,如 (cos2 x)? ? ? sin 2 x 实际上应是 ? 2 sin 2 x 。 (3) 求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如

y?

1 1 选成 y ? , u ? v 4 , v ? 1 ? w, w ? 3x 计算起来就复杂了。 4 u (1 ? 3x)
3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时

速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够 的重视。 4. f ?( x0 )与f ?( x)的关系

f ?( x0 ) 表示 f ( x)在x ? x0 处的导数,即 f ?( x0 ) 是函数在某一点的导数; f ?( x) 表示
函数 f ( x) 在某给定区间 ( a, b) 内的导函数,此时 f ?( x) 是在 ( a, b) 上 x 的函数,即 f ?( x) 是 在 ( a, b) 内任一点的导数。 5.导数与连续的关系 若函数 y ? f ( x) 在 x0 处可导,则此函数在点 x0 处连续,但逆命题不成立,即函数

y ? f ( x) 在点 x0 处连续,未必在 x0 点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条
件,而不是充分条件。 6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,表示曲线在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,因 此,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程可如下求得: (1)求出函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处的导数,即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处

切线的斜率。 (2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下, 求得切线方程为:y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) , 如果曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定 义可知,切线方程为 x ? x0 . 三、经典例题导讲 [例 1]已知 y ? (1 ? cos 2x) 2 ,则 y ? ? .

错因:复合函数求导数计算不熟练,其 2 x 与 x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽 视了,导致错解为: y ? ? ?2 sin 2 x(1 ? cos 2 x) .
2 ? ? ? ? 正解:设 y ? u , u ? 1 ? cos 2 x ,则 y? x ? yu u x ? 2u(1 ? cos2 x) ? 2u ? (? sin 2 x) ? (2 x)

? 2u ? (? sin 2 x) ? 2 ? ?4 sin 2 x(1 ? cos2 x) ? y ? ? ?4 sin 2 x(1 ? cos 2 x) .

?1 2 ? 2 ( x ? 1)(x ? 1) ? [例 2]已知函数 f ( x) ? ? 判断 f(x)在 x=1 处是否可导? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1) ? ?2

1 1 [(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) 2 错解:? lim 2 ? 1,? f ?(1) ? 1 。 ?x?0 ?x
分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 .

1 1 [(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) ?y 2 解: lim ? ? lim? 2 ?1 ?x?0 ?x ?x?0 ?x

∴ f(x)在 x=1 处不可导. 注: ?x ? 0 ,指 ?x 逐渐减小趋近于 0; ?x ? 0 ,指 ?x 逐渐增大趋近于 0。 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即 lim
+ -

?

?

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,△x→0,包括 ?x

△x→0 ,与△x→0 ,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其 左、 右极限是否存在且相等, 如果都存在且相等, 才能判定这点存在导数, 否则不存在导数.

[例 3]求 y ? 2x 2 ? 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 错因:直接将 P , Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析:点 P 在函数的曲线上,因此过点 P 的切线的斜率就是 y ? 在 x ? 1 处的函数值; 点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:? y ? 2 x 2 ? 3,? y ? ? 4 x. ? y ?
x ?1 ?

4

即过点 P 的切线的斜率为 4,故切线为: y ? 4 x ? 1 . 设过点 Q 的切线的切点为 T ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 4 x 0 ,又 k PQ ?

y0 ? 9 , x0 ? 2

2 x0 ? 6 ? 4 x 0 ,? 2 x0 2 ? 8x0 ? 6 ? 0. ? x0 ? 1,3 。 故 x0 ? 2
即切线 QT 的斜率为 4 或 12,从而过点 Q 的切线为:

2

y ? 4 x ? 1, y ? 12x ? 15
点评: 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出 切点坐标. [例 4]求证:函数 y ? x ? 的切线方程. 分析: 由导数的几何意义知,要证函数 y ? x ?

1 图象上的各点处切线的斜率小于 1,并求出其斜率为 0 x 1 的图象上各点处切线的斜率都小于 1,只 x

要证它的导函数的函数值都小于 1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 解:(1) y ? x ?

1 1 1 ,? y ? ? 1 ? 2 ? 1 ,即对函数 y ? x ? 定义域内的任一 x ,其导数值 x x x

都小于 1 ,于是由导数的几何意义可知,函数 y ? x ? (2)令 1 ?

1 图象上各点处切线的斜率都小于 1. x

1 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,当 x ? 1 时, y ? 1 ? ? 2 ;当 x ? ?1 时, y ? ?2 , 2 1 x

? 曲线 y ? x ?
为 y ? 2或

1 的斜率为 0 的切线有两条,其切点分别为 (1,2) 与 (?1,?2) ,切线方程分别 x

y ? ?2 。

点评: 在已知曲线 y ? f ( x) 切线斜率为 k 的情况下,要求其切线方程,需要求出切点, 而切点的横坐标就是 y ? f ( x) 的导数值为 k 时的解,即方程 f ?( x) ? k 的解,将方程

f ?( x) ? k 的解代入 y ? f ( x) 就可得切点的纵坐标, 求出了切点坐标即可写出切线方程, 要
注意的是方程 f ?( x) ? k 有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条. [例 5](02 年高考试题)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 3 ? a , x ? ?0,??? ,设 x1 ? 0 ,记曲 线 y ? f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l . (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0) ,求证: ① x2 ?
1 a3 ;

②若 x1 ?

1 a3

1 ,则 a 3

? x2 ? x1

分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 .

?y ( x ? ?x) 3 ? a ? x 3 ? a ? lim 解:(1) f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
/

? lim

3x 2 ?x ? 3x(?x) 2 ? (?x) 3 ?x?0 ?x

? lim [3x 2 ? 3x?x ? (?x) 2 ] ? 3x 2
?x?0

? f ?( x1 ) ? 3x12 ? 切线 l 的方程为 y ? f ( x1 ) ? f ?( x1 )(x ? x1 )
即 y ? ( x1 ? a) ? 3x1 ( x ? x1 ) . (2)①依题意,切线方程中令 y=0 得,
3 2

②由①知 x 2 ? x1 ?

x13 ? a 3 x1
2

,? x 2 ? x1 ? ?

x13 ? a 3 x1
2

[例 6]求抛物线 y ? x 2 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离. 分析:可设 P( x, x 2 ) 为抛物线上任意一点,则可把点 P 到直线的距离表示为自变量 x 的函 数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相 切时的切点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离即为本题所求. 解:根据题意可知,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线对应的切点到直线 x-y- 2=0 的距离最短,设切点坐标为( ),那么 y ' | x? x0 ? 2x | x? x0 ? 2x0 ? 1 ,∴ x 0 ?
2

1 2

1 1 ? ?2| 7 2 1 1 2 4 ? ∴ 切点坐标为 ( , ) ,切点到直线 x-y-2=0 的距离 d ? , 8 2 4 2 |
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为 导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或 ,则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大(小)值,称 x0 为极大(小)值点. f ( x) ? f ( x0 ) ) (2)求可导函数 f ( x) 极值的步骤: ①求导数 f ?( x) 。求方程 f ?( x) ? 0 的根. ②求方程 f ( x) ? 0 的根.
/

7 2 . 8

③检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附 近为负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧

附近为负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 (1)设 y ? f ( x) 是定义在区间 ?a, b? 上的函数, y ? f ( x) 在 ( a, b) 内有导数,求函数

y ? f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值,可分两步进行.
①求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值. ②将 y ? f ( x) 在各极值点的极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值. (2)若函数 f ( x) 在 ?a, b? 上单调增加,则 f ( a ) 为函数的最小值, f (b) 为函数的最大值; 若函数 f ( x) 在 ?a, b? 上单调递减,则 f ( a ) 为函数的最大值, f (b) 为函数的最小值. 二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时,应注意: (以下将导函数 f ?( x) 取值为 0 的点称为函数 f ( x) 的驻 点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数 y ?| x | 在点 x ? 0 处有极小值 f (0) =0,可是这里的 f ?(0) 根本不存在,所以点 x ? 0 不是 f ( x) 的驻点. (1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数 f ( x) ? x 3 的导数

f ?( x) ? 3x 2 ,在点 x ? 0 处有 f ?(0) ? 0 ,即点 x ? 0 是 f ( x) ? x 3 的驻点,但从 f ( x) 在 ?? ?,???上为增函数可知,点 x ? 0 不是 f ( x) 的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时, 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格, 这样可使函 数在各单调区间的增减情况一目了然. (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时, 一般是先找出自变量、 因变量, 建立函数关系式, 并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数, 它在自己的定义域内必然可导) ,并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小) 值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住 这个定理很有好处) ,然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断 定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较 为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值 进行比较等步骤. 2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系 极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有 区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但 如果连续函数在区间 ( a, b) 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 三、经典例题导讲

[例 1]已知曲线 S : y ? ?

2 3 x ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3
x?0

错解: y? ? ?2 x 2 ? 2 x ? 4 ,? 过点 P 的切线斜率 k ? y? 线方程为 y ? 4 x .

? 4 ,? 过点 P 的曲线 S 的切

错因: 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值, 这是导数的几何意 义.在此题中,点 P 凑巧在曲线 S 上,求过点 P 的切线方程,却并非说切点就是点 P ,上述 解法对求过点 P 的切线方程和求曲线在点 P 处的切线方程,认识不到位,发生了混淆. 正解:设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q( x0 , y0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率

k ? y?

x ? x0

? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ,又 k PQ ?

2

y0 y 2 ,? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 0 。①? 点 x0 x0

Q 在曲线 S 上,
2 3 2 ? y 0 ? ? x0 ? x0 ? 4 x0 . ②,②代入①得 3

? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 ?
化简,得

2

?

2 3 2 x0 ? x0 ? 4 x0 3 x0

4 3 3 2 x0 ? x0 ? 0 ,? x0 ? 0 或 x 0 ? .若 x0 ? 0 ,则 k ? 4 ,过点 P 的切线 3 4 3 35 35 x. ? 过点 P 的曲线 S 方程为 y ? 4 x ;若 x 0 ? ,则 k ? ,过点 P 的切线方程为 y ? 4 8 8 35 x. 的切线方程为 y ? 4 x 或 y ? 8
[例 2]已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.
3 2 2 错解: f ?( x) ? 3ax ? 6x ? 1, ? f ( x) 在 R 上是减函数,? f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,

? 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,? ? ? 0 ,即 36 ? 12 a ? 0 ,? a ? ?3 .
2 正解: f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 1 ,? f ( x) 在 R 上是减函数,? f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,

? ? ? 0 且 a ? 0 ,即 36 ? 12 a ? 0 且 a ? 0 ,? a ? ?3 .
[例 3]当 x ? 0 ,证明不等式 证明: f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

x ? ln(1 ? x) ? x . 1? x

x x , g ( x) ? ln(x ? 1) ? x ,则 f ?( x) ? ,当 x ? 0 时。 1? x (1 ? x) 2

l( 1 ? x) ? ? f ( x) 在 ?0,??? 内是增函数, ? f ( x) ? f (0) , 即n

x ?x ? 0, 又 g ?( x) ? , 1? x 1? x

g ?( x) ? 0 , ? g ( x) 在 ?0,??? 内是减函数, ? g ( x) ? g (0) , l ( 1 ? x) ? x ? 0 , 当 x ? 0 时, 即n
x ? ln(1 ? x) ? x 成立. 1? x x 点评:由题意构造出两个函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? , g ( x) ? ln(x ? 1) ? x .利用导数求 1? x
因此,当 x ? 0 时,不等式 函数的单调区间,从而导出 f ( x) ? f (0) 及 g ( x) ? g (0) 是解决本题的关键. [例 4]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供 应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如 果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 解 :设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x 2 ? 202 ,|CD|= 100 ? x .如果公路运费为 a 元/km, 那么铁路运费为

3a 元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 5
x2 ? 400 ,( 0 ? x ? 100 ).对该式求导,得

为: y ? 3a (100 ? x ) + a 5

y? =

? 3a a (5 x ? 3 x 2 ? 400 ) ax 2 2 + = ,令 y ? ? 0 ,即得 25 x =9( x ? 400 ),解之得 2 2 5 5 x ? 400 x ? 400

x1 =15, x2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一驻点,所 以 x1 =15 是函数 y 的极小值点,而且也是函数 y 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间
并且与 B 相距 15km 处时,运费最省. 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求 其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复 合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为 高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合 函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优 化问题中的应用空间.
3 ' ' [例 5] (2006 年四川) 函数 f ( x) ? 3x ? 3ax ?1, g ( x) ? f ( x) ? ax ? 5 , 其中 f ( x) 是 f ( x )

的导函数.(1)对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ( x) <0,求实数 x 的取值范围; (2)设 a =- m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y = f ( x ) 的图象与直线 y =3 只 有一个公共点. 解: (1)由题意 g ? x ? ? 3x ? ax ? 3a ? 5
2
2

令 ? ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3x2 ? 5 , ?1 ? a ? 1 对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0

? ? ? ?1? ? 0 ∴? ? ?? ? ?1? ? 0
解得 ? 故 x ?? ? (2) f
'

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0 即? 2 ?3 x ? x ? 8 ? 0

2 ? x ?1 3

? 2 ? ,1? 时,对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 . ? 3 ?

? x? ? 3x2 ? 3m2
3

①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点 ②当 m ? 0 时,列表:

x
f ' ? x?

? ??, m ?
?

?m
0
极大

?? m , m ?
?

m
0
极小

? m , ?? ?
?

f ? x?
∴ f ? x ?极小 ? f

? x ? ? ?2m

2

m ? 1 ? ?1

又∵ f ? x ? 的值域是 R ,且在 m , ?? 上单调递增 ∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点. 当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? m 由题意得 f ? m ? 3
2 即 2m m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 3 3

?

?

?

?

?

?

? ? 0, 2 ? 综上, m 的取值范围是 ? ? 2, 2 ? .
解得 m ? ? 3 2, 0
3 3 3

?

[例 6]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动, 桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A, 问 电灯与点 0 的距离怎样,可使点 A 处有最大的照度?( ?BAO ? ? , BA ? r , 照度与 sin ? 成 正比,与 r 成反比)
2

分析:如图,由光学知识,照度 y 与 sin ? 成正比,与 r 成反比,
2

即y?C

sin ? ( C 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最 r2

大的照度,只需求 y 的极值就可以了. 解:设 O 到 B 的距离为 x ,则 sin ? ?

x , r ? x2 ? a2 r

于是 y ? C

sin ? x ?C 3 ?C 2 r r

x
3 2 2 2 (x ? a )

(0 ? x ? ?) , y ? ? C

a 2 ? 2x 2 (x2 ?
5 2 2 a )

? 0.

当 y ? ? 0 时,即方程 a ? 2 x ? 0 的根为 x1 ? ?
2 2

a 2

(舍)与 x 2 ?

a 2

,在我们讨论的半

闭区间 ?0,??? 内,所以函数 y ? f ( x) 在点

a 2

取极大值,也是最大值。即当电灯与 O 点距

离为

a 2

时,点 A 的照度 y 为最大.

(0,

a 2



(
-

a 2

,??)

y?
y

+ ↗



点评:在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得

f ?( x) =0 且在该点两侧, f ?( x) 的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,
也是最大(小)值点. 定积分与微积分基本定理 一、知识导学 1.可微:若函数 y ? f ( x) 在 x0 的增量 ?x 可以表示为 ?x 的线性函数 A?x ( A 是常数)与 较 ?x 高阶的无穷小量之和: ?y ? A?x ? o(?x) (1) ,则称函数 f 在点 x0 可微, (1) 中的 A?x 称为函数 f 在点 x0 的微分,记作 dy
x ? x0

? A?x 或 df ( x)

x ? x0

? A?x .函数 f ( x) 在点 x0 可

微的充要条件是函数 f ( x) 在 x0 可导,这时(1)式中的 A 等于 f ?( x0 ) .若函数 y ? f ( x) 在

区间 I 上每点都可微,则称 f ( x) 为 I 上的可微函数.函数 y ? f ( x) 在 I 上的微分记作

dy ? f ?( x)?x .
2.微积分基本定理:如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [ a, b] 上可积.则

?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) .其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数.
由于 [ F ( x) ? c]? ? f ( x) , F ( x) ? c 也是 f ( x) 的原函数,其中 c 为常数. 二、疑难知识导析 1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤,这里包含着很重要的 数学思想方法,只有对定积分的定义过程了解了,才能掌握定积分的应用. 1)一般情况下,对于区间的分割是任意的,只要求分割的小区间的长度的最大者 ? 趋 近于 0,这样所有的小区间的长度才能都趋近于 0,但有的时候为了解题的方便,我们选择 将区间等份成 n 份,这样只要 2 其中的使

b

1 ? 0 就可以了. n

2) 对每个小区间内 ? i 的选取也是任意的, 在解题中也可选取区间的左端点或是右端点. 3)求极限的时候,不是 n ? ? ,而是 ? ? 0 . 2.在微积分基本定理中,原函数不是唯一的,但我们只要选取其中的一个就可以了,一般 情况下选那个不带常数的。因为

?a f ( x)dx ? [F ( x) ? c] a ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) .
b b

b

3.利用定积分来求面积时,特别是位于 x 轴两侧的图形的面积的计算,分两部分进行计算, 然后求两部分的代数和. 三 、经典例题导讲 [例 1]求曲线 y ? sin x 与 x 轴在区间 [0,2? ] 上所围成阴影部分的面积 S. 错解:分两部分,在 [0, ? ] 2+(-2)=0。 分析:面积应为各部分积分的代数和,也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积,而 是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。 正解: S ?

?0 sin xdx ? 2 ,在 ?? ,2? ? ??

?

2?

sin x ? ?2 ,因此所求面积 S 为

?0 sin xdx ? ??

?

2?

sin xdx ? 2 ? 2 ? 4

[例 2]用微积分基本定理证明

?a f ( x)dx ? ?a f ( x)dx ? ?c
解;设 F ?( x) ? f ( x) ,则
c

b

c

b

f ( x)dx ( a ? c ? b )

分析:即寻找 f ( x) 的原函数代入进行运算。

?a f ( x)dx ? ?c

b

f ( x)dx

= F (c) ? F (a) ? F (b) ? F (c) = F (b) ? F (a) 由微积分基本定理的逆运用可知:上式 ? 所以原式成立,即证。 注:该式可用来求分布在 x 轴两侧的图形的积分。 [例 3]根据等式求常数 a 的值。 1)

?a f ( x)dx

b

??a x
??a
?e
a

a

2

dx ? 18(a ? 0)

2)

?e

a

dx ?3 x

分析:利用微积分基本定理,求出原函数代入 a 求解 解:1)
a

x 2 dx ?

x3 3

a ?a ?

a 3 (?a) 3 ? ? 18 ? a ? 3 3 3
? ln e ? 3 ? a ? e 4 ? a ? ?e 4 x ( x ? 0) 100

2)

dx ? ln x x

a e ? ln a

[例 4]某产品生产 x 个单位时的边际收入 R ?( x) ? 200 ? (1) (2) 求生产了 50 个单位时的总收入。

如果已生产了 100 个单位时,求再生产 100 个单位时的总收入。

分析:总收入为边际收入的积分和,求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收 入函数 R ( x) 和边际收入 R ?( x ) 的关系可得 (1)生产 50 个单位时的总收入为 R(50) ? =

?0

50

R?( x)dx

?0

50

(200 ?

x )dx =99875 100
200

(2)已生产了 100 个单位时后,再生产 100 个单位时的总收入为

?100

200

R ?( x)dx ? ?

100

(200 ?

x )dx ? 19850 100

答:生 产 5 0 个 单 位 时 的 总 收 入 为 9 9 8 7 5 ;生 产 了 1 0 0 个 单 位 时 后 ,再 生 产 100 个 单 位 时 的 总 收 入 为 19850. [例 5]一个带电量为 Q 的电荷放在 x 轴上原点处,形成电场,求单位正电荷在电场力作用下

沿 x 轴方向从 x ? a 处移动到 x ? b 处时电场力对它所作的功。 分析:变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。 解:单位正电荷放在电场中,距原点 x 处,电荷对它的作用力为 F ? k

q x2

在单位电荷移动的过程中, 电场对它的作用力为变力。 则根据课本对变力做功的分析可 知

W ?? k?
a

b

q 1 1 dx ? kq( ? ) 2 a b x
1 1 ? )。 a b

答:电场力对它做的功为 kq (

[例 6]一质点以速度 V (t ) ? t 2 ? t ? 6(m / s) 沿直线运动。求在时间间隔 (1,4) 上的位移。 分析:变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。 解: S ?

?1 v(t )dt ??1 (t
1 2

4

4

2

1 1 1 4 ? t ? 6)dt ? ( t 3 ? t 2 ? 6t ) 1 ? 31 3 2 2

答:位移为 31 m 。

2-2-2 推理与证明

2-2-3 数系的扩充与复数的引入 1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T2)设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z= ( A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i )

【解析】选 A 由(1-i)z=2 i 得 z ?

2i ? i ?1 ? i ? ? ?1 ? i. 1? i

2.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T2)

1 ? 2i ? ( (1 ? i) 2



1 1 1 i C. 1 ? i D. 1 ? i 2 2 2 2 1 ? 2i 1 ? 2i (1 ? 2i)(?2i) ? 2i ? 4i 1 【解析】选 B. ? ? ? ? ?1 ? i . 2 2 ? 2i (?2i)(?2i) 2 (1 ? i) 4i
A. ? 1 ? B. ? 1 ? 3、 (2013·四川高考文科·T3)和(2013·四川高考理科·T2)相同 如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是( A. A C. C B. B D. D )

1 i 2

x

A B O

C
y

D

【解题指南】解决本题的关键是明确复数 a+bi 的共轭复数的形式是 a-bi,然后根据图示进 行选择即可. 【解析】 选 B.由于点 A 表示复数 z=a+bi,所以其共轭复数是 a-bi,在图中应该是点 B 对应的 复数,故选 B. 4.(2013·浙江高考理科·T1)已知 i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i ( )

【解题指南】用复数的运算法则进行计算. 【解析】选 B.(-1+i)(2-i)=-2+i+2i-i =-2+3i+1=-1+3i. 5.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T2)
2

2 ?( 1? i
D. 1



A. 2 2

B. 2

C. 2

【解题指南】先化简

2 ,然后计算模长. 1? i

【解析】选 C.

2 2 2(1 ? i) 2(1 ? i) ? ? ? 1 ? i ,所以 ? 2 ,选 C. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 1? i

6.(2013·大纲版全国卷高考理科·T2) 1+ 3i A. ?8 B. 8 C. ? 8i

?

?

3

?(



D. 8i

【解题指南】根据复数的乘法法则,将复数展开求解。 【解析】选 A. 1+ 3i

?

?

3

? (1 ? 3i)2 (1 ? 3i) ? (2 3i ? 2)(1 ? 3i) ? ?8 .
)

7.(2013·浙江高考文科·T2)已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 【解题指南】根据复数的运算法则进行计算. 【解析】选 C.(2+i)(3+i)=6+5i+i =5+5i.
2

8.(2013·山东高考理科·T1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复 数 z 为( A.2+i ) B.2-i C. 5+i D.5-i

【解题指南】本题考查了复数的运算法则及共轭复数的概念,属于简单题.

【解析】选 D. 因为(z-3)(2-i)=5,所以 z ? 所以 z ? 5 ? i .

5 ?3? 2?i ?3? 5?i, 2?i

9. (2013· 新课标Ⅰ高考理科· T2) 若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ?| 4 ? 3i | , 则 z 的虚部为 ( A.



?4

B. ?

4 5

C.

4

D.

4 5

【解题指南】首先设 z=a+bi(a,b∈R),利用复数的运算法则进行化简,然后利用复数相等列 出关于 a,b 的方程组求出 b 的值. 【解析】选 D.设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 (3 ? 4i) z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 5 ,化简得

? a? ? ?3a ? 4b ? 5 ? 3a ? 4b ? (3b ? 4a)i ? 5 ,所以 ? ,解得 ? ?3b ? 4a ? 0 ?b ? ? ?

3 3 4 5 ,即 z ? ? i . 4 5 5 5

(2 ? i ) 2 (i为虚数单位) ,则 | z |? ( ) 10.(2013·山东高考文科·T1)复数 z ? i
A.25 B.

41

C.5

D. 5

【解题指南】本题考查了复数的运算法则及复数的模的概念,属于简单题. 【解析】选 C. z ?

(2 ? i ) 2 ? ?4 ? 3i ,所以 | z |? i

?? 4?2 ? ?? 3?2

? 5.
)

11. (2013·陕西高考理科·T6) 设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( A. 若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2 B. D. 若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2 若 z1 ? z2 , 则 z12 ? z2 2

C. 若 z1 ? z2 , 则 z1· z1 ? z2 · z2

【解题指南】根据复数的有关概念及复数的基本运算做出判断. 【解析】选 D.设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di. 选项 具体分析 若 | z1 ? z2 |? 0 , z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i, a ? c, b ? d , 所以 A 结论 正确

z1 ? z2 .
B 若 z1 ? z2 ,则 a=c,b=-d,所以 z1 ? z2 . 正确

C

若 z1 ? z2 , 则 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2所以z1 ? z1 ? z2 ? z2 .
2 z12 ? (a 2 ? b2 ) ? 2abi, z2 ? (c 2 ? d 2 ) ? 2cdi 在 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2

正确 错误

D 的前提下不能保证 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ,2ab ? 2cd. 12. (2013·陕西高考文科·T6)设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( A. 若 z 2 ? 0 , 则 z 是实数 C. 若 z 是虚数, 则 z 2 ? 0 B. 若 z 2 ? 0 , 则 z 是虚数 D. 若 z 是纯虚数, 则 z 2 ? 0 )

【解题指南】设出复数的代数形式,复数问题转化代数式求解,进行验证,从而得出正确的 答案. 【解析】选 C. 设z ? a ? bi, a, b ? R ? z 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abi 。 对选项 A: 若z 2 ? 0, 则b ? 0 ? z为实数,所以 z为实数 正确。 对选项 B: 若z 2 ? 0, 则a ? 0, 且b ? 0 ? z为纯虚数,所以 z为纯虚数 正确. 对选项 C: 若z为纯虚数 , 则a ? 0, 且b ? 0 ? z 2 ? 0 ,所以 z ? 0 错误.
2

对选项 D: 若z为纯虚数 , 则a ? 0, 且b ? 0 ? z 2 ? 0 ,所以 z ? 0 正确.
2

13.(2013·湖南高考文科·T1)与(2013·湖南高考理科·T1)相同 复数 z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限

【解题指南】把复数化成代数形式 z ? a ? bi ,看 ( a, b) 在第几象限 【解析】选 B. 因为 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i, 而(-1,1)对应的点在第二象限,所以选 B。 14.(2013·江西高考理科·T1)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4} ,M∩N= {4} ,则复数 z= A. -2i B. 2i ( ) C. -4i D.4i

【解题指南】由交集的定义及复数的运算可得. 【解析】选 C.由题意知, zi ? 4 .所以 z ? ?4i . 15.(2013·江西高考文科·T1)复数 z=i(-2-i) (i 为虚数单位)在复平面内所对应的 点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解题指南】根据复数的乘法法则进行运算,求出复数 z. 【解析】选 D.由题意得 z ? 1? 2i ,对应点为 (1, ?2) ,故选 D. 16.(2013·安徽高考理科·T1)设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若
_

z ? zi ? 2 ? 2z ,则 z = (
A. 1+i B. 1 - i C. ?1+i

) D. - 1-i

【解题指南】利用共轭复数、相等复数及复数的运算性质进行计算。 【解析】选 A。设 z = a + bi(a, b ? R), 则 z = a - bi, 由 z· z i+2=2z 得 (a2 ? b2 )i ? 2 ? 2(a ? bi) ? 2-2a ? (a2 ? b2 ? 2b)i ? 0 ,由复数相等的定义可得

a = 1, b = 1, 所以 z = 1 + i 。
17.(2013·安徽高考文科·T1)设 i 是虚数单位,若复数 a ? 的值为 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3

10 ( a ? R ) 是纯虚数,则 a 3-i

【解题指南】根据复数的运算法则化简 a ? 【解析】选 D。由 a -

10 ( a ? R ) ,令其实部为零解得 a 的值。 3-i

10 10(3 + i) =a = (a - 3) - i ,令 a - 3=0 ,则得 a=3. 3- i (3 - i)(3 + i)
2

18.(2013·北京高考理科·T2)在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

【解题指南】先化简,再找出对应的点坐标. 【解析】选 D.(2-i) =4-4i+i =3-4i,对应的复平面内点坐标为(3,-4). 19.(2013·北京高考文科·T4)在复平面内,复数 i(2-i)对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )
2 2

【解题指南】利用复数乘法求出对应的复数,再找出复平面上对应的点。 【解析】选 A。i(2-i)=2i-i =1+2i,所以对应的点(1,2)位于第一象限. 20.(2013·福建高考理科·T1)已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位),则 z 在复 平面内对应的点位于 ( A.第一象限 ) B.第二象限
2

C.第三象限

D.第四象限

【解题指南】用复数的运算法则进行计算. 【解析】选 D.因为 Z ? 1 ? 2i ,所以 z=1-2i,可得 z 对应的点位于第四象限. 21.(2013·福建高考文科·T1)复数的 Z ? ?1 ? 2i i为虚数单位 在复平面内对应的点 位于( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?

?

A.第一象限

【解题指南】把复数转化为点,然后判断在哪一象限. 【解析】选 C. z 在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限. 22.(2013·广东高考理科·T3)若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐 标是( ) A. (2,4) B.(2,-4) C. (4,-2) D(4,2)

【解题指南】本题考查复数四则运算,既可以将 z 作为未知数解出来,也可以利用 i 的乘方 的性质,在等式两端乘以因式 ?i . 【解析】选 C. 解方程 iz ? 2 ? 4i, z ?

2 ? 4i ? 4 ? 2i , z 对应点的坐标是 (4, ?2) . i

另解:在 iz ? 2 ? 4i 两端乘以因式 ?i 可得 ( ? i)iz ? ( ? i)(2 ? 4i), z ? 4 ? 2i , z 对应点的坐 标是 (4, ?2) . 23. (2013· 广东高考文科· T 3) 若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i ,x, y ? R , 则复数 x ? yi 的模是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 )

【解题指南】本题既可以理解为考查复数的概念,也可以认为是考查复数的四则运算,将

x ? yi 作为未知数解出来,也可以在等式两端乘以因式 ?i .
【解析】选 D. 解方程 i( x ? yi) ? 3 ? 4i, x ? yi ?

3 ? 4i ? 4 ? 3i , | x ? yi |? 5 . i

另解:在 i( x ? yi) ? 3 ? 4i 两端乘以因式 ?i 可得 x ? yi ? 4 ? 3i , | x ? yi |? 5 . 24.(2013·辽宁高考文科·T2)与(2013·辽宁高考理科·T1)相同 复数 z ?

1 的模为( i ?1



A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.

2

【解题指南】用复数的运算法则进行化简,分母实数化,然后求模

【解析】选 B. z ?

1 1? i 1? i 1? i 2 ,所以 z ? ? ? ?? ? . i ? 1 (i ? 1)(1 ? i) 2 2 2
2i (i 为虚数单位)的共轭复数 1? i

25.(2013·湖北高考理科·T1)在复平面内,复数 z= 对应的点位于( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

【解题指南】将复数 Z 分母实数化,再求共轭复数. 【解析】选 D. z ? 二、填空题 26. (2013·天津高考文科·T9)i 是虚数单位. 复数(3 + i)(1-2i) = 【解题指南】用复数的运算法则进行计算. 【解析】(3 + i)(1-2i)= 3 ? 6i ? i ? i ? 2i ? 5 ? 5i . 【答案】 5 ? 5i 27.(2013·天津高考理科·T9)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则 a+bi= . .

2i(1 ? i) ? i ? 1,则 z ? 1 ? i ,其对应点 Z(1,-1)位于第四象限. (1 ? i)(1 ? i)

【解题指南】根据复数的运算法则和复数相等的条件求解. 【解析】因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以 a-1=0,a+1=b,即 a=1,b=2,所以 a+bi=1+2i. 【答案】1+2i 28.(2013·重庆高考理科·T11)已知复数 z ?

5i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 1 ? 2i

【解题指南】先化简复数,然后根据定义求复数的模. 【解析】 z ?

5i 5i(1 ? 2i) 5i ? 10i 2 ? ? ? 2 ? i ,所以 z ? 2 2 ? 12 ? 5 . 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

【答案】 5 29. (2013· 重庆高考文科· T11) 已知复数 z ? 1 ? 2i( i 是虚数单位) , 则z ? 【解题指南】根据定义可直接求复数的模. 【解析】因为 z ? 1 ? 2i ,所以 z ? 1 ? 2 ?
2 2



5.

【答案】 5 30.(2013·上海高考文科·T3)与(2013·上海高考理科·T2)相同

设 m∈R,m +m-2+( m -1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m=

2

2

.

?m2 ? m ? 2 ? 0 ? ? m ? ?2 【解析】m +m-2+(m -1)i 是纯虚数 ? ? 2 ? ?m ? 1 ? 0
2 2

【答案】-2 31. (2013·湖北高考文科·T11) i 为虚数单位,设复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点关于 原点对称,若 z1 ? 2 ? 3i ,则 z 2 ? 【解题指南】利用复数的几何意义求解. 【解析】可知 z1 ? 2 ? 3i 在坐标系中表示为(2,-3) ,再由关于原点对称利用奇函数性质易 知 z 2 的坐标为(-2,3) ,所以即可求出 z2 ? ?2 ? 3i 【答案】-2+3i 32.(2013·江苏高考数学科·T2)设 z ? (2 ? i) 2 ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为 【解题指南】先化简复数 z 再利用复数模的公式计算. 【解析】z=(2-i) =4+i -4i=3-4i,故|z|=5. 【答案】5
2 2

.

选修 2-3:计数原理、统计案例、概率
2-3-1 计数原理 一、知识要点
m 1.排列: An ? n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? ?

n! ,规定 0! ? 1 ?n ? m?!

Am n! m 2.组合: Cn ?n ? m? ? n ? m! m!?n ? m?!
m n ?m 3.组合数的性质: Cn ? Cn ;

0 规定Cn ? 1.

m m m?1 Cn ?1 ? Cn ? Cn .

4.排列组合应用歌:计数有原理,排组方针记。分类用加法,分步用乘法。有序就排列, 无序组合解。 分析有两思,元素和位置。先选后排数,整体再局部。特殊优先法,正难则反法。 相邻捆绑法,相离插空法。同元隔板法,两类选位法,异元分组法,多类分步法。 重元重幂法,不重选排法。 分类主元法,多排单排法。定序除序法,或用逐插法。简单穷举法,复杂转化法。
0 n 1 n?1 r n?r r n n 5.二项式定理: ?a ? b? ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b ?n ? N ?. n
r n ?r r r 6.通项公式: Tr ?1 ? Cn ,二项展开式系数为该项化简 a b ,第 r+1 项二项式系数为 Cn

后字母前的系数。

7

























0 1 n Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2n



0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1

二、重点题型 1.计数应用题: 特优法,元素分析法,位置分析法——例 1、由 0,1,2,3,4,5 可组成 个没有重复数字 五位奇数。 (288) 排除法,先选后排法——例 2.从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人分别从事不同工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方案共有 种。 (186) 相邻捆绑法,相离插空法——例 3、 7 人排成一排, 甲、乙相邻、且不与丙相邻有 种 排法(960) 隔板法——例 4、 有 10 个三好生名额, 分给 7 个班, 每班至少一个,有 种分配方案。 (84) 选位法——例 5 、一个楼梯共 12 阶 , 每步走 1 级或 2 级 , 一共有 走法。 (233) 分组法,先选后排法——例 6、5 名志愿者分到 3 所学校支教,每所学校至少去一名,则不 同的分派方法有 种。 (150) 重幂法——例 7、某 8 层大楼一楼电梯上 8 名乘客,他们到各自的一层下电梯,共有 种 下法。 (7 ) 主元法——例 8、在一次演唱会上共 10 名演员,其中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞,3 人 为全能演员。 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有 选派方法。 (199) 单排法——例 9、8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有 排法。 (5760) 逐插法, 除序法——例 10、 7 人排一列,其中甲在乙之前、 丙在乙之后的排法共有 种。 (840) 穷举法——例 11、 有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投 入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编 号相同,有 种投法。 (20) 转化法——例 12、某市街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最 短路径共有
3 种。( C7 ? 35 )
8

2.排列、组合计算题——①公式法;②性质法。 3.求二项展开式某项的系数——①通项法;②配凑法;③分类法。 4.求二项展开式的系数和(或奇数项、偶数项系数)——①通项法;②赋值法 5.整除问题——①二项式法;②因数分解法。

B

三、思维训练 A 1.某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 。 2. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两 个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 。

5 3.10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有 C10 排法。

4.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有 7 种不同的分法。 5.6 颗颜色不同的钻石,可穿成 种钻石圈。 (120) 6.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座 位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 。
2 4 7.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有 C5 A 4 不同的装法。

6

8.一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一 种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种。 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间, 这样的五位数有
2 2 A2 2 A 2 A 2 个。
3 10. x ? y ? z ? w ? 100 ,这个方程的自然数解的组数有 C103 。

5 4 11.将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有 C13 C84C4 / A2 2 分法。

12. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻 的 2 盏或 3 盏,
3 不能关掉两端的 2 盏,则满足条件的关灯方法有 C5 种。

13. 给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种。 14.30030 能被 31 个不同的偶数整除。 15.正方体的 8 个顶点可连成 174 对异面直线。 16.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成 297 个没有重复的比 324105 大的数。 17.用 0,1,2,3,4,5 六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140 18. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中, 则不同的传球方式有 10 。 19.四名学生争夺三项比赛中的冠军,获得冠军的所有可能的种数为 ( B )种。 A、12 B、64 C、81 D、24 4 20.壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各 1 张,一共可以组成 种币值。 (2 -1)
0 1 2 18 21. C3 的值等于 ? C4 ? C5 ? ? ?C21

。 .

22. ( x ?
2

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x
n

1 ? 的展开式中第 8 项是常数,则展开式中系数最大的项是( 23. ? ? x? ? x? ?

)

A.第 8 项

B.第 9 项

C.第 8 项或第 9 项
4

D.第 11 项或第 12 项


24. ( x ? 1) 4 ( x ? 1) 5 的展开式中, x 的系数为( A.-40 25.若 (1 ? x)
5

B.10

C.40

D.45

? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 =

26.求证:3

2n+2

-8n-9(n∈N )能被 64 整除.

*

类型一:利用二项展开式的通项求特定项或特定项的系数 1.求 的展开式中第四项的二项式系数及第四项的系数.

思路点拨:根据二项式定理的通项公式求解。 解析:展开式中的第四项为 所以展开式中的第四项的二项式系数为 ,第四项的系数为 , .

总结升华: 1. 利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是 第几项,相应的 是多少; 2. 注意系数与二项式系数的区别; 3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。 举一反三: 【变式 1】求 【答案】 , ; ; 。 的展开式的第 3 项的二项式系数和系数; 的展开式的第 3 项和倒数第 3 项。

第3项 倒数第 3 项 【变式 2】求 【答案】10,80;

【变式 3】求 【答案】 ;

的展开式中的第 4 项.



2.求

的展开式中的常数项。

思路点拨:常数项就是项的幂指数为 0 的项,可以根据二项式定理的通项公式求。

解析: 展开式中的第

项为



为常数项,∴

,即



时,



总结升华: 1. 常数项就是项的幂指数为 0 的项,只需使二项式定理的通项公式中 的幂指数为 0; 2. 有理项就是项的幂指数为整数的项,只需使二项式定理的通项公式中的幂指数为整 数; 3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。

举一反三: 【变式 1】求 【答案】 , ;

的展开式中

的二项式系数及

的系数.

通项 ∵ 故展开式中 的系数为 ,∴ ,



的二项式系数为 .



【变式 2】求 【答案】 , ,

的展开式中的有理项. ;

通项



为有理项,∴

, ,所以 =0,6,12 , , .

即 是 6 的倍数,又因为 故展开式中的有理项为 类型二:有关二项式系数的性质及计算的问题

3.已知 (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项。 解析:

(1)展开式的通项:



故展开式中二项式系数最大的项为: (2)设第 项的系数最大,



,化简得



解得:

, ∴



故所求展开式中系数最大的项为: 举一反三:

【变式 1】

的展开式的偶数项的二项式系数之和为 128,则展开式中二

项式系数最大的项为__________。 【答案】 ∴n=8 ∴展开式中第 5 项的二项式系数最大

即展开式中二项式系数最大的项为



【变式 2】设

展开式的第 10 项系数最大,求 n.

【答案】展开式的通项为



∵第 10 项系数最大,

又∵ ∴n=13 或 n=14 类型三:二项式定理的逆用 4. 化简: 思路点拨:逆用二项式定理解答,也可以正用二项式定理求解,但过程较繁。 解析:

总结升华:二项式定理中的等式是恒等式,可以逆用。 举一反三: 【 变 式 1 】 计 算 : . 【 答 案 】 ;

【变式 2】化简 【答案】 ;

.

. 类型四:利用二项式定理求近似值 5.计算 的近似值.(精确到 化成 ) 再进行展开,然后依据已知条件取近似值精确 ,小于 ,以后各项

思路点拨:可将 到

, 由于展开式中第三项为

的绝对值更小,故可以忽略不计。 解析: . 举一反三: 【变式 1】计算 【答案】 ; 的近似值.(精确到 )

.

【变式 2】计算 【答案】 ;

的近似值(精确到

)

. 类型五:利用二项式定理证明整除问题或求余数 6.求证: 思路点拨:可将 解析:∵ ∴ ( 化成 )能被 64 整除. 再进行展开,化简即可证得.





)能被 64 整除。 的

总结升华: 利用二项式定理进行证明,需要多项式展开后的各项尽量多的含有 式子. 举一反三: 【变式 1】求证 【 答 能被 10 整除 案 】 ∵



故 【变式 2】求 【

能被 10 整除。 除以 9 的余数 答 案 】 8 ; ∵

, 为 。 【变式 3】 【答案】 ; 除以 的余数是___________.



除以 9 的余数





除以

的余数是

.

类型六:赋值法求系数和 7. 在 中,求:

①二项式系数的和; ②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ③各项系数的和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ 的奇次项系数和与 的偶次项系数和. 思路点拨:因为二项式系数特指组合数 项系数和即为 , ,在①、②中只需求组合数的和,在③中各 ,偶数项系数和为 , 的 偶 次 项 系 数和

,奇数项系数和为 的 奇 次 项 系 数和 为

。可用“赋值法”求出相关的系数和. 解析: ①二项式系数和为 .

②奇数项的二项式系数和为 偶数项的二项式系数和为 ③ 令 ④ 令 又 , (或 , )得 ?(1) ,得各项系数和 = , ?(2) . .

(1)+(2)得

,∴奇数项的系数和为



(1)-(2)得

,∴偶数项的系数和为

.

⑤ 的奇次项系数和为



的偶次项系数和为

.

总结升华: 1. 赋值法在求二项式系数和是一种有效的常规方法,赋值的目的是为了 有效的消元。 2.要严格地区别“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶) 次项系数和” 。 举一反三: 【变式 1 】若 ___________, 【答案】0; 令 ,得答案 0. ,则

【变式 2】若

,则

____, 【答案】 令 ; ,则

【 变 式 3 】 若 _____, ___________.

, 则

【答案】 令 令

, ,得 ,得

; ,. , 故

. .

1.

展 开 式 的 第 二 项 为 _____________ ;

展开式的第二项为

_____________。 5 2.(a+2b) 展开式中的第三项为________;第三项的二项式系数为________;第三项的 系数为______。 3. 化简: 4. 的展开式中 =_______________。 的系数为_______________。

5. 6 ________, 能力提升: 7. . 若

的展开式中的常数项为_______________。 , _____. 则

的展开式中的各项系数之和为_______________。

8.设 (1) (2) 的值; 的值.

,求:

9. 已知 求展开式中的常数项.

的展开式的第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数之比为 14:3,

10.当

时,求

展开式中的常数项.

11. 求

展开式中 x 的系数。

3

12. 已知

展开式的前 3 项系数依次成等差数列,求:

(1)通项; (2)倒数第二项; (3)展开式中 x 的有理项; (4)展开式中系数最大的项。

13. 求

的近似值(精确到 0.01)。

14.证明:
10

能被 49 整除。

15.求 101 被 11 除的余数。

16.

若 的值。





综合探究: 17.求和:

参考答案: 基础达标: 1. 2. 3. 4. 5. ; ;10;40

6.



能力提升: 7.

解析:令

,得展开式中的各项系数之和为

8.(1)256;(2)128 解 析 : 令 . 令 ,得 ,即 , 故 , 得 , 即

. 9.180 解析:由题意 ,即 ,∴ 或 (舍去)



,

由题意得 ∴常数项为第 3 项

,得

, .

10.

解析:当

时, 展 开 式 中 第 项 为 :

当且仅当 11. 210

时,

为常数,所以,所求常数项为

.

解析:10 个(1+x+x )相乘 x 系数为 即 10 个(1+x+x )中选三个因式中取 x,另七个因式中取 1 相乘; 2 2 或者 10 个(1+x+x )中选一个因式中取 x,再在另 9 个因式中选一个因式取 x 乘, 另 8 个因式中取 1 相乘。
2

2

3

12.解析:

由题:

,∴n=8 或 n=1(舍去)

(1)通项

(2)倒数第二项

(3) 令

4,8

为 有 理 项 ,

(4)设 Tr+1 的系数为 当

,令 ,

13.解析: 14.证明:

15.解析:

所以余数为 1;

16. 解析:







综合探究: 17.解析:

2-3-2 随机变量及其分布 一、知识要点 1 .随机变量、离散型随机变量、概率分布列、两点分布( 0 — 1 分布) 、超几何分布 ( P? X ? k ? ?
k n ?k CM CN ?M ) n CN

2. 条件概率:P?B | A? ? P? AB? ,P?B ? C | A? ? P?B | A? ? P?C | A?(B、 C 是互斥事件) 。
P? A?

3.相互独立事件: P? AB? ? P? A?P?B ? , P?B | A? ? P?B ? 4 . 二 项 分 布 : 独 立 重 复 试 验 、 二 项 分 布
k k P?X ? k ? ? Cn p ?1 ? p? n?k

X ~ B?n, p ? ,

, k ? 0,1,2,?, n 。

5 .离散型随机变量的均值(数学期望) : EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn , E ?aX ? b? ? aEX ? b, ,

X ~ B?n, p ? 中 EX ? np
6.离散型随机变量的方差: DX ? ? ?xi ? EX ?2 pi , X ~ B?n, p ? 中 DX ? np?1 ? p ? ;标准
n i ?1

差: ?X ?

DX 。
( x ? ? )2 2? 2
2

? 1 7 .正态分布: X~N ( μ , σ ) ,正态曲线 f ( x) ? e 2??

, x ? (??, ??) ,P(a< Х ≤

b)≈

?

b a

f ( x ) dx

8.正态曲线的性质:位置、对称、最值、单调、形状(由σ 确定) 。标准正态分布 N(0,1) 9. “3σ ”原则:P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.6826,P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.9544,P(μ -3σ <X ≤μ +3σ )=0.9974 二、重点题型 1.求离散型随机变量的概率——①列举法;②排列组合法;③模型法。 2.求条件概率——①公式法;②图解法。 3.概率分布列——一变量,二概率,三列表。 4.求离散型随机变量的数学期望——①公式法;②性质法;③模型法。 5.求离散型随机变量的方差——①公式法;②性质法;③模型法。 6.求正态分布在某区间的概率——①对称法;②验证法。 7.求正态分布的均值或方差——①解析法;②图象法。 三、思维训练 1.袋中有 4 个红球 3 个黑球,从袋中任取 4 个球,取到 1 个红球得 1 分,取到 1 个黑球得 3 分,设得分为随机变量 ξ ,则 P(ξ ≤6)= . 2.掷红、蓝两个骰子,事件 A=“红骰子出现 4 点”,事件 B=“蓝骰子出现偶数点数”,则 P(A|B)为( )

A. 1

2

B. 5

36

C. 1

12

D. 1

6

3.若随机变量 ξ ~B(n,0.6),且 E(ξ )=3,则 P(ξ =1)的值为 ( ) 4 5 4 4 A.2×0.4 B.2×0.4 C.3×0.4 D.3×0.6 2 4.已知 ξ ~N(0,8 )且 P(-2≤ξ ≤0)=0.4,则 P(ξ >2)等于( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 5.牧场的 10 头牛,因误食含疯牛病毒的饲料被感染,已知该病的发病率为 0.02,设发病 的牛的头数为 ξ ,则 D(ξ )= 。 6. 某车间在两天内,每天生产 10 件某产品,其中第一天、 第二天分别生产了 1 件、 2 件次品, 而质检部每天要在生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查,若发现有次品,则当天的产 品不能通过. (1)求两天全部通过检查的概率; (2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚 300 元,通过 1 天、 2 天分别奖 300 元、900 元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元? 2-3-3 统计案例 1.回归分析:①判断相关关系(画散点图或求相关系数) ,②求回归方程,③残差分析。 n n 2 .线性回归直线: y ? bx ? a ,样本点的中心 ? x , y ?
b ? i ?1 ,

?(x
n

i

? x)( yi ? y )
i

?(x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

i

? nx y
2

? x) 2

?x
i ?1

2 i

? nx



a ? y ? bx 。
3.残差分析:残差,残差图,残差平方和,总偏差平方和,相关指数 R (R 越大模型的拟 合效果越好) 。 2.独立性检验:分类变量;列联表;三维柱形图、二维条形图、等高条形图;
2 2

K2 ?

n?ad ? bc? ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
2
2

4.独立性检验的一般步骤:①设分类变量无关系,②列联表,③计算随机变量 K ,④查表 得无关概率。 二、重点题型 1.判断相关关系——①直觉法;②散点图;③相关系数。 2.线性回归直线——①公式法;②样本点中心;③验证法。 3.残差分析——①残差图;②相关指数。 4.独立性检验——①列联表;②柱(条)形图;③卡方法。 三、思维训练 1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别 求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 丙 丁 则 同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的 r 0.82 0.78 0.69 0.85 线性相关性。 m 106 115 124 103 2.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均 气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:

? ? bx ? a 中的 b≈-2.气象部门预测下个月的平均气温 由表中数据算出线性回归方程 y

约为 6℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为_______件。 3. 面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白 酒酿造企业市场部对该企业 9 月份的产品销量(单位:千箱)与单位成本的资料进行线性 回归分析,结果如下:

x=

7 , =71, 6 2 =79, 6 x y =1 481. ? = 1481 ? 6 ? 7 ? 71 ≈-1.818 2, ? =71-(-1.818 a b y ? xi ? i i 2 i ?1 i ?1 2 2
?7? 79 ? 6 ? ? ? ?2?

2)× 7 ≈77.36, 2 则销量每增加 1 000 箱,单位成本下降 元. 4.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时,采用独立性检验法抽查了 3 000 人,计算 发现 k=6.023,则根据这一数据查阅下表,市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的 可信程度是( )

P(K2≥k0) k0 A.90%

? ?

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

? ?

B.95%

C.97.5%
专业 性别 男 女 非统计专 业 13 7

D.99.5%

5.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 统计专业 10 20

为 了 检验 主 修统 计专 业 是否 与 性别 有关 系 , 根据 表 中的数 据 , 得到 k= 50(13 ? 20 ? 10 ? 7) ≈4.84. 23 ? 27 ? 20 ? 30 因 为 k≥3.841, 所 以 断 定 主 修 统 计 专 业 与 性 别 有 关 系 . 这 种 判 断 出 错 的 可 能 性 为 .
2

选修 4-1:几何证明选讲

一、选择题 1.已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、PR 的中点,当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时, 点 R 在 CD 上固定不变, 设 BP=x, EF=y, 那么下列结论中正确的是( )

A.y 是 x 的增函数 B.y 是 x 的减函数 C.y 随 x 的增大先增大再减小 D.无论 x 怎样变化,y 为常数 [答案] D

1 [解析] ∵E、F 分别为 AP、PR 中点,∴EF 是△PAR 的中位线,∴EF= AR,∵R 固定, 2 ∴AR 是常数,即 y 为常数. 2.(2010·湖南考试院)如图,四边形 ABCD 中,DF⊥AB,垂足为 F,DF=3,AF=2FB= 2,延长 FB 到 E,使 BE=FB,连结 BD,EC.若 BD∥EC,则四边形 ABCD 的面积为( )

A.4 B.5 C.6 D.7 [答案] C [解析] 由条件知 AF=2,BF=BE=1, 1 1 ∴S△ADE= AE×DF= ×4×3=6, 2 2 ∵CE∥DB,∴S△DBC=S△DBE,∴S 四边形 ABCD=S△ADE=6. 3.(2010·广东中山)如图,⊙O 与⊙O′相交于 A 和 B,PQ 切⊙O 于 P,交⊙O′于 Q 和

M,交 AB 的延长线于 N,MN=3,NQ=15,则 PN=(

)

A.3 B. 15 C.3 2 D.3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知:

PN2=NB·NA=MN·NQ=3×15=45,
∴PN=3 5.

4.如图,Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,CD=6,且 AD BD= 的中线 CE 的长为( )

,则斜边 AB 上

A.5 6 B. 5 6 2

C. 15 D. 3 10 2

[答案] B [解析] 设 AD=3x,则 DB=2x,由射影定理得 CD =AD·BD,∴36=6x ,∴x= 6, ∴AB=5 6, 1 5 6 ∴CE= AB= . 2 2 5.已知 f(x)=(x-2010)(x+2009)的图象与 x 轴、y 轴有三个不同的交点,有一个圆 恰好经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( A.(0,1) B.(0,2) C.(0, D.(0, [答案] A [解析] 由题意知圆与 x 轴交点为 A(2010,0), 2010 ) 2009 2009 ) 2010 )
2 2

B(-2009,0),与 y 轴交点为 C(0,-2010×2009),D(0,y2).设圆的方程为:x2+y2
+Dx+Ey+F=0 令 y=0 得 x +Dx+F=0,此方程两根为 2010 和-2009,∴F=-2010×2009 令 x=0 得 y +Ey-2010×2009=0 ∴-2010×2009×y2=-2010×2009 ∴y2=1,故选 A. [点评] 圆与 x 轴交点 A(2010,0), B(-2009,0)与 y 轴交点 C(0, -2010×2009), D(0,
2 2

y2),

∵A、C、B、D 四点共圆,∴AO·OB=OC·OD, ∴OD=1,∴y2=1. 6.设平面 π 与圆柱的轴的夹角为 β (0°<β <90°),现放入 Dandelin 双球使之与

圆柱面和平面 π 都相切,若已知 Dandelin 双球与平面 π 的两切点的距离恰好等于圆柱的 底面直径,则截线椭圆的离心率为( A. B. 1 2 2 2 3 3 3 2 )

C.

D.

[答案] B [解析] ∵Dandelin 双球与平面 π 的两切点是椭圆的焦点, 圆柱的底面直径恰好等于 椭圆的短轴长, ∴2b=2c,∴e= = 二、填空题 7.如图,PT 切⊙O 于点 T,PA 交⊙O 于 A、B 两点,且与直径 CT 交于点 D,CD=2,AD =3,BD=6,则 PB=________.

c a

c b +c
2

2



c
2c



2 . 2

[答案] 15 [解析] 由相交弦定理得 DC·DT=DA·DB,则 DT=9. 由切割线定理得 PT =PB·PA,即(PB+BD) -DT =PB(PB+AB).又 BD=6,AB=AD+BD =9,∴(PB+6) -9 =PB(PB+9),得 PB=15. 1 8.(09·天津)如图,AA1 与 BB1 相交于点 O,AB∥A1B1 且 AB= A1B1.若△AOB 的外接圆的 2 直径为 1,则△A1OB1 的外接圆的直径为______________.
2 2 2 2 2

[答案] 2 1 [解析] ∵AB∥A1B1 且 AB= A1B1,∴△AOB∽△A1OB1,∴两三角形外接圆的直径之比等 2 于相似比, ∴△A1OB1 的外接圆直径为 2. 9.如图,EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E=46°, ∠DCF=32°,则∠A 的度数是________.

[答案] 99° [解析] 连接 OB、OC、AC,根据弦切角定理得, ∠EBC=∠BAC,∠CAD=∠DCF, 1 可得∠A=∠BAC+∠CAD= (180°-∠E)+∠DCF=67°+32°=99°. 2 [点评] 可由 EB=EC 及∠E 求得∠ECB,由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD,由圆内接四边形 对角互补求得∠A. 10. PC 是⊙O 的切线, C 为切点, PAB 为割线, PC=4, PB=8, ∠B=30°, 则 BC=________.

[答案] 4 3 [解析] (1)由切割线定理 PC =PA·PB, ∴PA=2,∠ACP=∠B=30°, 在△PAC 中,由正弦定理 2 4 = , sin30° sin∠PAC
2

∴sin∠PAC=1, ∴∠PAC=90°,从而∠P=60°,∠PCB=90°, ∴BC= PB -PC = 8 -4 =4 3. 11.(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C,各段弧所在 的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等, 设第 i 段弧所对的圆心角为 α i(i=1,2,3), α 1 α 2+α 3 α 1 α 2+α 3 则 cos cos -sin sin =____________. 3 3 3 3
2 2 2 2

1 [答案] - 2 [解析] 如图,O1、O2、O3 为三个圆的圆心,A1、A2、A3 分别是每两个圆的交点,则∠A1PA2 1 +∠A2PA3+∠A3PA1= (α 1+α 2+α 3)=2π ,∴α 1+α 2+α 3=4π , 2

α 1 α 2+α 3 α 1 α 2+α ∴cos cos -sin sin 3 3 3 3

3

π? α 1+α 2+α 3 4π ? =cos =cos =cos?π + ? 3? 3 3 ? π 1 =-cos =- . 3 2 12.(2010·广东中山市四校联考)如图,PA 切圆 O 于点 A, 割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到

OD,则 PD 的长为________.
[答案] 7
2

[解析] 由图可知,PA =PB·PC=PB·(PB+BC)=3,∴PA= 3,∴∠AOP=60°,

又∠AOD=60°,∴∠POD=120°,∵PO=2,OD=1, 2 +1 -PD 1 ∴cos∠POD= =- ,∴PD= 7. 2×2×1 2 三、解答题 13.(2010·南京市调研)如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,PC 与⊙O 相 切于点 C,PC=AC=1,求⊙O 的半径.
2 2 2

[解析] 连接 OC. 设∠PAC=θ .因为 PC=AC,所以∠CPA=θ ,∠COP=2θ . 又因为 PC 与⊙O 相切于点 C,所以 OC⊥PC. 所以 3θ =90°.所以 θ =30°. 设⊙O 的半径为 r,在 Rt△POC 中,

r=CP·tan30°=1×

3 3 = . 3 3

14.(2010·江苏盐城调研)如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,求线段 AE 的长.

[解析] 连结 OC、BE、AC,则 BE⊥AE. ∵BC=4,∴OB=OC=BC=4,即△OBC 为正三角形, ∴∠CBO=∠COB=60°, 又直线 l 切⊙O 于 C, ∴∠DCA=∠CBO=60°, ∵AD⊥l,∴∠DAC=90°-60°=30°, 1 而∠OAC=∠ACO= ∠COB=30°,∴∠EAB=60°, 2 1 在 Rt△BAE 中,∠EBA=30°,∴AE= AB=4. 2 15. (2010·辽宁实验中学)如图, ⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,

E 为⊙O 上一点,AE=AC,DE 交 AB 于点 F,且 AB=2BP=4,

(1)求 PF 的长度. (2)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度. [解析] (1)连结 OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系, 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得∠CDE=∠AOC, 又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP, 从而∠PFD=∠OCP,故△PFD∽△PCO, ∴

PF PD = , PC PO

由割线定理知 PC·PD=PA·PB=12, 故 PF=

PC·PD 12 = =3. PO 4

(2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r, 因为 OF=2-r=1,即 r=1, 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点的圆 F 的切线为 PT, 则 PT =PB·PO=2×4=8,即 PT=2 2.
2

选修 4-4:坐标系与参数方程

选修 4-5:不等式选讲
一、选择题 1.(文)(2010·深圳市深圳中学)不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( A.{x|x>1} C.{x|x≥1 且 x=-2} [答案] D [解析] 不等式化为?
?x-1≥0 ? ?x+2≥0 ?

)

B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x=-2}

或 x+2=0,

∴x≥1 或 x=-2,故选 D. (理)(2010·天津文, 7)设集合 A={x|x-a|<1, x∈R}, B={x|1<x<5, x∈R}, 若 A∩B =?,则实数 a 的取值范围是( A.{a|0≤a≤6} B.{a|≤2,或 a≥4} C.{a|a≤0,或 a≥6} D.{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x-a|<1?a-1<x<a+1,又∵A∩B=?, ∴a+1≤1 或 a-1≥5,∴a≤0 或 a≥6. 2 .(2010·湖南株洲二中) 已知函数 f(x) 的定义域为 [- 2,+∞),部分对应值如下 表. f ′(x)为 f(x)的导函数, 函数 y=f ′(x)的图象如图所示. 若实数 a 满足 f(2a+1)<1, 则 a 的取值范围是( ) )

x f(x)

-2 1

0 -1

4 1

? 3? A.?0, ? ? 2? ?1 7? C.? , ? ?2 2?
[答案] D

? 1 3? B.?- , ? ? 2 2? ? 3 3? D.?- , ? ? 2 2?

[解析] 由 f ′(x)的图象知,f(x)在[-2,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, 3 3 又由表知若 f(2a+1)<1,则-2<2a+1<4,∴- <a< . 2 2 1 3 7 2 2 3.已知函数 f(x)= x -x - x,则 f(-a )与 f(-1)的大小关系为( 2 2 A.f(-a )≤f(-1) B.f(-a )<f(-1) C.f(-a )≥f(-1)
2 2 2

)

D.f(-a )与 f(-1)的大小关系不确定 [答案] A [分析] 比较函数值的大小,一般可考虑应用函数的单调性,故可先用导数研究 f(x) 的单调性,再在单调区间内比较大小. 3 2 7 [解析] 由题意可得 f ′(x)= x -2x- . 2 2 1 7 由 f ′(x)= (3x-7)(x+1)=0,得 x=-1 或 x= . 2 3 7 当 x<-1 时,f(x)为增函数;当-1<x< 时,f(x)为减函数. 3 7? ? 所以 f(-1)是函数 f(x)在?-∞, ?上的最大值, 3? ? 又因为-a ≤0,故 f(-a )≤f(-1). 4.(2010·河北唐山)若 a +b >1,则下列不等式成立的是( A.|a|+|b|>1 C.|ab|>1 [答案] A [解析] 取 a=0,b=2,排除 C、D;取 a=-1,b=1,排除 B,故选 A. 5.(2010·重庆南开中学)已知实数 x 满足 x +x<0,则 x ,x,-x 的大小关系是( A.-x<x<x
2 2 2 2 2 2 2 2

2

)

B.|a+b|>1 D.|a|>1 且|b|>1

)

B.x<-x<x
2

2

C.x <x<-x [答案] D

D.x<x <-x

[解析] ∵x +x<0,∴-1<x<0, ∴0<x <1,0<-x<1, 又 x -(-x)=x +x<0, ∴x <-x,故 x<x <-x. 1 2 2 [点评] 可取特值检验,由 x +x<0 得-1<x<0,取 x=- 知,x<x <-x. 3 6.(文)(2010·河南南阳市调研)不等式? A.{x|0<x<1} C.{x|x>0} [答案] B [解析] ∵?
2 2 2 2 2

2

? x ?> x 的解集为( ? ?1-x? 1-x

)

B.{x|x<0 或 x>1} D.{x|x<1}

? x ?> x ,∴ x <0, ? 1-x ?1-x? 1-x

∴x(x-1)>0,∴x<0 或 x>1.

(理)(2010·重庆市)不等式? A.{x|0<x<2} C.{x|1<x<2} [答案] B

?2x-1?>2-1的解集是( ? x ? x ?
1 B.{x|0<x< } 2 1 D.{x|x> } 2

)

?2x-1?>2-1,即?2-1?>2-1, [解析] ? ? ? x? x x ? x ? ? ?
1 1 ∴2- <0,∴0<x< . x 2 1 1 1 [点评] a≥0 时,|a|=a;a<0 时,|a|=-a>a.由 >2 不要仅得出 x< ,应注意 >2 隐 x 2 x 含 x>0. 1 ? ?lnx x>0 7.(2010·金华十校)已知 f(x)=? 1 ?x x<0 ? A.(-∞,-1)∪(0,e) B.(-∞,-1)∪(e,+∞) C.(-1,0)∪(e,+∞) D.(-1,0)∪(0,e) [答案] A [解析] 不等式 f(x)>-1 化为

,则 f(x)>-1 的解集为(

)

x>0 ? ? ? 1 ln >-1 ? ? x x e

x<0 ? ? 或?1 >-1 ? ?x



1 1 ∴ > 或 x<-1,∴0<x<e 或 x<-1. 8. (文)(2010·山东肥城联考)已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x +x-6<0 的解集是 B,不等式 x +ax+b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于( A.-3 C.-1 [答案] A [解析] 由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},A∩B={x|-1<x<2}, 由根与系数的关系可知:a=-1,b=-2,选 A. (理)(2010·山东肥城联考)关于 x 的不等式 x -ax-20a <0 任意两个解的差不超过 9,
2 2 2 2 2

)

B.1 D.3

则 a 的最大值与最小值的和是( A.2 C.0 [答案] C

) B.1 D.-1

[解析] 方程 x -ax-20a =0 的两根是 x1=-4a,x2=5a,则由关于 x 的不等式 x -

2

2

2

ax-20a2<0 任意两个解的差不超过 9,得|x1-x2|=|9a|≤9,即-1≤a≤1,且 a≠0,故选
C. 9.(2010·浙江杭州质检)设函数 f(x)=ln(x-1)(2-x)的定义域是 A,函数 g(x)= ln( a -2 -1)的定义域是 B,若 A?B,则正数 a 的取值范围是( A.a>3 C.a> 5 [答案] B [解析] 由(x-1)(2-x)>0 得:1<x<2,∴A={x|1<x<2};由 a -2 -1>0 得 a -2 >1, ∴a >2 +1,其解集为 B,∴A?B,∴a≥3. [点评] 显然当 0<a<1 时,a >2 +1 在(1,2)上不成立,∴a>1,在同一坐标系中作出 y =a 与 y=2 +1 的图象,要使 A?B,须使 y=a 在(1,2)上的图象位于 y=2 +1 的上方,当
x x x x x x x x x x x x x x

)

B.a≥3 D.a≥ 5

a=1 时,y=21+1=3,故 a≥3.

10.(文)(2010·北京顺义一中月考)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个 函数, 若对任意 x∈[a, b], 都有|f(x)-g(x)|≤1 成立, 则称 f(x)和 g(x)在[a, b]上是“密 切函数”,区间[a,b]称为“密切区间”.若 f(x)=x -3x+4 与 g(x)=2x-3 在[a,b]上 是“密切函数”,则其“密切区间”可以是( A.[1,4] C.[3,4] [答案] D [解析] 对任意 x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|=|x -3x+4-(2x-3)|=|x -5x+7| 5 2 3 5 2 3 5 2 1 =|(x- ) + |=(x- ) + ≤1 成立,∴(x- ) ≤ , 2 4 2 4 2 4 ∴2≤x≤3,因此选 D.
2 2 2

)

B.[2,4] D.[2,3]

?x ? (理)已知函数 f(x )=? ?-x ?

2

x x
)

?1-x ? , g(x)=? ?1+x ?

x x

, 若 g[f(x)]≥a

恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0] C.[0,1] [答案] B

B.(-∞,1] D.[-1,1]

[解析] ①x≥0 时,f(x)=-x≤0, ∴g[f(x)]=g(-x)=1-(-x)=1+x; ②当 x<0 时,f(x)=x >0, ∴g[f(x)]=g(x )=1+x ; ∴g[f(x)]min=g[f(0)]=1,由 g[f(x)]≥a 恒成立, 得 a≤1. 二、填空题 11. (文)(2010·芜湖十二中)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数, 当 x<0 时, f(x) 是单调递增的,则不等式 f(x+1)>f(1-2x)的解集是________. [答案] (-∞,0)∪(2,+∞) [解析] ∵f(x)在(-∞,0)上单调增,f(x)是偶函数,∴f(x)在(0,+∞)上单调减, ∵f(x)为偶函数,∴不等式 f(x+1)>f(1-2x)化为 f(|x+1|)>f(|1-2x|) ∴|x+1|<|1-2x|,∴(x+1) <(1-2x) , ∴x<0 或 x>2.
?1 ? (理)已知 f(x)=? ? ?0
2 2 2 2 2

x x

,则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是________.

[答案] (-∞,1]
? ?2x≤2 [解析] 原不等式化为①? ?x≥0 ?

或②?

? ?x≤2, ?x<0 ?

它们的解集分别为[0,1],(-∞,0),取并集得原不等式的解集为(-∞,1]. 12.若命题“? a∈[1,3],使 ax +(a-2)x-2>0”为真命题,则实数 x 的取值范围是 ________. 2 [答案] x<-1 或 x> 3 [分析] 本题解题时要注意, “? a∈[1,3], 使??为真命题”与“? a∈[1,3], 使?? 为真命题”含义的不同.然后进行等价转化. [解析] 令 m(a)=ax +(a-2)x-2=(x +x)a-2x-2,m(a)是关于 a 的一次函数, ∵命题“? a∈[1,3],使 ax +(a-2)x-2>0”为真命题, ∴m(1)>0 或 m(3)>0,
2 2 2 2

即 x -x-2>0 ①或 3x +x-2>0 ②, 2 由①得 x<-1 或 x>2;由②得 x<-1 或 x> . 3 2 所以,所求实数 x 的取值范围是 x<-1 或 x> . 3 13.(2010·湖北黄冈)若规定? 集为________. [答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 据题意?

2

2

? a b ? ? 1 1 ? ?=|ad-bc|,则不等式 log 2? ?<0 的解 ? c d ? ? 1 x ?

? 1 1 ? ?=|x-1|, ? 1 x? ? 1 1 ? ?<0 化为 log 2|x-1|<0, ? 1 x ?

∴不等式 log 2?

∴0<|x-1|<1,∴1<x<2 或 0<x<1. 14.(2010·上海奉贤区调研)不等式|x|≥a(x+1)对任意的实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是________. [答案] [-1,0] [解析] 如图,当直线 l 逆时针旋转到与 x 轴重合时,直线 l 总在 y=|x|的图象的下 方,∴-1≤a≤0.

三、解答题 15.(文)已知关于 x 的不等式: (1)当 a=1 时,解该不等式; (2)当 a>0 时,解该不等式. 2x-3 [解析] (1)当 a=1 时,不等式化为 <1, x-1 化为

a+ x-3 <1. x-1

x-2 <0,∴1<x<2, x-1

解集为{x|1<x<2}.

(2)a>0 时,

a+ x-3 ax-2 <1? <0 x-1 x- 1

?(ax-2)(x-1)<0, 2 方程(ax-2)(x-1)=0 的两根 x1= ,x2=1.

a

2 ①当 =1 即 a=2 时,解集为?

a a a

2 2 ②当 >1 即 0<a<2 时,解集为{x|1<x< }.

a

2 2 ③当 <1 即 a>2 时,解集为{x| <x<1}.

a

(理)(2010·山师大附中模考)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x +a)<1 对一切实数 x 都成立.求实数 a 的取值范围. [解析] 由已知:(x-a)?(x+a)<1, ∴(x-a)(1-x-a)<1, 即 a -a-1<x -x. 令 t=x -x,只需 a -a-1<tmin.
2 2 2 2

t=x2-x=?x- ?2- ,∵x∈R,∴t≥- . 2

? ?

1?

?

1 4

1 4

1 2 2 ∴a -a-1<- ,即 4a -4a-3<0, 4

? 1 3? 解得:a∈?- , ?. ? 2 2?
16. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律: 每生 产产品 x(百台),其总成本为 G(x)(万元),其中固定成本为 2 万元,并且每生产 1 百台的生 产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本);销售收入 R(x)(万元)满足:

R(x)=?
? ?

?-0.4x +4.2x-0.8 ?

2

x

x



假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律. (1)要使工厂有赢利,产量 x 应控制在什么范围内? (2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多? [解析] 依题意,G(x)=x+2 设利润函数为 f(x),则

f(x)=?

?-0.4x +3.2x- ? ? ?8.2-x

2

x



x
2

(1)要使工厂有赢利,即解不等式 f(x)>0,当 0≤x≤5 时,解不等式-0.4x +3.2x- 2.8>0

即 x -8x+7<0,得 1<x<7, ∴1<x≤5. 当 x>5 时,解不等式 8.2-x>0,得 x<8.2, ∴5<x<8.2 综上所述,要使工厂赢利,x 应满足 1<x<8.2,即产品产量应控制在大于 100 台,小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4) +3.6 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2 所以,当工厂生产 400 台产品时,赢利最多. 1 4 3 2 17.已知函数 f(x)= x +bx +cx +dx+e(x∈R)在 x=0 和 x=1 处取得极值. 2 (1)求 d 的值及 b,c 的关系式(用 c 表示 b),并指出 c 的取值范围; (2)若函数 f(x)在 x=0 处取得极大值. ①判断 c 的取值范围; ②若此时函数 f(x)在 x=1 时取得最小值,求 c 的取值范围. [解析] (1)∵f ′(x)=2x +3bx +2cx+d, 又∵f ′(0)=f ′(1)=0,
? ?d=0 ∴? ?2+3b+2c+d=0 ?
3 3 2 2

2

d=0 ? ? ,∴? 2c+2 b=- ? 3 ?
2

.

∵f ′(x)=2x -2(c+1)x +2cx, 即 f ′(x)=2x(x-1)(x-c), ∵f(x)在 x=0 和 x=1 处取得极值. ∴c≠0 且 c≠1, 即 c 的取值范围是{c∈R|c≠0 且 c≠1}. (2)①∵f ′(x)=2x(x-1)(x-c), ∴若 c<0.当 x∈(c,0)时 f ′(x)>0,当 x∈(0,1)时,f ′(x)<0,∴f(x)在 x=0 处取 得极大值; 若 0<c<1,当 x∈(-∞,0)时 f ′(x)<0,当 x∈(0,c)时 f ′(x)>0,∴f(x)在 x=0 处取得极小值; 若 c>1,当 x∈(-∞,0)时 f ′(x)<0,当 x∈(0,1)时 f ′(x)>0,∴f(x)在 x=0 处 取得极小值. 综上,若 f(x)在 x=0 处取得极大值,则 c 的范围为(-∞,0). ②若 c<0, 当 x∈(-∞, c)时 f ′(x)<0, x∈(c,0)时 f ′(x)>0, x∈(0,1)时 f ′(x)<0,

x∈(1,+∞)时 f ′(x)>0,∴函数 f(x)只能在 x=c 或 x=1 处取得最小值.要使 f(x)在 x
=1 处取得最小值,只要使得 f(c)≥f(1). 1 4 ∴ c- 2
4 3

c+
3

c3

1 2c+2 3 +c +e≥ - +c+e. 2 3
3

∴c -2c +2c-1≤0,即(c-1) (c+1)≤0. ∵c<0,∴-1≤c<0,即 c 的取值范围是[-1,0).


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