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复变课件5-1_图文


第一节

孤立奇点

一、孤立奇点的概念

二、函数的零点与极点的关系
三、函数在无穷远点的性态

一、孤立奇点的概念
定义 如果函数 f (z )在 z0 不解析,但 f (z ) 在 z0 的某一去心邻域 0 ? z ? z0 ? ? 内处处解析, 则称
z0 为 f (z ) 的孤立奇点.

sin z 例1 z ? 0 是函数 e , 的孤立奇点. z 1 z ? ?1是函数 的孤立奇点. z ?1
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
2

1 z

例2 指出函数 f ( z ) ? 解 函数的奇点为

z2 sin

在点 z ? 0 的奇点特性. 1
z

1 z ? 0, z ? ( k ? ?1 , ? 2 ,?) k? 1 lim ? 0, 因为:?? k k?

即在 z ? 0 的不论怎样小的去心邻域内,总有 f (z ) 的奇点存在, 所以 z ? 0 不是孤立奇点.
3

孤立奇点的分类 依据 f (z ) 在其孤立奇点 z0 的去心邻域

0 ? z ? z0 ? ? 内的洛朗级数的情况分为三类:
1.可去奇点; 2.极点; 3.本性奇点.
1.可去奇点

1) 定义 如果洛朗级数中不含 z ? z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z )的可去奇点.
4

, 说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点

f ( z ) ? c0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 )n ? ? .
( 0 ? z ? z0 ? ? )
其和函数 F (z ) 为在 z0 解析的函数. (2) 无论 f (z ) 在 z0 是否有定义, 补充定义
f ( z0 ) ? c0 , 则函数 f (z ) 在 z0 解析.
f ( z0 ) ? lim f ( z )
z? z0

? F ( z ) , z ? z0 f (z) ? ? ? c0 , z ? z0
5

2)

可去奇点的判定

(1)由定义判断: 如果 f (z ) 在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 z0 为 f (z ) 的可去奇点. (2)判断极限lim f ( z ) : 若极限存在且为有限值, z? z
0

则 z0 为 f (z ) 的可去奇点.

6

例3

sin z 1 2 1 4 ? 1 ? z ? z ? ? 中不含负幂项, z 3! 5!

sin z z?0 是 的可去奇点 . z
如果补充定义:

z ? 0 时,

sin z ? 1, z

sin z 那末 在 z ? 0 解析. z
7

ez ? 1 例4 说明 z ? 0 为 的可去奇点. z

ez ?1 另解:因为 lim z ? 1, z ?0
z

ez ? 1 所以 z ? 0 为 的可去奇点. z

1 2 1 n ez ? 1 1 解 ? (1 ? z ? z ? ? ? z ? ? ? 1) z 2! n! z 1 1 n ?1 ? 1 ? z ? ? ? z ? ?, 0 ? z ? ?? 2! n! 无负幂项

e ?1 的可去奇点. 所以 z ? 0 为 z
8

2. 极点 1) 定义如果洛朗级数中只有有限多个 z ? z0 的

( z ? z0 )?1 的最高幂为 ( z ? z0 )? m , 负幂项, 其中关于


f ( z ) ? c?m ( z ? z0 ) ? ? ? c?2 ( z ? z0 ) ? c?1 ( z ? z0 )
? c0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ?

?m

?2

?1

( m ? 1, c?m ? 0)

或写成

1 f (z) ? m g( z ) , ( z ? z0 )

那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z ) 的 m 级极点.
9

说明: (1)

g( z ) ? c? m ? c? m ?1 ( z ? z0 ) ? c? m ? 2 ( z ? z0 )2 ? ?
特点: 1. 在 z ? z0 ? ?内是解析函数 2. g( z0 ) ? 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z ) 的极点 , 则
lim f ( z ) ? ? .

3z ? 2 , 例5 有理分式函数 f ( z ) ? 2 z ( z ? 2)

z ? z0

z ? 0 是二级极点, z ? ?2 是一级极点.
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2)极点的判定方法
(1)由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z ? z0 的负幂项为有限项.

(2)由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ? ( z ? z0 ) m

其中 g (z )在 z0 的邻域内解析,且g( z0 ) ? 0. (3)利用极限 lim f ( z ) ? ? 判断 . z? z
0

11

课堂练习

1 求 3 的奇点,如果是极点,指出它的 级数. 2 z ? z ? z ?1
答案

1 1 由于 3 ? 2, 2 z ? z ? z ? 1 ( z ? 1)( z ? 1)
所以 : z ? ?1是函数的一级极点 , z ? 1是函数的二级极点 .

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3. 本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个 z ? z0 的负幂项,

那末孤立奇点 z 0 称为 f (z ) 的本性奇点.
1 ?2 1 ?n 例如, e ? 1 ? z ? z ? ? ? z ? ?, 2! n! 含有无穷多个z的负幂项 (0 ? z ? ?)
?1 1 z

所以 z ? 0 为本性奇点,同时 lim e 不存在.
z ?0

1 z

特点: 在本性奇点的邻域内lim f ( z )不存在且不
z? z0

为?.
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综上所述:
孤立奇点 可去奇点 洛朗级数特点 无负幂项
lim f ( z )
z? z0

存在且为 有限值
?

含有限个负幂项 m级极点 关于( z ? z0 )?1的最高幂 为 ( z ? z0 ) ? m 本性奇点 含无穷多个负幂项

不存在 且不为 ?
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二、函数的零点与极点的关系
1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z ) 如果 能表示成 f ( z ) ? ( z ? z0 ) ? ( z ), 其中 ? (z ) 在 z0
m

解析且 ? ( z0 ) ? 0, m为某一正整数, 那末 z0 称为
f (z ) 的 m 级零点.

例6

z ? 0是函数 f ( z ) ? z( z ? 1)3 的一级零点, z ? 1是函数 f ( z ) ? z( z ? 1)3 的三级零点 .

注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
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2.零点的判定
z 如果 f (z ) 在 z0 解析, 那末 0 为 f (z ) 的 m 级

零点的充要条件是

f ( n ) ( z0 ) ? 0, ( n ? 0,1,2,?m ? 1); f ( m ) ( z0 ) ? 0.

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例7

求以下函数的零点及级数: (1) f ( z ) ? z 3 ? 1, (2) f ( z ) ? sin z .

(1)由于 f ?(1) ? 3 z 2 z ?1 ? 3 ? 0, 解 知 z ? 1 是 f (z ) 的一级零点 . (2)由于 f ?(0) ? cos z z ? 0 ? 1 ? 0, 知 z ? 0是 f (z ) 的一级零点.

课堂练习 求 f ( z ) ? z 5 ( z 2 ? 1)2 的零点及级数 .
答案

z ? 0 是五级零点, z ? ? i 是二级零点.
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3.零点与极点的关系

定理

如果 z0 是 f (z ) 的m 级极点,那末 z0 就是 1 的 m 级零点. 反过来也成立. f (z) 如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 则有 1 ( g( z0 ) ? 0) f (z) ? m g( z ) ( z ? z0 )



1 m 1 ? ( z ? z0 ) 当 z ? z0 时 , ? ( z ? z0 )m h( z ) f (z) g( z )
函数 h( z0 ) 在 z0 解析且 h( z0 ) ? 0.
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1 1 ? 0, ? 0, 只要令 由于 lim z ? z0 f ( z ) f ( z0 )

1 的m 级零点. 那末z0 就是 f (z) 1 的m 级零点, 反之如果 z0 是 f (z) 1 解析且? ( z0 ) ? 0 ? ( z ? z0 )m ? ( z ), 那末 f (z) 1 1 ? (z) ? 当 z ? z0时, f ( z ) ? m ? ( z ), ? (z) ( z ? z0 )
所以 z0 是 f (z ) 的 m 级极点.
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说明

此定理为判断函数的极点提供了一个较为

简便的方法. 1 例8 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级. 解 函数的奇点是使 sin z ? 0 的点, 这些奇点是 z ? k? ( k ? 0 , ? 1 , ? 2?) . 是孤立奇点.
因为 (sin z )? z ? k? ? cos z z ? k? ? ( ?1)k ? 0, 1 所以 z ? k? 是 sin z的一级零点, 的一级极点. 即 sin z
20

ez ? 1 的二级极点吗? 例9 问 z ? 0 是 2 z


? ez ? 1 1 ? ? zn ? 2 ? ? ? 1? 2 z z ? n?0 n! ? ? ?

解析且? (0) ? 0

1 1 z 1 ? ? ? ? ? ? ? ( z ), z 2! 3! z

所以 z ? 0 不是二级极点, 而是一级极点.
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .

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三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z ) 在无穷远点 z ? ? 的去心 邻域 R ? z ? ?? 内解析, 则称点 为 f (z ) 的孤 ? 立奇点.

y R x

o

22

1 ? 1 ? ? ? (t ), 规定此变换将: 令变换 t ? :则 f ( z ) ? f ? ? z ?t?

z??
扩充 z 平面

映射为
映射为

t ? 0,
扩充 t 平面

1? 映射为 ? { zn } ( zn ? ? ) ? t n ? ? ( t n ? 0) zn ? ?
1 R ? z ? ?? 映射为 0 ? t ? R
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结论: 在去心邻域 R ? z ? ?? 内对函数 f (z ) 的研究 1 内对函数 ? (t ) 的研究 在去心邻域 0 ? t ? R 1 因为 ? (t ) 在去心邻域 0 ? t ? 内是解析的, R 所以 t ? 0 是 ? (t ) 的孤立奇点. 规定: 如果t=0 是? (t ) 的可去奇点、m级奇点或
本性奇点, 那末就称点z ? ? 是 f (z ) 的可去奇点、

m级奇点或本性奇点 .
24

2.判别方法: 判别法1 (利用洛朗级数的特点) 如果 f (z ) 在 R ? z ? ??内的洛朗级数中:

1)不含正幂项;
z m 为最高正幂; 2)含有有限多的正幂项且

3)含有无穷多的正幂项; 那末 z ? ? 是 f (z ) 的 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 .
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z 在圆环域 1 ? z ? ?? 例10 (1)函数f ( z ) ? z ?1
内的洛朗展开式为:

1 1 n 1 f (z) ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ( ?1) n ? ? 1 z z z 1? z 不含正幂项
所以 z ? ? 是 f (z ) 的可去奇点 .

1

1 (2)函数f ( z ) ? z ? 含有正幂项且 z 为最高正 z
幂项,所以z ? ? 是 f (z ) 的 m级极点.
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(3)函数sin z 的展开式:

z3 z5 z 2 n ?1 sin z ? z ? ? ? ? ? ?? 3! 5! ( 2n ? 1)!
含有无穷多的正幂项 所以 z ? ? 是 f (z ) 的本性奇点. 课堂练习 说出函数 f ( z ) ? z ? e 的奇点及其 类型. 答案 z ? ?是一级极点, z ? 0是本性奇点.
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1 z

判别法2 : (利用极限特点) 如果极限
lim f ( z )
z ??

1)存在且为有限值 ; 2)无穷大;

3)不存在且不为无穷大 ;
那末 z ? ? 是 f (z ) 的1)可去奇点 ; 2)m级极点 ; 3)本性奇点 .
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( z 2 ? 1)( z ? 2)3 在扩充复平面内 例11 函数f ( z ) ? 3 (sin ?z )
有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解 函数 f (z ) 除点 z ? 0 , ? 1 , ? 2? 外, 在 z ? ?? 内解析 .
因(sin ?z )? ? cos ?z 在 z ? 0 , ? 1 , ? 2,?处均不为零.

所以这些点都是 sin ?z 的一级零点, 故这些点中除1,-1,2外,都是 f (z )的三级极点.
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因 z 2 ? 1 ? ( z ? 1)( z ? 1), 以1与 ? 1为一级零点,
所以 1与 ? 1是 f ( z )的 2 级极点.

当 z ? 2时,
( z 2 ? 1)( z ? 2)3 因为 lim f ( z ) ? lim z?2 z?2 (sin ?z )3 3 ? 3, ?
那末 z ? 2 是 f (z ) 的可去奇点.
30

? 1 ? (1 ? ? 2 )(1 ? 2? )3 , 当 z ? ?时, 因为 f ? ? ? 2 3? ?? ? ? sin

?

1 1 ?1? ? ? 0,? n ? 使分母为零,? n ? 为 f ? ?的极点, n n ?? ?

当 n ? ?时,? n ? 0,
?1? 故? ? 0 不是 f ? ?的孤立奇点, ?? ?

所以 z ? ? 不是 f (z ) 的孤立奇点.
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