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[精选+详解2013届高三数学名校试题汇编(第1期)专题03 导数与应用(文)


专题 03 导数与应用(文)

一.基础题

1.【2012-2013 北京市朝阳区高三期中】曲线 f (x) ? ex 在 x ? 0 处的切线方程为( ) x ?1

A. x ? y ?1 ? 0

B. x ? y ?1 ? 0 C. 2x ? y ?1 ? 0 D. 2x ? y ?1 ? 0

2. 【 2012 河 北 省 名 校 名 师 俱 乐 部 高 三 第 二 次 调 研 考 试 】 下 图 中 , 有 一 个 是 函 数
f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? (a2 ?1)x ?1, (a ? R, a ? 0) 的导函数 f ' (x) 的图像,则 f (?1) 等于 3

A. 1 3

B. ? 1 3

C. 7 3

D. ? 1 或 5 33

3.【2012-2013 学年度河北省普通高中 11 月高三教学质量监测】已知 f (x) ? x(1? | x |) ,则 f ' (1) ? f ' (?1) ?

4.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】

曲线 f (x) ? x3 ? x 2 f ' (1) 在点 (2, m) 处的切线斜率为



二.能力题

1.【2013 届河北省重点中学联合考试】已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,且 f(x)<0,

则关于函数 g(x) ? x2 f (x) 的单调性,叙述一定正确的是( )

A、在(- ? ,0)上是减函数
C、在 R 上是增函数

B、在(- ? ,0)上是增函数
D、在 R 上是减函数

2.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】

设函数 f ?x? ?

3 sin ? 3

x3

?

cos ? 2

x2

?

4x

?

1

,其中

?

?

???0,56?

? ??

,则导数

f

???1? 的取值

范围是( )

A. [3,6]

B.[3,4 ? 3] C.[4 ? 3,6]

D.[4 ? 3,4 ? 3]

3.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】已知函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在

x ? 1处有极值10 ,则 f (2) 等于(

)

A.11或18

B.11

C.18

D.17 或18

4.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且

f

(2)

?

0 ,当

x

?

0

时,有

xf

'(x) ? x2

f

(x)

?

0 恒成立,则不等式

x2

f

(x)

?

0 的解集是

16.已知函数 f (x) 的定义域[-1,5],部分对应值如表, f (x) 的导函数 y ? f '(x) 的图象
如图所示, x -1 0 2 4 5
F(x) 1 2 1.5 2 1
下列关于函数 f (x) 的命题;

①函数 f (x) 的值域为[1,2];

②函数 f (x) 在[0,2]上是减函数

③如果当 x ?[?1, t] 时, f (x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;

④当1 ? a ? 2 时,函数 y ? f (x) ? a 最多有 4 个零点.

其中正确命题的序号是

.

【答案】①②④

【解析】由导数图象可知,当 ?1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f '(x) ? 0 ,函数单调递增,当

0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 , f '(x) ? 0 ,函数单调递减,当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数取得极大值

f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,当 x ? 2 时,函数取得极小值 f (2) ,,又 f (?1) ? f (5) ? 1,所以函

数的最大值为 2,最小值为 1,值域为[1, 2] ,①正确;②正确;因为在当 x ? 0 和 x ? 4 ,

函数取得极大值 f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,要使当 x ?[?1,t] 函数 f (x) 的最大值是 4,当

2 ? t ? 5 ,所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f (x) ? a 知,因为极小值 f (2) ? 1.5 ,

极大值为 f (0) ? f (4) ? 2 ,所以当1 ? a ? 2 时, y ? f (x) ? a 最多有 4 个零点,所以④正

确,所以真命题的序号为①②④. 5.【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】

已知函数

f

(x)

?

x2

ex ? ax

(a ?1

?

0) ,

(Ⅰ)试讨论函数 f (x) 的单调区间;
(Ⅱ)若 a ? 2 ,不等式 f (x) ? kx 对于任意的 x ? R 恒成立,求 k 的取值范围 3
解:(Ⅰ)

f

/

(x)

?

ex (x2 ? ax ?1? 2x (x2 ? ax ?1)2

?

a)

?

ex (x2 ? (a ? 2)x ?1? (x2 ? ax ?1)2

a)

?

ex (x ?1)(x ? (a ?1)) (x2 ? ax ?1)2

当a

?

0 时,函数定义域为 R



f

/ (x)

?

ex (x ?1)2 (x2 ?1)2

?

0,?

f

(x)

在R

上单调递增

当 a ? (0, 2) 时 , ? ? a2 ? 4 ? 0,? x2 ? ax ?1 ? 0 恒 成 立 , 函 数 定 义 域 为 R , 又

a ?1 ? 1,? f (x) 在 (??,1) 单调递增, (1,1? a) 单调递减, (1? a, ??) 单调递增

当 a ? 2 时,函数定义域为 (??,1) ? (1, ??) , f / (x) ? ex (x ? 3) ,? f (x) 在 (??,1) 单调递 (x ?1)
增, (1,3) 单调递减, (3, ??) 单调递增

当 a ? (2, ??) 时, ? ? a2 ? 4 ? 0, 设 x2 ? ax ?1 ? 0 的两个根为 x1, x2 , 且 x1 ? x2 ,由韦达 定理易知两根均为正根,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,所以函数的定义域为 (??, x1) ? (x2 , ??) ,又

对称轴

x ? a ? a ?1 2

,且

(a ?1)2 ? a(a ?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0? x2

? a ?1 , ? f (x)



(??, x1), (x1,1) 单调递增, (1, x2 ), (x2 , a ?1) 单调递减, (1? a, ??) 单调递增

6.【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】(本小题满分 14 分) 已知函数

f (x) ? a(x ?1)2 ? ln x ? 1 .

(Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求函数 f (x) 的极值; 4
(Ⅱ)若函数 f (x) 在区间[2, 4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)当 x ?[1, ??) 时,函数

y

?

f

(x)

图象上的点都在

? ? ?

x y

? ?

1, x

?

所表示的平面区域内, 0

求实数 a 的取值范围.

(Ⅱ) f ?(x) ? 2a(x ?1) ? 1 ,∵函数 f (x) 在区间[2, 4] 上单调递减, x



f

?(x)

?

2a(x

? 1)

?

1 x

?

0

在区间 [2, 4] 上恒成立,即

2a

?

1 ?x2 ?

x

在 [2, 4] 上恒成立,只

需 2a 不大于 1 在 [2, 4] 上的最小值即可. ··················································6 分 ?x2 ? x

而1 ?

1

?x2 ? x ?(x ? 1)2 ? 1

(2

?

x

?

4)

,则当

2

?

x

?

4

时,

1 ?x2 ?

x

?[?

1 2

,

?

1] 12



24

∴ 2a ? ? 1 ,即 a ? ? 1 ,故实数 a 的取值范围是 (??, ? 1] . ···························8 分

2

4

4

(Ⅲ)因

f

(x)

图象上的点在

?x

? ?

y

? 1, ?x

?

0

所表示的平面区域内,即当

x

?[1,

??)

时,不等式

f (x) ? x 恒成立,即 a(x ?1)2 ? ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立,设 g(x) ? a(x ?1)2 ? ln x ? x ? 1( x ? 1 ),

只需 g(x)max ? 0 即可. ··················································································9 分

由 g?(x) ? 2a(x ?1) ? 1 ?1 ? 2ax2 ? (2a ? 1)x ? 1 ,

x

x

(ⅰ)当 a ? 0 时,g?(x) ? 1 ? x ,当 x ? 1 时,g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 在 (1, ??) 上单调递减, x

故 g(x) ? g(1) ? 0 成立.·················································································10



(ⅱ)当

a

?

0

时,由

g ?( x)

?

2ax2

?

(2a x

? 1)x

?1

?

2a(x

? 1)( x x

?

1) 2a

,令

g ?( x)

?

0

,得

x1

?

1



x2

?

1 2a



①若 1 ? 1,即 a ? 1 时,在区间 (1, ??) 上, g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 在 (1, ??) 上单调递增,

2a

2

函数 g(x) 在[1, ??) 上无最大值,不满足条件;

②若 1 ? 1,即 0 ? a ? 1 时,函数 g(x) 在 (1, 1 ) 上单调递减,在区间 ( 1 , ??) 上单调递

2a

2

2a

2a

增,同样 g(x) 在[1, ??) 上无最大值,不满足条件. ·············································12



2a(x ?1)(x ? 1 )

(ⅲ)当 a ? 0 时,由 g?(x) ?

2a ,因 x ? (1, ??) ,故 g?(x) ? 0 ,则函数 g(x)

x

在 (1, ??) 上单调递减,故 g(x) ? g(1) ? 0 成立.

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . ···················································14



7.【河北省唐山市 2012-2013 学年度高三年级摸底考试】 已知函致 f (x)=x3 十 bx2+cx+d.
(I)当 b=0 时,证明:曲线 y=f(x)与其在点(0, f(0))处的切线只有一个公共点; 〔1()若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切找为 12x.+y-13=0,记函数 y=f(x)的两个极值点 为 x1,x2,当 x1+x2=2 时,求 f(x1)+f(x2)。

三.拔高题
1.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? ln x ? x2 . (1)求函数 f (x) 的单调增区间;

(2)求函数 f (x) 在 (0, a](a ? 0) 上的最大值.
2. 【 山 西 大 学 附 属 中 学 2013 届 高 三 10 月 月 考 】( 本 小 题 12 分 ) 已 知 函 数
f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (x ? R, a ? 0) ,? 2 是 f (x) 的一个零点,又 f (x) 在 x ? 0 处有 极值,在区间 (?6,?4) 和 (?2,0) 上是单调的,且在这两个区间上的单调性相反.
(I)求 b 的取值范围; a
(II)当 b ? 3a 时,求使?y | y ? f (x),?3 ? x ? 2? ? ?? 3,2?成立的实数 a 的取值范围.

(Ⅱ)因为 b=3a,且-2 是 f (x) ? ax3 ? 3ax2 ? d 的一个零点, 所以 f (?2) ? ?8a ?12a ? d ? 0 ,所以 d=-4a, 从而 f (x) ? ax3 ? 3ax2 ? 4a 由 f ?(x) ? 3ax2 ? 6ax ,令 f ?(x) ? 0 时,
得:x=0 或 x=-2 列表讨论如下:

(-3,-2)

(-2,0)

(0,2)

x

-3

-2

a?0 a?0 0

a?0 a?0

a?0

2

a?0

f ?(x) 9a +



0

—+ 0

+

— 24a

f (x)
-4a

单调递 单调递 极 值 单 调 单 调 极值 单 调 单 调

16a





0

递减 递增 -4a 递增 递减

3.【浙江省考试院 2013 届高三上学期测试】((本题满分 15 分)已知函数 f (x)=x3-3ax+1, a∈R.
(Ⅰ) 求 f (x)的单调区间; (Ⅱ) 求所有的实数 a,使得不等式-1≤f (x)≤1 对 x
∈[0, 3 ]恒成立. 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质,及导数应用等基础知识,同时考查推理论
证能力。满分 15 分。 (Ⅰ) f ′(x)=3x2-3a. 当 a≤0 时,f ′(x)≥0 恒成立,故 f (x)的增区间是(-∞,+∞). 当 a>0 时,由 f ′(x)>0,得
x<- a 或 x> a ,
故 f (x)的增区间是(-∞,- a ]和[ a ,+∞),f (x)的减区间是[- a , a ]. ………… 7 分
(Ⅱ) 当 a≤0 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, 3 ]上递增,且 f (0)=1,此时无解.
当 0<a<3 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, a ]上递减,在[ a , 3 ]上递增,所以 f (x)在[0,

3 ]上的最小值为

f ( a )=1-2a a .

所以 即

? f ( a ) ? ?1,

?? ?

f

(

3) ? 1,

? ??

f

(0)

?

1,

??a a ? 1, ? ??a ? 1, 所以 a=1.

当 a≥3 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, 3 ]上递减,又 f (0)=1,所以

f ( 3 )=3 3 -3 3 a+1≥-1,

解得 此时无解.

a≤1+ 2 3 , 9

综上,所求的实数 a=1. ………… 15 分 4.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】(本小题满分 14 分)已知函数

f (x) ? ax3 ? x2 ? ax(a, x ? R) .

(1)当 a ? 1时,求函数 f (x) 的极值;

(2)若 f (x) 在区间[0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围;

(3)设函数 h(x) ? 1 f ?(x) ? (2a ? 1)x ? 8 a ?1, x ? ??1,b? , (b ? ?1) ,如果存在

3

33

a ????, ?1? ,对任意 x ???1,b? 都有 h(x) ? 0 成立,试求 b 的最大值.

(3)由 f ?(x) ? 3ax2 ? 2x ? a , h(x) ? 1 f ?(x) ? (2a ? 1)x ? 8 a ?1,

3

33

∴ h(x) ? ax2 ? (2a ?1)x ? (1? 3a) , x ???1,b?, (b ? ?1) ,

……………10 分

当 ?1 ? x ? b 时,令 ax2 ? (2a ?1)x ? (1? 3a) ? 0 ,………………①,

由 a ? ???, ?1? ,∴ h(x) 的图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得,
又 h(?1) ? ?4a ? 0 ,

……………11 分

∴不等式①恒成立的充要条件是 h(b) ? 0 ,即 ab2 ? (2a ?1)b ? (1? 3a) ? 0 ,

∵ b ? ?1,∴ b ?1 ? 0 ,且 a ? 0 ,∴ b2 ? 2b ? 3 ? ? 1 ,

b ?1

a

依题意这一关于 a 的不等式在区间 ???, ?1?上有解,



b2

? b

2b ? ?1

3

?

(?

1 a

)max

,即

b2

? b

2b ? ?1

3

?

1



b2

?

b

?

4

?

0



∴ ?1? 17 ? b ? ?1? 17 ,又 b ? ?1,故 ?1 ? b ? ?1? 17 ,

2

2

2

从而 bmax

?

?1 ? 2

17



………………14 分

5.【江西省九江一中 2013 届高三入学考试】已知 b> ?1,c>0,函数 f (x) ? x ? b 的图像

与函数 g(x) ? x2 ? bx ? c 的图像相切.

(1)设 b ? ?(c) ,求?(c) ;

(2)设 D(x) ? g(x) (其中 x> ?b )在[?1, ??) 上是增函数,求 c 的最小值; f (x)
⑶是否存在常数 c,使得函数 H (x) ? f (x)g(x) 在 (??, ??) 内有极值点?若存在,求出 c
的取值范围;若不存在,请说明理由.

(Ⅱ)依题设 D(x) ? x2 ? bx ? c ? x ? c ,

x?b

x?b

∴ D?(x) ? 1?

c (x ? b)2

?

(1 ?

c )(1? x?b

c ). x?b

∵ D(x) 在[?1, ??) 上是增函数,

∴ (1? c )(1? c ) ≥0 在[?1, ??) 上恒成立, x?b x?b
又 x> ?b ,c>0,∴上式等价于1? c ≥0 在[?1, ??) 上恒成立, x?b

即 c ≤ x ? b ,而由(Ⅰ)可知 c ≤ x ? 2 c ?1 ,

∴ c ≥1? x . 又函数1? x 在[?1, ??) 上的最大值为 2,

∴ c ≥2,解得 c≥4,即 c 的最小值为 4. (Ⅲ)由 H (x) ? (x ? b)(x2 ? bx ? c) ? x3 ? 2bx2 ? (b2 ? c)x ? bc ,

可得 H ?(x) ? 3x2 ? 4bx ? (b2 ? c) .

令 3x2 ? 4bx ? (b2 ? c) ? 0 ,依题设欲使函数 H (x) 在 (??, ??) 内有极值点,

则须满足 ? ? 4(b2 ? 3c) ? 4(c ? 4 c ?1) >0,

亦即 c ? 4 c ?1>0,解得 c < 2 ? 3 或 c > 2 ? 3 ,

又 c>0,∴0<c< 7 ? 4 3 或 c> 7 ? 4 3 .

故存在常数 c ? (0, 7 ? 4 3) (7 ? 4 3, ??) ,使得函数 H (x) 在 (??, ??) 内有极值
点.(注:若△≥0,则应扣 1 分.)

[解析]:第(1)节中,根据题意函数 f (x) ? x ? b 的图像与函数 g(x) ? x2 ? bx ? c 的图像 相切.则有 x ? b ? x2 ? bx ? c 中 ? ? 0,得到 b ? ?(c) ? 2 c ?1 。

第(2)节利用导函数与单调性的关系,建立不等式 (1?

x

c ?b

)(1 ?

x

c) ?b

≥0,由题意

(1? c ) ? 0 知 x ? b ,则不等式化简为1?

c ≥0,进而根据 x 的取值范围得到 c 的取值

x?b

范围。

第(3)节中,结合导函数图象可知,令 ? ? 4(b2 ? 3c) ? 4(c ? 4 c ?1) >0 时,函数

有极值点。(因当 ? ? 0时,如图可知函数不存在极值点,故求解时不能令 ? ? 0。)
6. 【 海 淀 区 2 0 1 3 届 高 三 年 级 第 一 学 期 期 中 练 习 】
已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax ?1 . 3
(Ⅰ)若 x ? 1 时,f (x) 取得极值,求 a 的值;

(Ⅱ)求 f (x) 在[0,1] 上的最小值; (Ⅲ)若对任意 m ? R ,直线 y ? ?x ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 a 的取值范围.

(III)因为 ?m ? R ,直线 y ? ?x ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,

所以 f'(x) ? x2 ? a ? ?1 对 x ? R 成立,

………………12 分

只要 f'(x) ? x2 ? a 的最小值大于 ?1 即可,

而 f'(x) ? x2 ? a 的最小值为 f (0) ? ?a

所以 ?a ? ?1,即 a ? 1

………………14 分

7.【河北省五校联盟 2012—2013 学年度第一学期调研考试】
(本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数 f (x) ? 1 ax3 ? bx2 ? cx ? 2 同时满足以下条件: 3
① f (x) 在 ?0,1? 上是减函数,在 ?1, ??? 上是增函数;

② f '(x) 是偶函数;

③ f (x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直.

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式;

(2)设

g(x)

?

?1 ?? 3

x3

?

f

(

x)

? ??

e

x

,求函数

g

(

x)

在?m, m ?1? 上的最小值.

8.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调考】(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx-x2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)求 f(x)在(0,a](a>0)上的最大值.
9.【吉林市普通中学 2012-2013 学年度高中毕业班摸底测试】
已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 3x (1) 若 f (x) 在区间[1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2) 若 x ? ? 1 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在[1, a] 上的最大值; 3 (3) 在(2)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g(x) ? bx 的图像与函数 f (x) 的图 象恰有 3 个交点?若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由

10.【四川省自贡市高 2013 届高三一诊试题(2013 自贡一诊)】

己知函数

的图像过原点,



,函数y=f(x)与y=g(x)的图像交于不同的两点A,B (I) y=F(x)在X = -1 处取得极大值2 , 求函数y=F(x)的单谲区间;

(II)若使g(x)=0的x值满足

,求线段在x轴上的射影长的取值 范围

(Ⅱ).
①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1时, f ?(x) ? 0,? f (x) 在 (0,??) 单调递减;--------8 分

②当 a ? 0 时, f ?(x) ? 0,? f (x) 在 (0,??) 单调递增;

--------9 分

③当 ?1 ? a ? 0 时,由 f ?(x) ? 0 得 x2 ? ? a ,? x ? ? a 或 x ? ? ? a (舍去)

a ?1

a ?1

a ?1

∴ f (x) 在 ( ? a ,??) 单调递增,在 (0, ? a ) 上单调递减;

a ?1

a ?1

综上,

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 单调递增;

-------10 分

当 ?1 ? a ? 0 时, f (x) 在 ( ? a ,??) 单调递增,在 (0, ? a ) 上单调递减.

a ?1

a ?1

当 a ? ?1时, f (x) 在 (0,??) 单调递减;

-------------14 分

11.【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检】
已知函数 f (x) ? ax ?1 ? ln x (a ? R) .

(1)讨论函数 f (x) 在定义域内的极值点的个数;

(2)若函数 f (x) 在 x ? 1处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f (x) ? bx ? 2 恒成立,

求实数 b 的取值范围.

12.【 四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试】

已知函数.

在x=2处的切线斜率为 .

(I )求实数a的值及函数f(x)的单调区间;

(II) 设

,对

恒成立,求实数k 的取值范围;

(III) 设

,证明:

.

13.【浙江省十校联合体 2013 届高三上学期期初联考】

已知函数 f (x) ? ln x ? ax (a ? R) .

(1)求 f (x) 的单调区间;(2)设 g(x) ? x2 ? 4x ? 2 ,若对任意 x1 ? (0, ??) ,均存在
x2 ??0, 1?,使得 f (x1) ? g(x2 ) ,求 a 的取值范围.

解:(1) f '(x) ? a ? 1 ? ax ? 1(x ? 0) , xx

………………2 分

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '(x) ? 0

………………3 分

所以, f (x) 的单调递增区间为 (0, ??) .

………………4 分

②当 a ? 0 时,由 f '(x) ? 0 ,得 x ? ? 1 . ………………5 分 a

在区间 (0, ? 1 ) 上, f ?(x) ? 0 ,在区间 (? 1 , ??) 上 f ?(x) ? 0 ,

a

a

所以,函数 f (x) 的单调递增区间为 (0, ? 1 ) ,单调递减区间为 (? 1 , ??) .

a

a

………………7 分


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