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高中数学一轮复习专题学案——函数的单调性与奇偶性


第 8 课时

函数的单调性与奇偶性

一.知识梳理 1.函数的单调性:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任意两个值

x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时 都 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) , 那 么 就 称 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 I 上 是 单 调
( )函数,区间 I 称为 y ? f ( x) 的 ( )区间.

2.函数的奇偶性:函数 f ( x) ,如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫 做 函数;如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫做 函数. 3.函数 f ( x) 具有奇偶性,则其定义域一定关于原点对称,且其图象也有对称性,具体地说:奇函数的图象 关于 对称,而偶函数图象关于 对称,反之也成立. 二.基础练习 1.已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x ,则 f (?2) ? ____, f (0) ? ______. 2.已知 f ( x) 为 R 上的减函数, m ? f (a 2 ), n ? f (a ? 1) ,则 m, n 大小关系为__________.

1 3.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上为增函数,且 f ( ) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的解集是_____. 3 ?1? 4.已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f ? ?? f (1) 的实数 x 的取值范围是__________. ? x?

2x ? 3 的单调增区间为______________. x ?1 6.已知 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ,则 f ( x) 解析式为________. 三.典型例题 1 例 1.求证: f ( x) ? x ? 在 [1, ??) 上是增函数. x
5.函数 y ?

例 2.判断下列各函数的奇偶性. (1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

(2) f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2

例 3.设定义在 [?2,2] 上的偶函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上单调递减, f (1 ? m) ? f (m) , 若 求实数 m 的取值范围.

例 4.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x、 恒有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , y 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,

2 又 f (1) ? ? . 3 (1)求证: f ( x) 为奇函数;(2)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (3)求 f ( x) 在 [?3,6] 上的值域.

四.课后作业 1.函数 f ( x) ? x3 ? sin x ? 1( x ? R), 若 f (a) ? 2, 则 f (?a) ? ____________. 2.已知函数 f ( x) 在 R 上是减函数, A(0, ?2), B(?3,2) 是其图象上的两点,那么不等式 ?2 ? f ( x) ? 2 的解集 为_____________. 2 3.若 f ( x) ? a ? x 是奇函数,则 a ? _________. 2 ?1 4.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (2010) ? __________. 5.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且在 (0, ??) 上单调递增,又 f (?3) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集是___________. 6.若函数 f ( x) ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 2 是定义域为 [?2,2] 的偶函数,则该函数的值域为______.

2 7.设 f ( x) ? lg( ? a) 是奇函数,则 f ( x) ? 0 的解集是___________. 1? x x 8. 设 函 数 f ( x) 定 义 在 实 数 集 上 , 它 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 且 当 x ? 1 时 , f ( x ) ? 3 ? 1, 则
1 2 3 f ( ), f ( ),f ( 从小到大的顺序为________________. ) 3 3 2 ? (3a ? 1) x ? 4a?( x ? 1) 9.已知 f ( x) ? ? 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是___________. ?log a x??????????????( x ? 1) 1 10.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? , a ? R . x (1)讨论 f ( x) 的单调性;(2)若函数 f ( x) 在区间 [1, ??) 上为增函数,求 a 的取值范围.


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