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高考数学总复习:第5章《数列》【2】


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第二节

等差数列及其前n项和

[主干知识梳理] 一、等差数列的有关概念 1.定义:如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一项的

差 都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号 表示为 an+1-an=d (n∈N*,d 为常数).
a+b 2.等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A= , 2 其中 A 叫做 a,b 的 等差中项 .

二、等差数列的有关公式 1.通项公式:an= a1+(n-1)d . n(n-1) (a1+an)n 2.前 n 项和公式:Sn=na1+ d= . 2 2

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三、等差数列的性质 1.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,{an}为等差数列, 则am+an=ap+aq. 2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,?仍为等差数 列,公差为kd. 3.若{an}为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?仍为 等差数列,公差为n2d.

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4.等差数列的增减性:d >0 时为递增数列,且当 a1<0 时前 n 项和 Sn 有最小值.d<0 时为递减数列,且当 a1>0 时前 n 项和 Sn 有最大值. 5.等差数列{an}的首项是 a1,公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 d d Sn=An +Bn, 则 A= , B=a1- , 当 d≠0 时它表示二次函数, 2 2
2

数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn 是{an}成等差数列的充要条 件.

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[基础自测自评]

1.(2012·福建高考)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4= 7,则数列{an}的公差为
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(

)

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A.1 C.3

B.2 D.4

B [解法一:设等差数列{an}的公差为 d,
? ?2a1+4d=10, 由题意得? ? ?a1+3d=7. ? ?a1=1, 解得? 故 ? ?d=2.

d=2.

解法二:∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10, ∴a3=5.又 a4=7,∴公差 d=7-5=2.]

3π 2.(教材习题改编)在等差数列{an}中,a2+a6= , 2 则
? π ? sin?2a4- 3 ? ? ? ?= ?

( 3 A. 2 3 C.- 2 1 B. 2 1 D.- 2

)

3π D [∵a2+a6= , 2 3π ∴2a4= . 2
? ?3π π? π π? 1 ? ? ? ? ∴sin?2a4- ?=sin? - ?=-cos 3 =-2.] 3 2 3? ? ? ?

3.(2012· 辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数 列前 11 项和 S11= ( A.58 C.143 B.88 D.176 )

11(a1+a11) 11(a4+a8) B [S11= = =88.] 2 2

?

4.在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数 列的通项an=________. 解析 由an+1=an+2知{an}为等差数列其公差为2. 故an=1+(n-1)×2=2n-1.

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答案 2n-1

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5.(2013·广东高考)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10, 则3a5+a7=__________.

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? ? ?

解析 因为数列{an}为等差数列,
所以由等差数列的性质得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10. 所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20. 答案 20

[关键要点点拨] 1.与前 n 项和有关的三类问题 (1)知三求二:已知 a1、d、n、an、Sn 中的任意三个,即可求得 其余两个,这体现了方程思想. d? d 2 ? ? 2 (2)Sn= n +?a1-2? n = An +Bn?d=2A. ? 2 ? ?

(3)利用二次函数的图象确定 Sn 的最值时,最高点的纵坐标不 一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最小值.

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2.设元与解题的技巧

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已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设 元,若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a -2d,a-d,a,a+d,a+2d,?; 若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,

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a-3d,a-d,a+d,a+3d,?,其余各项再依据等差
数列的定义进行对称设元.

等差数列的判断与证明
[典题导入]

在数列{an}中, a1=-3, an=2an-1+2n+3(n≥2, 且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; an+3 (2)设 bn= n (n∈N*),证明:{bn}是等差数列. 2

[听课记录]

(1)∵a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*),

∴a2=2a1+22+3=1,a3=2a2+23+3=13. (2)证明:对于任意 n∈N*, an+1+3 an+3 1 1 ∵bn+1-bn= n+1 - n = n+1[(an+1-2an)-3]= n+1[(2n+1+3) 2 2 2 2 -3]=1, a1+3 -3+3 ∴数列{bn}是首项为 = =0,公差为 1 的等差数列. 2 2

[规律方法] 1.证明{an}为等差数列的方法:

(1)用定义证明:an-an-1=d(d 为常数,n≥2)?{an}为等差数列;

(2)用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列;

(3)通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列;

n(a1+an) (4)前 n 项和法:Sn=An +Bn 或 Sn= . 2
2

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2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子 an+1 -a n = d 和 a n - a n - 1 = d ,但它们的意义不同,后者必须加上 “n≥2”,否则n=1时,a0无定义.

[跟踪训练] 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2, a2=2,S3=6. (1)求 Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列. 解析 (1)设 Sn=An2+Bn+C(A≠0),

? -2=A+B+C, ? 则? 0=4A+2B+C, ? 6=9A+3B+C, ? 解得 A=2,B=-4,C=0.故 Sn=2n2-4n.

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(2)证明:∵当n=1时,a1=S1=-2.

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当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)] =4n-6.
∴an=4n-6(n∈N*).an+1-an=4, ∴数列{an}是等差数列.

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等差数列的基本运算
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[典题导入]

(2012·湖北高考)已知等差数列{an} 前三项的和为 -3,前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.

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[听课记录]

(1)设等差数列{an}的公差为 d,

则 a2=a1+d,a3=a1+2d,
? ?3a1+3d=-3, 由题意得? ? ?a1(a1+d)(a1+2d)=8. ? ? ?a1=2, ?a1=-4, 解得? 或? ? ?d=-3, ? ?d=3.

所以由等差数列的通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5,或 an=-4+3(n-1)=3n-7. 故 an=-3n+5,或 an=3n-7.

(2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比 数列,不满足条件; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,
? ?-3n+7,n=1,2, 满足条件.故|an|=|3n-7|=? ? ?3n-7,n≥3.

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4; 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时,

Sn=S2+|a3|+|a4|+?+|an|=5+(3× 3-7)+(3× 4-7)+?+(3n-7) (n-2)[2+(3n-7)] =5+ 2 3 2 11 = n - n+10, 2 2 当 n=2 时,满足此式. ? ?4,n=1, 综上,Sn=?3 2 11 n - n+10,n>1. ? 2 2 ?

[互动探究] 若本例条件变为“a1≥6,a11>0,S14≤77,且公差 d1 首项 a1 均为 整数” ,求等差数列{an}的通项公式. ?S14≤77, ?2a1+13d≤11, ? ? 解析 由?a11>0, 得?a1+10d>0, ?a >6, ?a ≥6, ? 1 ? 1 ?2a1+13d≤11,① ? 即?-2a1-20d<0,② ?-2a ≤-12.③ ? 1

11 由①+②得-7d<11,即 d>- . 7 1 由①+③得 13d≤-1,即 d≤- . 13 11 1 ∴- <d≤- . 7 13 又 d∈Z,故 d=-1. 代入①②得 10<a1≤12. 又 a1∈Z,∴a1=11 或 a1=12. ∴an=12-n 或 an=13-n.

[规律方法] 1.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 及前 n 项和公式 Sn= n(a1+an) n(n-1) =na1+ d,共涉及五个量 a1,an,d,n, 2 2 Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想. 2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用, 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知 是常用方法.

[跟踪训练] 2.(1)在等差数列中,已知 a6=10,S5=5,则 S8=________. S4 S3 (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 - =1,则公差为 12 9 ________.

解析

(1)∵a6=10,S5=5,

? ?a1+5d=10, ∴? ? ?5a1+10d=5. ? ?a1=-5, 解方程组得? ? ?d=3.

则 S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44.

4×3 3×2 (2)依题意得 S4=4a1+ d=4a1+6d,S3=3a1+ d=3a1+ 2 2 3d, 4a1+6d 3a1+3d 于是有 - =1, 12 9 由此解得 d=6,即公差为 6.

答案 (1)44 (2)6

等差数列的性质
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[典题导入]

(1)等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+ a9=27,则前9项和S9等于
?

(

)

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A.66

B.99

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C.144

D.297

[听课记录] 由等差数列的性质及 a1+a4+a7=39, 可得 3a4=39,所以 a4=13. 同理,由 a3+a6+a9=27,可得 a6=9. 9(a1+a9) 9(a4+a6) 所以 S9= = =99. 2 2

答案 B

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(2)(2014 · 哈尔滨六校联考 ) 已知各项为正数的等差数列 {an}的前20项和为100,那么a7a14的最大值为
?

(

)

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A.25

B.50

?

C.100

D.不存在

[听课记录] 因为{an}为各项为正数的等差数列,且前 20 项和为 100, 20(a1+a20) 所以 =100,即 a1+a20=10, 2 所以 a7+a14=10. 又因为
?a +a ? 7 14?2 a7· a14≤? =25, ? ? 2 ? ?

当且仅当 a7=a14 时“=”成立. 答案 A

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[规律方法]

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1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应 用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列 问题.
2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号 之间的关系.

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[跟踪训练]

3.(1)(2012·江西高考)设数列{an},{bn}都是等差数列, 若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________. (2)(2014·湖南郴州一模)已知数列{an}的前n项和

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Sn=n2-9n,若它的第k项满足5<ak<8,则k=
?

(

)

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A .6 C .8

B.7 D.9

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解析 (1)设两等差数列组成的和数列为{cn}, 由题意知新数列仍为等差数列且c1=7,c3=21, 则c5=2c3-c1=2×21-7=35. (2)因为Sn=n2-9n,则Sn-1=(n-1)2-9(n-1)(n≥2), 所以an=Sn-Sn-1=2n-10, 当n=1时,a1=S1=-8满足上式. 所以an=2n-10(n∈N*). 由已知5<ak<8,即5<2k-10<8. 解得7.5<k<9.又k∈N*,所以k=8.故选C.

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【创新探究】 点

求等差数列前n项和最值问题中常见的易误

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在 等差数列 { a n } 中,已知 a 1 = 20 ,前 n 项 和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出 它的最大值.

【错解一】 设公差为 d,∵S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d. 2 2 5 5 得 d=- ,an=20-(n-1)·. 3 3 5 当 an>0 时,20-(n-1)·>0, 3 ∴n<13.∴n=12 时,Sn 最大,
? 12×11 ? ? 5? S12=12×20+ ×?-3?=130. 2 ? ?

当 n=12 时,Sn 有最大值 S12=130.

【错解二】 由 a1=20,S10=S15, 5 解得公差 d=- , 3
? 5? ? ? ? - 20 +( n - 1 ) ? 3?>0, ? ? ? 令? ? 5? ?20+n?- ?≤0, ? 3? ? ? ?

① ②

由①得 n<13,由②得 n≥12, ∴n=12 时,Sn 有最大值 S12=130.

?

【错因】 错解一中仅解不等式an>0不能保证Sn最大,也 可能an+1>0,应有an≥0且an+1≤0. 错解二中仅解an+1≤0也不能保证 Sn最大,也可能an≤0, 应保证an≥0才行.

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【解析】 解法一:∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 5 ∴10×20+ d=15×20+ d.∴d=- . 2 2 3
? 5? 5 65 ? ? ∴an=20+(n-1)×?-3?=- n+ . 3 3 ? ?

∴a13=0. 即当 n≤12 时,an>0,n≥14 时,an<0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值,
? 12×11 ? ? 5? 且最大值为 S12=S13=12×20+ ×?-3?=130. 2 ? ?

解法二:同解法一, 5 求得 d=- , 3
? n(n-1) ? 5 2 125 ? 5? ∴Sn=20n+ ·?-3?=- n + n 2 6 6 ? ?

25? 5? ? ?2 3 125 =- ?n- 2 ? + . 6? 24 ? ∵n∈N*,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值, 且最大值为 S12=S13=130.

5 解法三:同解法一,求得 d=- , 3 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0, ∴5a13=0,即 a13=0. 又 a1>0, ∴a1,a2,?,a12 均为正数. 而 a14 及以后各项均为负数, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值, 且最大值为 S12=S13=130.

【高手支招】 解决等差数列前 n 项和最值问题时一般利用通项 不等式组法,即
? ?an≥0, 时,Sn 最大?? ? ?an+1≤0.

①当 a1>0,d<0

②当 a1<0,d>0

? ?an≤0, 时,Sn 最小?? ? ?an+1≥0.

? ?

[体验高考]

1.(2013·新课标全国Ⅰ高考)设等差数列{an}的前n项和 为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=
?

(

)

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A .3

B.4

?

C.5

D.6

C [由 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, 得 am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 所以等差数列的公差为 d=am+1-am=3-2=1, ? ?am=a1+(m-1)d=2 由? , 1 Sm=a1m+ m(m-1)d=0 ? 2 ? ? ? ?a1+m-1=2 ?a1=-2 得? ,解得? ,选择 C.] 1 ? m = 5 a m+ m(m-1)=0 ? ? 2 ? 1

2.(2013· 新课标全国Ⅱ高考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为__________. ? ?S =10a +10×9d=0 1 2 ? 10 解析 由已知? , 15×14 ? S15=15a1+ d=25 ? 2 ? 2 解得 a1=-3,d= , 3

2 3 2 n ( n - 1 ) n 10 n 那么 nSn=n2a1+ d= - . 2 3 3

x3 10x2 20 由于函数 f(x)= - 在 x= 处取得极小值, 3 3 3 因而检验 n=6 时,6S6=-48,而 n=7 时,7S7=-49.
答案 -49

3.(理)(2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4= 4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 且 Tn+ n =λ(λ 为常数). 令 2 cn=b2n(n∈N*).求数列{cn}的前 n 项和 Rn.

解析 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得
? ?4a1+6d=8a1+4d, ? ? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1.

解得 a1=1,d=2. 因此 an=2n-1,n∈N*.

(2)由题意知 Tn=λ-

, 2n-1 n

n

n-1 n-2 所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2
?1?n-1 2n-2 ? * 故 cn=b2n= 2n-1 =(n-1)? , n ∈ N , ?4? 2 ? ?

10 11 12 13 1 n- 1 所以 Rn=0×( ) +1×( ) +2×( ) +3×( ) +?+(n-1)×( ) , 4 4 4 4 4 1 11 12 13 1 n- 1 则 Rn=0×( ) +1×( ) +2×( ) +?+(n-2)×( ) +(n-1)× 4 4 4 4 4 1n ( ), 4 两式相减得

1 1 n -( ) 4 3 11 12 13 1 n- 1 1n 4 R =( ) +( ) +( ) +?+( ) -(n-1)×( ) = -(n 4 n 4 4 4 4 4 1 1- 4 1n -1)×( ) 4 1 1+3n 1 n = - ( ), 3 3 4 3n+1 1 整理得 Rn= (4- n-1 ). 9 4 3n+1 1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= (4- n-1 ). 9 4

3.(文)(2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n,n∈N*,求{bn}的前 a1 a2 an 2 n 项和 Tn.

解析 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得
? ?4a1+6d=8a1+4d, ? ? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1.

解得 a1=1,d=2. 因此 an=2n-1,n∈N*.

b1 b2 bn 1 (2)由已知 + +?+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 bn 1 1 1 当 n≥2 时, =1- n-(1- n-1)= n. an 2 2 2 bn 1 所以 = n,n∈N*. an 2 由(1)知 an=2n-1,n∈N*, 2n-1 所以 bn= n ,n∈N*. 2

2n-1 1 3 5 又 Tn= + 2+ 3+?+ n , 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +?+ n + n+1 , 2 n 22 23 2 2 2n-1 1 1 2 2 2 两式相减得 Tn= +( 2+ 3+?+ n)- n+1 2 2 2 2 2 2 2n-1 3 1 = - n-1- n+1 , 2 2 2 2n+3 所以 Tn=3- n . 2

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