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高中数学一轮复习专题学案——导数在研究函数中的应用


第 18 课时

导数在研究函数中的应用

一.知识梳理 1.函数的单调性:对于函数 y ? f ( x) ,如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的 函数;如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的 函数. 2.可导函数的极值:⑴极值的概念:设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近所有的点 都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或者 f ( x) ? f ( x0 ) ),则称 f ( x0 ) 为函数的一个极 ( )值,称 x0 为 极 ( )值点;⑵“ f ?( x0 ) ? 0 ”是“ x0 为函数 f ( x) 的极值点”的 条件. 3.函数在闭区间上的最值:连续函数在闭区间 [a, b] 上的最值只能在极值点与端点处取得. 二.基础训练 1.函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 2 在区间 (?1, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 . 2.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 在闭区间 [?3,0] 上的值域为 3.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

. .

4.设 f ( x) 、 ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x ? 0 时,f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 当 g 且 g (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为 . 三.典型例题 1.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 1 .⑴若 f ( x) 在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围;⑵是 否存在实数 a ,使 f ( x) 在 (?1,1) 上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明 理由;⑶是否存在实数 a ,使 f ( x) 在 (?1,1) 上不单调?若存在,求出 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.

2.设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 2 ? a | ln x ? 1| .⑴当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; ⑵当 x?[1, ??) 时,求函数 f ( x) 的最小值.

3.已知函数 f ( x) ? a( x ? 1)2 ? ln x, a ? R . ⑴当 a ? 1 时,判断函数 f ( x) 的单调性并求出其单调区间; ⑵若函数 f ( x) 的图象与直线 y ? x 至少有一个交点,求实数 a 的取值范围; ⑶证明:对任意 n ? N * ,都有 ln(1 ? n) ? ?

i ?1 成立. 2 i ?1 i
n

四.课后作业 1.已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? m ( m 为常数)在 [?2,2] 上有最大值 3, 那么此函数在 [?2,2] 上的最小 值为 . f1 ( ) 2.已知 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x) , f ?(0) ? 0 , 对于任意实数 x , f ( x ≥ , 有 ) 0 则 f ?() 0 的最小值为 . 3.函数 y ? x ? 2sin x 在闭区间 [0,2? ] 上的极大值是
2

. . . .

4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积为最大,则高为 5.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 在 [1, ??) 上单调递增,则 a 的取值范围是 6. P 为曲线 y ? e 的任意一点,则点 P 到直线 y ? x 的最小距离为
x

1 1 7.若函数 y ? x3 ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1在区间 (1, 4) 内为减函数, 在区间 (6, ??) 上为增函数, 则 3 2 实数 a 取值范围是 . 4 3 8. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x 2 ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R . 10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性;⑵若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范 3 围;⑶若对于任意的 a ?[?2,2] ,不等式 f ? x ? ≤1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.
⑴当 a ? ?

9. 已知 f ?x ? ? ax ? ln ?? x ?, x ? (?e,0), g ( x) ? ? ⑴讨论 a ? ?1 时, f ( x) 的单调性、极值; ⑵求证:在(1)的条件下, | f ( x) |? g ( x) ?

ln(? x) ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

1 ; 2

⑶是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由.


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