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最新 【人教B版】选修2-1数学 公开课课件:3.1《两个向量的数量积》ppt课件_图文


两个向量的数量积 教学过程 一、几个概念 1) 两个向量的夹角的定义 a b O A a B ? ? ? ? ? (3)如果? a, b? ? , 则称a与b互相垂直, 2 ? ? ? ? ? ? 并记作: a?b ;如果? a, b? ? 0,则a与b 同向, ? ? ? ? 如果? a, b? ? ? ,则a与b反向 b ? ?? ? 注意:()范围: 1 ? ? 0 ? ?a, b?? ?? ? (2)? a, b? ? ?b, a? 夹 角 的 顶 点 为 两 个 向 量 的 起 点 2). 异面直线 (1)异面直线的定义 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线. ________________________ (2)两条异面直线所成的角 平移到一个平面内 把异面直线 ________________________ ,这时两条直线的夹 锐角或直角 角(________________) 叫做两条异面直线所成的角. 如果所成 的角是直角 ________,则称两条异面直线互相垂直. 3)两个向量的数量积 设OA ? a, 则有向线段OA 的长度叫做向量 a的长度或模, 记作: a 已知空间两个向量 a, b,则 a b cos? a, b?叫做向量a, b的数量积, 记作: a ? b,即 a ? b ? a b cos? a, b? 注意: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ? ? ? ? a ?b (3)公式变形: 向量夹角公式: cos? a, b? ? ? ? a b ? ? ? ? ? ②零向量与任意向量的数量积等于零。 数量积 ? a 的方向上的投影 | b | cos ? 的乘积。 与b在 | a | a ? b 等于 a 的长度 ? 二、.空间向量的数量积性质 ? ? 对于非零向量 a , b ,有: ? ? ? ? ? 1) a ? e ? a cos? a, e? ? ? ? ? 2) a ? b ? a ? b ? 0 ? 2 ? ? ?2 ? 3) a ? a ? a ? a ? a ? ? ? ? ? 4) | a ? b |≤ |a ? ?| ? | b | ? ? a ?b 5) cos? a, b? ? ? ? a b ?2 a 注意:①性质2)是证明两向量垂直的依据; ②性质3)是求向量的长度(模)的依据; (3)性质5是求两个向量夹角的依据; 三.空间向量的数量积满足的运算 律 1) (? a) ? b ? ? (a ? b) 2) a ? b ? b ? a (交换律) 3) a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) 注意: 数量积不满足结合律 结论: ? ? 2 ? 2 ?2 ? ? ()( 1 a ? b) ? a ? b ? 2a ? b ? ?? ? ? ? ?2 ?2 (2) (a ? b ( ) a ? b) ? a ?b ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? (3) (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 课堂练习 1.判断真假: ? ? ? ? ? ? 1 ) 若a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0 ? ? ? ? ? ? 2) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ? ?2 ? 2 ? ? ? 2 3) p ? q ? ( p ? q) ? ? ? ? 4) a ? b ? a ? b ( ) ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 5) p ? q ? p ? q ? p 2 ? q 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ? ? 2 ? ? 2. 已知 a ? 2 2 , b ? ,a?b ? ? 2 , 2 ? ? ? 则 a 与b 的夹角大小为_____. 135 3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量 ,且相互不共线, 则: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①( a · b ) c ? ( c · a ) b =0 ②| a |-| b |<| a ? b | ? ? ? ? ? ? ? ③( b · c ) a ? ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a ? 2 b )=9| a | - 4 b 中,真命题是( D) 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 数量积的应用(一)求线线角 BC ? 3 , 例 1.如图, 在空间四边形 ABCD 中,AB ? 2 , BD ? 2 3 , CD ? 3 , ?ABD ? 30? , ?ABC ? 60? , 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值 王新敞 奎屯 新疆 ??? ? ??? ? ??? ? 解:∵ CD ? BD ? BC , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ AB ? CD ? AB ? BD ? AB ? BC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?| AB | ? | BD | ? cos ? AB, BD ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | AB | ? | BC | ? cos ? AB, BC ? ? 2 ? 2 3 ? cos150? ? 2 ? 3 ? cos120? ? ?6 ? 3 ? ?3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? CD ?3 1, ∴ cos ? AB, CD ?? ??? ? ??? ? ? ?? 2 | AB | ? | CD | 2 ? 3 1 ∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 . 2 变式 设???

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