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湖北省武汉二中2012-2013学年高一下学期期中考试数学文科试题


武汉二中 2012—2013 学年下学期 高一年级期中考试

数学文科试题
考试时间:2013 年 4 月 25 日 上午:9:00~11:00 试卷满分:150 分 一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 设 a, b∈R, 若 a-|b|>0, 则下面不等式中正确的是( ) 3 3 A. b-a>0 B. a +b <0 C. b+a<0 D. a2-b2>0 2. tan2012°∈( )

3 3 3 3 ) B. ( ,1) C. (-1, - ) D. (- , 0) 3 3 3 3 3. 在等差数列{an}中, 若 a3+a5+a7+a9+a11=100, 则 3a9-a13 的值为( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
A. (0, 4. 若 a=2, b=3 3 , A=30°, 则此△ABC 解的情况是( ) D. 无解

A. 一解 B. 两解 C. 至少一解 5. 互不相等的正数 a, b, c, d 成等比数列, 则( ) A.

bc >

a?d 2

B.

bc <

a?d 2

C. )

bc ?

a?d 2

D. 无法判断

6. 函数 y=1-cos(2x- A.[kπ -

?
3

)的递增区间是( ], (k∈z)

?
3

6 2? ? C. [kπ + , kπ + ], (k∈z) 3 6

, kπ +

?

5? ], (k∈z) 12 12 5? 11? D. [kπ + , kπ + ], (k∈z) 12 6
B. [kπ - , kπ +

?

7. 已知数列{an}是首项为 1 的等比数列, Sn 是{an}的前 n 项和, 且 9s3=s6, 则数列{ 项和为( A. ) B.

1 }的前 5 an

85 32

31 16

C.

15 8

D.

85 2

8. 已知非零向量 a, b, c 满足 a+b+c=0, 向量 a 与 b 夹角为 120°, 且|b|=2|a|, 则向量 a 与 c 的 夹角为( A. 60° ) B. 150° C. 120° ) D. 90°

9. 设 a·b·c>0, 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(

A

B

C

D

1 ? ,0 ?2a n     ? a n ? 2 4 ? 10. 已知数列{an}中, a1= , an+1= ? , 则 a2012=( ) 1 5 ?2a ? 1   ? a ? 1 , n ? n 2 ? 4 8 1 2 A. B. C. D. 5 5 5 5
二、填空题(每小题 5 分,共 35 分)

?x ? 2 ? 11. 平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0 的点(x, y)形成的区域 D 的面积为 ?x ? y ? 6 ? 0 ?
12. 设 a, b, c 是向量, 在下列命题中, 正确的是 . ①a·b=b·c, 则 a=c; ②(a·b)·c=a·(b·c); ③|a·b|=|a|·|b| ④|a+b|2=(a+b)2; ⑤若 a∥b, b∥c, 则 a∥c; ⑥若 a⊥b, b⊥c, 则 a⊥c. 13. 已知 y=asinx+b(a<0)的最大值是 3, 最小值是-1, 则 a= , b=

.

.

14. △ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 C=2 3 b, sin2A-sin2B= 3 sinBsinC, 则 A= . 15. 已知数列{an}中, a1=1, 且 nan+1=(n+2)an, (n∈N*), 则 a2= 16. 已知两正数 x, y 满足 x+y=1, 则 z=(x+

, an=

.

1 1 )(y+ )的最小 y x

值为 . 17. 将正整数按下表的规律排列, 把行与列交叉处的一个数称 为某行某列的数, 记作 aij(i, j∈N*), 如第二行第 4 列的数 是 15, 记作 a24=15, 则有序数列(a82, a28)是 . 三、解答题:本大题共 5 小题, 共 65 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)解下列不等式: (1) 3x2+5x-2≤0 (3) x3-3x+2>0 (2)

1 2 9 10 …

4 3 8 11 …

5 6 7 12 …

16 15 14 13 …

… … … …

3x ? 2 ≥1 x?3

19. 12 分) ( 已知△ABC 的角 A、 C 所对的边分别是 a, b, c, 设向量 m=(a, b), n=(sinB, sinA), B、 p=(b-2, a-2). (1) 若 m∥n, 判断△ABC 的形状, 并说明理由; (2) 若 m⊥p, 边长 c=2, ∠C=

?
3

, 求△ABC 的面积.

20. (13 分) 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 其容积为 4800m3, 深为 3m, 如果池底 每平方米的造价为 150 元, 池壁每平方米的造价为 120 元, 怎样设计水池能使总造价最 低? 最低总造价是多少?

21.(14 分)若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和, 则 S1, S2, S4 成等比数列. (1) 求数列 S1, S2, S4 的公比; (2) 若 S2=4, 求{an}的通项公式; (3) 在(2)条件下, 若 bn=an-14, 求{|bn|}的前 n 项和 Tn.

1 11 ? S ? 22. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点 ? n, n ? 在直线 y= x+ 上. 数列{bn}满足 2 2 ? n ?
bn+2-2bn+1+ bn =0(n ? N ), 且 b3=11, 前 9 项和为 153. (1) 求数列{an}, {bn}的通项公式;


(2) 设 cn =

3 k , 数列{cn}的前 n 项和为 Tn, 求 Tn 及使不等式 Tn< (2an-11)( 2bn-1) 2012

对一切 n 都成立的最小正整数 k 的值;

? ? ?an (n ? 2l-1, l ? N ), * (3) 设 f (n) ? ? 问是否存在 m ? N , 使得 f(m+15)=5f(m)成立? 若 ?bn (n ? 2l , n ? N ? ), ?

存在, 求出 m 的值; 若不存在, 请说明理由.

武汉二中 2012-2013 学年下学期 高一年级期中考试

数学(文科)试卷参考答案
一、选择题 1 题号 D 答案 二、填空题 11. 1 12. ④ 13. -2 1 14. 30° 15. 16. 3 2 B 3 C 4 D 5 B 6 C 7 B 8 D 9 D 10 D

n(n ? 1) 2 25 4

17. (51, 63) 三、解答题 18. (1)∵(3x-1)(x+2)≤0 ∴-2≤x≤

1 3

1? ? ∴不等式的解集为 ? x | ?2 ? x ? ? …………………………………………………4 分 3? ?
(2) ∵

3x ? 2 ? x ? 3 2x ? 1 ≥0 ? ≥0 x ?3 x?3

?(2 x ? 1)( x ? 3) ? 0 ?? ?x ? 3

? x>3 或 x≤-

1 2
……………………………………………4

1? ? ∴不等式的解集为 ? ? ?,- ? ∪(3, +∞) 2? ?
分 (3)解: x3-3x+2=x3-x-2x+2 =x(x2-1)-2(x-1) =(x-1)(x2+x-2) =(x-1)(x+2)(x-1) =(x-1)2(x+2)

∴x3-3x+2>0 ? x>-2, x≠1 ∴不等式的解集为{x|x>-2 且 x≠1}……………………………………………………4 分 19. (1) 解: ∵m∥n, ∴asinA=bsinB 即 a=

a b ?a?b ?b? 2R 2R

∴△ABC 为等腰三角形………………………………6 分

(2) 解: 由 m·p=0, 即 a(b-2)+b(a-2)=0 ∴a+b=ab……………………………………………………………………………8 分 由余弦定理可知 4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab

? ab=4…………………………………………………………………4 分
∴S= 分 20. 设底面的长为 xm, 宽为 ym, 水池总造价为 y 元, 由题意, 有 y=150×

1 ab sinC= 3 ……………………………………………………12 2

4800 +120(2×3x+2×3y) 3

=240000+720(x+y)……………………………………………………………7 分 由 v=4800m3, 可得 xy=1600. ∴y≥240000+720×2 xy =2976000 当 x=y=40 时, 等号成立………………………………………………………………4 分 答: 将水池设计成长为 40m 的正方形时, 总造价最低, 最低总造价是 297600 元.……2 分 21. 解: (1)由 S 2 =S1S4 ? (2a1+d)2=a1(4a1+6d) 2 知

S 2 2a1 ? d = =4 S1 a1

∴数列 S1, S2, S4 的分比为 4.………………………………………………………… 4 分 (2) 由 S2=4=2a1+d=4a1 ? a1=1, d=2, ∴an=2n-1……………………………………5 分

(3) 令 bn=2n-15>0 得 n>

15 2

∴Tn= ?

?14n ? n 2 , ?
2

n?8

?n -14n ? 98,    n ? 8 ?
S n 1 11 = n+ , 2 n 2

…………………………………………………5 分

22. 解: (1) 由题意, 得 即 Sn=

1 2 11 n + n. 2 2 1 2 11 1 11 n + n)-[ (n-1)2+ (n-1)]=n+5. 2 2 2 2

故当 n≥2 时, an =Sn-Sn-1=(

n=1 时, a1 = S1 =6, 而当 n=1 时, n+5=6, 所以 an =n+5(n ? N ),


又 bn+2-2bn+1+ bn =0, 即 bn+2-bn+1= bn+1-bn (n ? N ),


9(b3 ? b7 ) 153. 2 23-11 而 b3=11, 故 b7=23, d= =3, 7-3
所以{bn}为等差数列, 于是= 因此, bn= b3+3(n-3)=3n+2, 即 bn =3n+2(n ? N ). ………………………………………


4分 (2) cn=

3 (2an-11)( 2bn-1)
3 [2(n ? 5)-11][( 2(3n ? 2)-1]
1 1? 1 1 ? - = ? ?. ( 2n-1)( 2n ? 1) 2 ? 2n-1 2n ?1 ?

=

=

所以, Tn = c1 + c2 +……+ cn=

1 2

?

(1-

1 1 1 1 1 )+( - )+( - )+…… 3 3 5 5 7

1 ? ? 1 - +? ? ? 2n-1 2n ?1 ?

? = 1 ?1- ?
2?

1 ? n . ?= 2n ?1 ? 2n ? 1

易知 Tn 单调递增, 由 Tn< 分 (3) f (n) ? ?

1 k 得 k>2012Tn, 而 Tn→ , 故 k≥1006, ∴kmin =1006.……4 2 2012

?n ? 5, (n ? 2l-1, l ? N ? ), ? ? ? ?3n ? 2, (n ? 2l , l ? N ).

①当 m 为奇数时, m+15 为偶数.

此时 f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47, 5f(m)=5(m+5)=5m+25, 所以 3m+47=5m+25, m=11. ②当 m 为偶数时, m+15 为奇数. 此时 f(m+15)=m+15+5=m+20, 5f(m)=5(3m+2)=15m+10. 所以 m+20=15m+10 m=

5 ?N*(舍去) 7

综上, 存在唯一正整数 m=11, 使得 f(m+15) =5f(m)成立………………………………………………………………………6 分


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