伤城文章网 > 其它课程 > 中学高三数学 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件_图文

中学高三数学 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件_图文


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α± β)=
sin αcos β± cos αsin β




sin αsin β cos(α?β)= cos αcos β±
tan α± tan β tan(α± β)= 1?tan αtan β

.

公式的常用变形——公式的逆用

(1)sin αcos β±cos αsin β= sin(α±β)
(2)cos αcos β±sin αsin β= cos(α ?β)

(3)tan α±tan β=tan(α ±β)(1?tan αtan β);

[练一练]
1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为 2 A.- 2 3 C. 2 2 B. 2 D.1 ( )

答案:B

A

A

(4)(2013·长春二模)在△ABC 中,若 tan A ·tan B =tan A +tan B +1,则 cos C 的值是( A.- 2 2 B. 2 2

B)
C. 1 2 1 D.- 2

1 π x- 4.已知函数 f (x )=2sin 3 6 ,x ∈R. 5π (1)求 f 4 的值;
? π? ? π? 10 6 (2)设 α,β∈?0,2 ?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 5 ? ? ? ? 13
?1 ?5π? ?5π π? π? π ? ? ? ? ? ? 解:(1)∵f(x)=2sin 3x-6 ,∴f 4 =2sin 12-6 =2sin = 2. 4 ? ? ? ? ? ?

注意公式的顺用和逆用、 ? ? π? π? 10 6 0, ?,f ?3α+ ?= ,f(3β+2π)= , (2)∵α,β∈?变形应用。 2? 2 ? 13 5 ? ?
? π? 6 10 5 3 ? ? ∴2sin α= ,2sin β+2 = .即sin α= ,cos β= . 13 13 5 ? ? 5

12 4 ∴cos α= ,sin β= .∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 13 5 12 3 5 4 16 = × - × = . 13 5 13 5 65

创新题
对于集合{a1 , a2 ,? , an }和常数a0 , 定义: sin 2 (a1 ? a0 ) ? sin 2 (a2 ? a0 ) ? ? ? sin 2 (an ? a0 ) ?? n 为集合{a1 , a2 ,? , an }相对啊a0的“正弦方差”,则 集合{ , , }相对a0的“正弦方差”为() A 2 6 6
1 A. 2
B. 1 3

? 5? 7?

1 C. 4

D.与a0有关的一个值 .

二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α= 2sin αcos α ;

2 2 2 2 cos α - sin α 2cos α - 1 1 - 2sin α cos 2α= = = 2tan α 1-tan2α tan 2α= .



公式的常用变形 (1)1+sin 2α=(sin α +cos α)2,

1-sin 2α =(sin α -cos α )2,

(2)降幂:
1+cos 2α 1-cos 2α 2 cos α = ,sin α = ; 2 2
2

[练一练]
α 3 1.(2013·江西高考)若 sin = ,则 cos α= 2 3 2 A.- 3 1 B.- 3 ( )

1 2 C. D. ? 3? 3 3 α 3 ? 2 α 解析:因为 sin = ,所以 cos α=1-2sin =1-2×? ? 3 ? 2 3 2 ? ?
2

1 = . 3

答案:C

? π? 2 2? 2.(2013· 全国卷Ⅱ)已知 sin 2α= ,则 cos α+4?= 3 ? ?

(

)

1 A. 6

1 B. 3
2?

1 C. 2

2 D. 3

π? 解析:法一:cos α+4? ? ?
? π?? 1 1? 1 ? ? ? ? = 1+cos 2α+2 = (1-sin 2α)= . 2? 6 ? ?? 2 ? π? 法二: cos?α+4 ?= ? ?
2

?

? π? 1 2 2 2? cos α- sin α, 所以 cos α+4?= (cos α 2 2 ? ? 2

1 1 1 -sin α) = (1-2sin αcos α)= (1-sin 2α)= . 2 2 6 答案:A

π ,π 3.(2013·四川高考)设 sin 2α =-sin α ,α ∈ 2 ,则 tan 2α 的值是________. 1 解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=- ,又 2
?π ? α∈ ?2,π? ,∴sin ? ?

3 α= ,tan α=- 3 ,∴tan 2α= 2

-2 3 2tan α 2 = 2= 3. 1-tan α 1-?- 3?

答案: 3

三、角的变换问题
3 (2014·常州一模)已知α ,β均为锐角,且 sin α = , 5 1 tan(α -β)=- . 3 (1)求 sin(α -β)的值;(2)求 cos β的值. [典例]

在本例条件下,求sin(α-2β)的值.
10 3 10 解:∵sin(α-β)=- ,cos(α-β)= , 10 10 9 10 13 10 cos β= ,sin β= . 50 50 ∴ sin(α- 2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α- β)cos β- 24 cos(α-β)sin β=- . 25

归纳:角的变换技巧
2α=(α+β)+(α-β);

α+β α-β α=(α+β)-β;β= - ; 2 2
? α-β ? β? ?α =?α+2?-?2+β?. 2 ? ? ? ?

? ? π? 1 π? 2 1.设 tan α+β = ,tan?β-4 ?= ,则 tan?α+4 ?= 5 ? ? 4 ? ?
? ? ? ? ? ?

[针对训练]

(

)

13 A. 18

13 B. 22

3 1 C. D. 22 6 ? ? π? π? 解析: tan?α+4 ?=tan(α+β)-?β-4 ?
? ? ? ? ? π? tan?α+β?-tan?β- 4? 3 ? ? = = . ? π? 22 1+tan?α+β?tan?β- 4? ? ?

答案:C

π π 5 3 2.若0<α< ,- <β<0,且sin β=- ,cos(α-β)= ,sin α 2 2 13 5 =________.
π π 3 解析:∵0<α< ,- <β<0,∴0<α-β<π,∵cos(α-β)= , 2 2 5 4 5 π ∴sin(α-β)= ,∵sin β=- ,且- <β<0, 5 13 2 12 ∴cos β= ,∴sin α=sin[(α-β)+β]= 13 sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β= 4 12 3 ? 5 ? 33 × + ×?-13?= . 5 13 5 ? ? 65

33 答案: 65

3 3.(2014·青岛高三期末)已知 sin(? ? x)= ,则 sin 2x 的值为 5 4 ( 7 C .- 25 ? ? π? π ? ? ? 解析: sin 2x=sin?2 x+4?-2 ? ? ? ? ? ? 24 A.- 25 24 B. 25 7 D. 25 )

? ? ? ? π? ? π? ? 7 2 =-cos?2?x+4 ??=-?1-2sin ?x+4??=- . 25 ? ? ?? ? ? ??

答案:C

四、辅助角公式

asin x?bcos x ?
1、化简

a 2 ?b 2

sin(x ??),其中tan? ? b . a
1 3 (2) sin x ? cos x 2 2

1 3 ( 1) cos x ? sin x 2 2
2 2 (5) cos x ? sin x 2 2

(3) 3sin 2x ? cos 2x (4) 2 cos x ? 6 sin x
(6) 2(sin x ? cos x)

(7)3 sin x ? 4 cos x

典例分析


搜索更多“中学高三数学 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件_图文”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com