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高中数学必修4三角函数复习题组


必修四 三角函数复习题组

[A 组 基础训练]

一、选择题

1.函数 y ? sin(2x ??)(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则? 的值是( )

A. 0 B. ? C. ? D.?

4

2

2.将函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 3

再将所得的图象向左平移 ? 个单位,得到的图象对应的僻析式是( ) 3

A. y ? sin 1 x 2

B. y ? sin(1 x ? ? ) 22

C. y ? sin(1 x ? ? ) 26

D. y ? sin(2x ? ? ) 6

3.若点 P(sin? ? cos?, tan?) 在第一象限,则在[0, 2? ) 内? 的取值范围是( )

A. (? , 3? ) (? , 5? )

24

4

C. (? , 3? ) (5? , 3? ) 24 4 2

B. (? , ? ) (? , 5? )

42

4

D. (? , 3? ) (3? ,? ) 24 4

4.若 ? ? ? ? ? , 则( )

4

2

A. sin? ? cos? ? tan? B. cos? ? tan? ? sin?

C. sin? ? tan? ? cos? D. tan? ? sin? ? cos?

5.函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的最小正周期是( ) 56

A. 2? 5

B. 5? 2

C. 2?

D. 5?

6.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin(2x ? 2? ) 、 y ? cos(2x ? 2? ) 中,

3

3

最小正周期为? 的函数的个数为( )

A.1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题

1.关于 x 的函数 f (x) ? cos(x ??) 有以下命题: ①对任意? , f (x) 都是非奇非偶函数;

②不存在? ,使 f (x) 既是奇函数,又是偶函数;③存在? ,使 f (x) 是偶函数;④对任

意? , f (x) 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是

,因为当? ?

时,

该命题的结论不成立.
2.函数 y ? 2 ? cosx 的最大值为________. 2 ? cosx
3.若函数 f (x) ? 2 tan(kx ? ? ) 的最小正周期T 满足1? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______. 3

4.满足 sin x ? 3 的 x 的集合为_________________________________。 2
5.若 f (x) ? 2sin?x(0 ? ? ? 1) 在区间[0, ? ]上的最大值是 2 ,则? =________。 3
三、解答题

1.画出函数 y ? 1? sin x, x ? ?0,2? ?的图象。

2.比较大小(1) sin110 0 , sin150 0 ;(2) tan 220 0 , tan 200 0

3.(1)求函数 y ?

log

2

1 sin

x

?1

的定义域。

(2)设 f (x) ? sin(cos x), (0 ? x ? ? ) ,求 f (x) 的最大值与最小值。

4.若 y ? cos2 x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。

[B 组 综合训练]

一、选择题
1.方程 sin ? x ? 1 x 的解的个数是( ) 4
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cosx 成立的 x 取值范围为( )

A.

? (

,

?

)

?

(?

,

5?

)

42

4

B. (? ,? ) 4

C. (? , 5? ) 44

D. (? ,? ) ? (5? , 3? )

4

42

3.已知函数 f (x) ? sin(2x ??) 的图象关于直线 x ? ? 对称, 8
则? 可能是( )

A. ? B. ? ? C. ? D. 3?

2

4

4

4

4.已知 ?ABC 是锐角三角形, P ? sin A ? sin B,Q ? cos A ? cos B,

则( )

A. P ? Q B. P ? Q C. P ? Q D. P 与 Q 的大小不能确定

5.如果函数 f (x) ? sin(? x ?? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是T ,
且当 x ? 2 时取得最大值,那么( ) A.T ? 2,? ? ? B.T ?1,? ? ? 2 C.T ? 2,? ? ? D.T ? 1,? ? ? 2
6. y ? sin x ? sin x 的值域是( )

A.[?1,0] B.[0,1] C.[?1,1] D.[?2,0]

二、填空题
1.已知 cos x ? 2a ? 3 , x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围___________。 4?a

2.函数

y

?

f

(cosx) 的定义域为 ???2k?

? ? ,2k? 6

?

2? 3

???(k ? Z ) ,

则函数 y ? f (x) 的定义域为__________________________.

3.函数 y ? ? cos(x ? ? ) 的单调递增区间是___________________________. 23

4.设?

? 0 ,若函数

f

(x)

?

2sin? x 在[? ?

? ,

] 上单调递增,则?

的取值范围是________。

34

5.函数 y ? lg sin(cosx) 的定义域为______________________________。

三、解答题
1.(1)求函数 y ? 2 ? log 1 x ? tan x 的定义域。
2

(2)设 g(x) ? cos(sin x), (0 ? x ? ? ) ,求 g(x) 的最大值与最小值。
tan? tan 2?
2.比较大小(1) 2 3 ,2 3 ;(2) sin1, cos1 。 3.判断函数 f (x) ? 1 ? sin x ? cosx 的奇偶性。
1 ? sin x ? cosx

4.设关于 x 的函数 y ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? (2a ?1) 的最小值为 f (a) , 试确定满足 f (a) ? 1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2

设函数

f

?x?

?

sin ?? x

??

? ??? ?

?

0, ?

? 2

??

?

? 2

? ??

,给出下列三个论断:

① f ?x? 的图象关于直线 x ? ?? 对称;② f ?x? 的周期为? ; ③ f ?x? 的图象关于点
6

? ??

? 12

,

0

? ??

对称.

以其中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的

一个命题,并对该命题加以证明.

[C 组 提高训练]
一、选择题
1.函数 f (x) ? lg(sin2 x ? cos2 x) 的定义城是( )

A.

? ?

x

?

2k?

? 3? 4

? x ? 2k?

?

? 4

,

k

?

Z

? ? ?

B. ??x ?

2k?

?

? 4

?

x

?

2k?

?

5? 4

,k

?

Z

? ?

?

C.

??x ?

k?

?? 4

?

x

?

k?

?

? 4

,k

?

Z

? ?

?

D.

??x ?

k?

?

? 4

?

x

?

k?

?

3? 4

,

k

?

Z

? ? ?

2.已知函数 f (x) ? 2sin(?x ??) 对任意 x 都有 f (? ? x) ? f (? ? x), 则 f (? ) 等于( )

6

6

6

A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0 D. ?2 或 0

3.设

f

(x) 是定义域为 R

,最小正周期为

3? 2

的函数,若

f

(x)

?

??cos ?

x,

(?

? 2

?

?? sin x, (0 ? x

x ? 0) ,
??)

则 f (?15? ) 等于( ) 4

A. 1 B. 2 C. 0 D. ? 2

2

2

4.已知 A1 , A2 ,… An 为凸多边形的内角,且 lg sin A1 ? lg sin A2 ? ..... ? lg sin An ? 0 ,
则这个多边形是( ) A.正六边形 B.梯形 C.矩形 D.含锐角菱形
5.函数 y ? cos2 x ? 3cos x ? 2 的最小值为( )

A. 2 B. 0 C.1 D. 6 6.曲线 y ? Asin?x ? a(A ? 0,? ? 0) 在区间[0, 2? ] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1
?

所得的弦长相等且不为 0 ,则下列对 A, a 的描述正确的是( )

A. a ? 1 , A ? 3 22
C. a ? 1, A ? 1

B. a ? 1 , A ? 3 22
D. a ? 1, A ? 1

二、填空题

1.已知函数 y ? 2a ? bsin x 的最大值为 3 ,最小值为1,则函数 y ? ?4a sin b x 的 2
最小正周期为_____________,值域为_________________.

2.当

x

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??

时,函数

y

?

3

?

sin

x

?

2

cos2

x

的最小值是_______,最大值是________。

? ? 3.函数 f (x) ? (1) cosx 在 ?? ,? 上的单调减区间为_________。
3 4.若函数 f (x) ? a sin 2x ? b tan x ?1,且 f (?3) ? 5, 则 f (? ? 3) ? ___________。

5.已知函数 y ? f (x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平移 ? ,这样得到的曲线和 y ? 2sin x 的图象相同, 2 则已知函数 y ? f (x) 的解析式为_______________________________.
三、解答题
1.求? 使函数 y ? 3 cos(3x ??) ? sin(3x ??) 是奇函数。

2.已知函数 y ? cos2 x ? a sin x ? a 2 ? 2a ? 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值。

3.求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0,? ?的最大值和最小值。

4.已知定义在区间[ ? ? , 2 ? ]上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,

3

6

当 x ?[ ? ? , 2 ? ]时,函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) ,

63

2

2

其图象如图所示.

y

(1)求函数 y ? f (x) 在[ ? ? , 2 ? ] 的表达式;

3

1

?

?


o? 6

x ? ??

6

?x
2? 3

(2)求方程 f (x) ? 2 的解. 2

[基础训练 A 组]

一、选择题

1.C 当? ? ? 时, y ? sin(2x ? ? ) ? cos 2x ,而 y ? cos 2x 是偶函数

2

2

2.C y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(1 x ? ? ) ? y ? sin[1 (x ? ? ) ? ? ] ? y ? sin(1 x ? ? )

3

23

2 33

26

3.B

?sin? ? cos? ??tan? ? 0

?

0

?

?? ?? 4

?

?

?

5? 4

? ???0

?

?

?

? 2

, 或?

??

?

5? 4

? ? ?(? 4

,? ) 2

(? , 5? ) 4

4.D tan? ?1,cos? ? sin? ?1, tan? ? sin? ? cos?

5.D

T

?

2? 2

? 5?

5

6.C 由 y ? sin x 的图象知,它是非周期函数

二、填空题

1.① 0 此时 f ( x)? c o sx为偶函数

2. 3 y( 2? c oxs ?) ? 2 xc o s x, ?c o2 ys ? 2? ? ? 2y ?1 2? ?1 y ?1 ,

3

y ?1

y?1 3

3. 2,或3 T ? ? , 1? ? ? 2?, ? k? ? 而, k? N? ?k 或2 , 3 kk 2

4.

?? x ?

|

x

?

2k?

?

? 3

,或2k?

?

? 3

,

k

?

Z

? ? ?

3
5.

x ?[ 0 ?, ] , ?0 x ?? , ??0 x ?? ? ?? ,

4

3

3

33

f (x)max

? 2sin ?? 3

?

?? 2 , sin

?

2 , ?? ? ? ,? ? 3

3 23 4 4

三、解答题

1.解:将函数 y ? sin x, x ??0, 2? ?的图象关于 x 轴对称,得函数 y ? ?sin x, x ??0, 2? ?

的图象,再将函数 y ? ?sin x, x ??0, 2? ?的图象向上平移一个单位即可。

2.解:(1) sin1100 ? sin 700,sin1500 ? sin 300,而sin 700 ? sin 300,?sin1100 ? sin1500

(2) tan 2200 ? tan 400, tan 2000 ? tan 200, 而tan 400 ? tan 200,?tan 2200 ? tan 2000

3.解:(1)

log2

1 sin

x

?1

?

0, log2

1 sin

x

? 1,

1 sin

x

?

2, 0

?

sin

x

?

1 2

2k? ? x? 2 k? ? ? 或, 2k? ? 5? ? x ?2 k? ?? , k ? Z

6

6

( 2k? , k2? ? ? ] k[?2? 5? k?, 2 k ?) ,Z( 为所求) 。

6

6

(2)当0 ? x ? ?时, ?1 ? cos x ? 1 ,而[?1,1] 是 f (t) ? sin t 的递增区间

当 c o sx ? ? 时1 , f (x )m i n? s i ?n ( ?1?) s;i n 1 当 c o sx ? 时1 , f (x )m a x? s i n。1 4.解:令 sin x ? t,t ?[?1,1] , y ? 1? sin2 x ? 2 p sin x ? q

y ? ?(sin x ? p)2 ? p2 ? q ?1 ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1

y ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1对称轴为 t ? p

当 p ? ?1时,[?1,1]是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t??1? ?2 p ? q ? 9

ymin

?

y

|t?1 ?

2p

?

q

?

6

,得

p

?

?

3 4

,q

?

15 2

,与

p

?

?1 矛盾;

当 p ? 1时,[?1,1]是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t?1? 2 p ? q ? 9

ymin

?

y

|t??1 ?

?2 p

?

q

?

6

,得

p

?

3 4

,q

?

15 2

,与

p

? 1矛盾;

当 ?1 ? p ? 1时, ymax ? y |t?p ? p2 ? q ?1 ? 9 ,再当 p ? 0 ,

ymin ? y |t??1? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3 ; 当 p ? 0 , ymin ? y |t?1? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3

? p ? ?( 3? 1 )q,? ?4 2 3

[综合训练 B 组]

一、选择题

1.C

在同一坐标系中分别作出函数

y1

?

sin ?

x,

y2

?

1 4

x 的图象,左边三个交点,

右边三个交点,再加上原点,共计 7 个

2.C 在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin x, y2 ? cos x, x ? (0, 2? ) 的图象,观察:

刚刚开始即 x ? (0, ? ) 时, cos x ? sin x ; 4

到了中间即

x

?

? (

,

5?

) 时, sin

x

?

cosx



44

最后阶段即 x ? (5? , 2? ) 时, cos x ? sin x 4

3.C 对称轴经过最高点或最低点,

f (? ) ? ?1,sin(2? ? ??) ? ?1? 2? ? ?? ? k? ? ?

8

8

8

2

? ? k? ? ? , k ? Z 4

4.B A ? B ? ? , A ? ? ? B ? sin A ? cos B; B ? ? ? A ? sin B ? cos A

22

2

?s i nA ? s iBn ? c oAs? cBo sP ?, Q

5.A T ? 2? ? 2, f (2) ? sin(2? ?? ) ? 1,? 可以等于 ?

?

2

6.D

y

? sin

x?

sin

x

?

?0,sin x ? 0 ??2sin x,sin x

?

? 0

?2 ?

y

?

0

二、填空题

1. (?1, 3) 2

?1 ?

cos

x

?

0, ?1 ?

2a ? 3 4?a

?

?2a ? 3

0,

?? ? ?

4?a 2a ? 3

?? 4 ? a

? ?

0 , ?1 ?
?1

a

?

3 2

2.[? 1 ,1] 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? , ? 1 ? cos x ? 1

2

6

32

3.[4k? ? 2? , 4k? ? 8? ], k ? Z 函数 y ? c o sx( ? ? 递) 减时, 2k? ? x ? ? ? 2k? ? ?

3

3

23

23

4.[ 3 , 2] 令 ? ? ? ?x ? ? , ? ? ? x ? ? , 则[? ? , ? ]是函数的关于

2

2

2 2?

2?

2? 2?

原点对称的递增区间中范围最大的,即[? ? , ? ] ? [? ? , ? ] ,

34

2? 2?



?? ?? 4

?

? ??

?

?? 3

? 2?
??

? 2?

?

3 2

?

?

?

2

5. (2k? ? ? , 2k? ? ? ), (k ? Z ) s i n ( c xo s? ) 而0?, ? 1 x c?o s ? 1?, x0 ?c o s 1 ,

2

2

2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? k, ? Z

2

2

三、解答题

1.解:(1)

??2 ? ? ??tan

log1 x
2
x?0

?

0

?

?0 ? ? ???k?

x ?

?4 x?

k?

?

? 2

得 0 ? x ? ? ,或? ? x ? 4 2
? x ?( 0 ?, ) ?[ , 4 ] 2

(2)当0 ? x ? ?时, 0 ? sin x ? 1,而[0,1] 是 f (t) ? cost 的递减区间

当 s i nx ? 时1 , f (x )m i n? c o s;1

当 s i nx ? 时0 , f (x )m a x? c o s?0 。1

2.解:(1)

tan ?

? tan 2?

tan ?
,?2 3

tan 2?
?2 3 ;

3

3

(2) ? ? 1 ? ? ,?sin1 ? cos1 42

3.解:当 x ? ? 时, f (? ) ? 1有意义;而当 x ? ? ? 时, f (? ? ) 无意义,

2

2

2

2

? f (x) 为非奇非偶函数。

4.解:令 cos x ? t,t ?[?1,1] ,则 y ? 2t2 ? 2at ? (2a ?1) ,对称轴 t ? a , 2



a 2

?

?1,即

a

?

?2 时,[?

1,

1是] 函数

y

的递增区间,

ym

i

n? 1 ?

1 2





a 2

? 1,即

a

?

2 时,[?1,1]是函数

y

的递减区间,

ymin

?

?4a

?1?

1 2

,

得 a ? 1 ,与 a ? 2 矛盾; 8

当 ?1 ?

a 2

? 1,即 ?2 ?

a

?

2 时,

ymin

?

?

a2 2

? 2a ?1 ?

1 ,a2 2

? 4a ? 3 ?

0

得 a ? ?1, 或 a ? ?3,?a ? ?1,此时 ym a x? ?4a ? 1? 5。

[提高训练 C 组]

一、选择题

1.D sin2 x ? cos2 x ? 0, ? cos 2x ? 0, cos 2x ? 0, 2k? ? ? ? 2x ? 2k? ? 3?

2

2

2.B

对称轴

x

?

?

,

f

? (

)

?

?2

66

3.B f (? 15? ) ? f (? 15? ? 3? ? 3) ? f (3? ) ? sin 3? ? 2

4

42

4

42

4.C sin A1 sin A2...sin An ? 1,而0 ? sin Ai ? 1 ? sin Ai ? 1, Ai ? 900

5.B 令 cos x ? t,t ?[?1,1] ,则 y ? t2 ? 3t ? 2 ,对称轴 t ? ? 3 , 2

[? 1 , 1是] 函数 y 的递增区间,当 t ? ?1时 ym i n? 0 ;

6.A 图象的上下部分的分界线为 y ? 2 ? (?1) ? 1 ,得a ? 1 ,且2A ? 3, A ? 3

22

2

2

二、填空题

1. 4?,

[? 4,4 ]

??2a ? b ? ??2a ? b

? ?

3 1

?

??a

? ??

b

?1 ,
?1

T

? 2? b

? 4? , ?4 ? y ? 4

2

2. 7 , 2 8

x

?

?? ?? 6

, 7? 6

? ??

,

?

1 2

? sin

x

? 1,

y

?

2

s i 2n

x?

s ixn?

1,

当s

i

nx

?

1 4

时,

ym

i

n?

7 8

;当 s

i

nx

?

1或,

?

1 2

时,

ym

a

x?

2



3.[? ? ,0],[? ,? ] 令 u ? c o sx ,必须找 u 的增区间,画出 u ? c o sx 的图象即可 22

4. ?3 显然T ? ? , f (? ? 3?) f ( ,3 )令 F( x)? f ( x)? 1? a s i n x2? t为ax奇n 函数

F(? 3 )? f (? 3 )? 1? F4 , ( ?3f) ?( 3 )? ?1f 4 , ?(?3 ) 3

5. y ? 1 sin(2x ? ? )

y

?

2 sin

x

右移? 个单位
???2 ???

y

?

2 sin( x

?

?

)

?横?坐?标缩?小到?原来?的2?倍?

2

2

2

y ? 2 s i n (x2? ? ?)总?坐? 标缩?小到?原来?的4?倍? y ? 1 s i n (x2? ? )

2

2

2

三、解答题

1.解: y ? 2[sin ? cos(3x ??) ? cos ? sin(3x ??)]

3

3

? 2sin(? ? ? ? 3x) ,为奇函数,则 3

? ? ? ? k? ,? ? k? ? ? , k ? Z 。

3

3

2.解: y ? ? sin2 x ? a sin x ? a2 ? 2a ? 6,令sin x ? t,t ?[?1,1]

y ? ?t2 ? at ? a2 ? 2a ? 6 ,对称轴为 t ? a , 2



a 2

?

?1,即 a

? ?2 时,[?1,1]是函数

y

的递减区间,ymax

?

y

|t??1 ?

?a2

?a?5

?

2

得 a2 ? a ? 3 ? 0, a ? 1? 13 , 与 a ? ?2 矛盾; 2



a 2

? 1,即 a

?

2 时,[?1,1]是函数

y

的递增区间, ymax

?

y

|t?1 ?

?a2

? 3a

?5

?

2

得 a2 ? 3a ? 3 ? 0, a ? 3 ? 21 ,而a ? 2,即a ? 3 ? 21 ;

2

2



?1 ?

a 2

? 1,即

?2

?

a

?

2 时,

ymax

?

y

|
t

?

a

2

?

?

3 4

a2

?

2a

?

6

?

2

得 3a2 ? 8a ?16 ? 0, a ? 4,或 ? 4 ,而-2 ? a ? 2,即a ? ? 4 ;

3

3

?a ? ? 4 ,或 3? 2 1

3

2

3.解:令 sin x ? cos x ? t,t ? 2 sin(x ? ? ), ? ? ? x ? ? ? 3? , ? 2 ? sin(x ? ? ) ? 1

44

44 2

4

得 t ?[?1, 2] , sin x cos x ? 1? t2 , y ? t ? 1? t2 ? ? 1 t2 ? t ? 1

2

22

2

对称轴 t ? 1,当 t ? 1时, ymax ? 1;当 t ? ?1时, ymin ? ?1。

4.解:(1) x ?[ ? ? , 2 ? ], A ? 1, T ? 2? ? ? ,T ? 2? ,? ? 1

63

4 36

且 f (x) ? sin(x ??) 过 ( 2? , 0) ,则 2? ?? ? ? ,? ? ? , f (x) ? sin(x ? ? )

3

3

3

3

当 ?? ? x ? ? ? 时, ? ? ? ?x ? ? ? 2? , f (?x ? ? ) ? sin(?x ? ? ? ? )

6

6

33

3

33

而函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,则 f (x) ? f (?x ? ? )

6

3

即 f (x) ? sin(?x ? ? ? ? ) ? ?sin x , ?? ? x ? ? ?

33

6

?

f

(x)

?

???sin(x ? ? ???? sin x,

? ), x ?[? 3 x ?[?? , ?

? 6 ? 6

, )

2? 3

]

(2)当 ? ? ? x ? 2? 时, ? ? x ? ? ? ? , f (x) ? sin(x ? ? ) ? 2

6

3

6

3

32

x ? ? ? ? ,或 3? , x ? ? ? ,或 5?

34 4

12 12

当 ?? ? x ? ? ? 时, f (x) ? ? sin x ? 2 ,sin x ? ? 2

6

2

2

x ? ? ? ,或 ? 3?

4

4

? x ? ? ? , ? 3? , ? ? ,或 5? 为所求。 4 4 12 12


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