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【K12教育学习资料】高中数学奥赛辅导系列 函数的基本性质(2)教案


教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 函数的基本性质(二) 基础知识: 函数的周期性 如果函数 y=f(x)对于定义域内任意的 x,存在一个不等于 0 的常数 T,使得 f(x+T)=f(x) 恒成立,则称函数 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期. 一般情况下,如果 T 是函数 f(x)的周期,则 kT(k∈N+)也是 f(x)的周期. 例题: 1. 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-f(x) , 求证:2m 是 f(x)的一个周期. 证明:因为 f(x+m)=-f(x) 所以,f(x+2m)=f [(x+m)+m] =-f(x+m) =f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 2. 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=f(x-m) ,求证:2m 是 f(x)的一 个周期. 证明:因为 f(x+m)=f(x-m) 令 x-m=t,则 x+m=t+2m 于是 f(t+2m)=f(t)对于 t∈R 恒成立, 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 3. 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)= 一个周期. 证明:由已知 f(x+2m)=f[(x+m)+m] 1 ? f ( x) ,求证:2m 是 f(x)的 1 ? f ( x) 1 ? f ( x ? m) 1 ? f ( x ? m) 1 ? f ( x) 1? 1 ? f ( x) ? 1 ? f ( x) 1? 1 ? f ( x) ? =f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 4. 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=- 的一个周期. 证明:由已知 f(x+2m)=f 1 ? f ( x) ,求证:4m 是 f(x) 1 ? f ( x) [(x+m)+m] 用心 爱心 专心 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 1 - 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 1 ? f ( x ? m) 1 ? f ( x ? m) 1 ? f ( x) 1? 1 ? f ( x) ?? 1 ? f ( x) 1? 1 ? f ( x) 1 ?? f ( x) ?? 于是 f(x+4m)=- 1 =f(x) f ( x ? 2m) 所以 f(x)是以 4m 为周期的周期函数. 5. 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x) , 求证:2|a-b|是 f(x)的一个周期. (a≠b) 证明:不妨设 a>b 于是 f(x+2(a-b) )=f(a+(x+a-2b) ) =f(a-(x+a-2b) ) =f(2b-x) =f(b-(x-b) ) =f(b+(x-b) ) =f(x) ∴ 2(a-b)是 f(x)的一个周期 当 a<b 时同理可得 所以,2|a-b|是 f(x)的周期 6. 已知函数 f(x)的定义域为 N,且对任意正整数 x,都有 f(x)=f(x-1)+f(x+1) 若 f(0)=2004,求 f(2004) 解:因为 f(x)=f(x-1)+f(x+1) 所以 f(x+1)=f(x)+f(x+2) 两式相加得 0=f(x-1)+f(x+2) 即:f(x+3)=-f(x) ∴ f(x+6)=f(x) f(x)是以 6 为周期的周期函数 2004=6×334 ∴ f(2004)=f(0)=2004 7. 已知对于任意 a,b∈R,有 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) ,且 f(x)≠0 ⑴求证:f(x)是偶函数; ⑵若存在正整数 m 使得 f(m)=0,求满足 f(x+T)=f(x)的一个 T 值(T≠0) ⑴证明:令 a=b=0 得,f(0)=1(f(0)=0 舍去) 又令 a=0,得 f(b)=f(-b) ,即 f(x)=f(-x) 所以,f(x)为偶函数 ⑵令 a=x+m,b=m 得 f(x+2m)+f(x)=2f(x+m)f(m)=0 用心 爱心 专心 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 2 - 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 所以 f(x+2m)=-f(x) 于是 f(x+4m)=f [(x+2m)+2m] =-f(x+2m) =f(x) 即 T=4m(周期函数) 8. 数列{an}中,a1=a,a2=b,且 an+2=an+1-an(n∈N+) ①求 a100; ②求 S100. 解:由已知 a1=a,a2=b, 所以 a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,…… 由此可知,{an}是以 6 为周期的周期数列, 于是 a100=a6×16+4=a4=-a 又注意到 a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 S100=a1+a2+a3+……+a96+a97+a98+a99+a100 =0+a97+a98+a99+a100 =a1+a2+a3+a4 =a+b+(b-a)+(-a) =2b-a 9. 对每一个实数对 x,y,函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,若 f (-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整数 a. 解:令 x=y=0,得 f(0)=-1 再令 x=y=-1,得 f(-2)=2f(-1)+2,又 f(-2)=-2 所以 f(-1)=-2 又令 x=1,y=-1,可得 f(1)=1 令 x=y=1 得 f(2)=2f(1)+1+1=4 令 y=1,得 f(x+1)=f(x)+x+2 即 f(x+1)-f(x)=x+2 ① 当 x 取任意正整数时,f(x+1)-f(x)>0 又 f(1)=1>0 所以 f(x)>0 于是 f(x+1)=f(x)+x+2>x+1 即对任意大于 1 的正整数 t,f(t)>t 在①中,令 x=-3,得 f(-3)=-1,进一步可得 f(-4)=1 注意到 f(x)-f(x+1)=-(x+2) 所以当 x≤-4 时,f(x)-f(x+

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