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2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质(二)作业北师大版选修1-1


2.1.2

椭圆的简单性质(二)

[A. 基础达标 ]

1.直线 y= x+ 1 被椭圆 A. 2 3 , 5 3

x

2

4

+ = 1 所截得的线段的中点坐标是 2 4 7 B. , 3 3 D. - 13 11 ,- 2 2

y

2

(

)

2 1 C. - , 3 3 解析:选 C. 设截得线段两端点坐标为

y= x+ 1 ,
( x1,y 1) ,( x 2,y2 ) ,中点为 ( x 0,y0 ) ,由 x y + = 1, 4 2
2 2

代入消元整理得 1 = x 0+ 1 = . 3

4 x1 + x 2 2 2 2 3x + 4 x - 2= 0 , Δ = 4 + 4× 6>0, x 1+ x 2=- ,所以 x0 = =- , y0 3 2 3

2.已知直线 l 过点 (3 ,- 1) ,椭圆 C 的方程为 的个数为 ( A. 1 C. 2 )

x

2

25



y

2

36

= 1 ,则直线 l 与椭圆 C 的公共点

B. 1 或 2 D. 0 2 2 2 2 3 (- 1) x y 解析:选 C. 把点 (3 ,- 1) 代入 + = 1 得 + <1,所以点 (3 ,- 1) 在椭圆内 25 36 25 36

部,故直线 l 与椭圆有两个公共点. 3.已知直线 l : x - y+ m = 0 与椭圆 C :

x

2

2

+ y = 1 交于不同的两点 )

2

A, B,且线段 AB 的

5 2 2 中点不在圆 x + y = 内,则 m的取值范围为 ( 9 A. ( -∞,- 1] ∪ [1 ,+∞) B. [ - 3 ,- 1] ∪ [1 , C. [ - 1 , 1] D. ( - 3 ,- 1] ∪ [1 ,
2 2

3] 3) 得: 3 x + 4mx + 2m- 2 = 0,由 Δ >0 得 m ∈( -
2 2

解析: 选 D. 联立 4m x1+ x2=- , 3 2 m- 2 1 2 xx= , 3
2

x- y+m = 0, x + 2y = 2

3 , 3) ,

y 1+ y 2= x 1+ m + x2 + m =

2m 2m m ,故 AB 中点坐标为 ( - , ) ,因为 AB中点 3 3 3

5 2m 2 m2 5 2 2 2 不在圆 x + y = 内,所以 ( - ) + ( ) ≥ ,即 m ≥ 1 , 9 3 3 9 故 m ∈( - 3 ,- 1] ∪ [1 , 3) .
2 2

x y 4.直线 y=- 3x 与椭圆 C : 2 + 2= 1( a>b>0) 交于 A 、 B 两点,以线段 AB 为直径的圆 a b 恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆 C 的离心率为 ( )

1

A. C.

3 2 3- 1 2

B.

3- 1

D. 4- 2 3

解析:选 B. 设 A 在 y 轴左侧,其坐标设为
2

A( x 0,-

3 x0 ) ,则 B( - x 0,

3 x0) ,设 F1 , 3 x0 - 3x 0) =
2

1 1 2 F 为椭圆的左、 右焦点, O为坐标原点, 则 c = | AB |= ( x 0+ x 0) +(- 2 2 2| x 0| ,

2| = 2 1| = 2| x 0| ,因为 | AF 1| + | AF 2| = 所以 F2( - 2 x0 , 0) , F1(2 x 0, 0) , | AF 3| x0 | , | AF c 2| x 0| 2a,所以 a= ( 3 + 1)| x0 | ,所以 e= = = 3 - 1. a ( 3+ 1 ) | x0|

5.椭圆 A. 3 C. 10

x

2

16



y

2

4

= 1 上的点到直线

x + 2y - 2= 0 的最大距离为 (
B. 11

)

D. 2 2 2= 0 与椭圆

解析:选 C. 易判断直线 x+ 2 y - 0 平行的直线方程为
2 2

x

2

16



y

2

4

= 1 相交,令与直线
2 2

x+ 2y - 2 =

x+ 2 y + C = 0 代入

+ = 1,化简整理得 16 4

x

2

y

2

8y + 4 Cy+ C - 16= 0 ,则 Δ

= 16 C- 32( C - 16) = 0 , C=±4 2. 由图 ( 图略 ) 可知 C= 4 2. 切线 x + 2y + 4 2= 0 与直线 4 2+ 5 2 = 10.

x + 2y -

2= 0 间的距离为

6.椭圆

x

2

12



y

2

3

= 1 的一个焦点为

F1,点 P 在椭圆上.如果线段

1 的中点 M在 y 轴上, PF

那么点 M的纵坐标是 ________. 解析:设 M的纵坐标为 y 0, F1 为其左焦点, 则 F1( - 3 , 0) , 可得 P(3 , 2 y 0) , 故 = 1 ,解得 y0 =± 答案:±
2

3

2

12



( 2y 0) 3

2

3 . 4

3 4
2

x y 7.椭圆 2+ 2 = 1( a>b>0) 的离心率为 a b
则 k 的值为 ________ . 解析:由题意知,交点坐标为

2 ,若直线 2
2

y= kx 与其一个交点的横坐标为
2 2 2 2

b,

x y b kb 2 ( b, kb) ,代入 2+ 2= 1( a>b>0) 得 2 + 2 = 1 ,所以 k a b a b

b c = 1 - 2= 2, a a
所以 k=± e=± 答案:± 2 2
2 2

2

2

2 . 2

x y 6 8.已知椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0) 的离心率为 ,过椭圆上一点 M作直线 MA ,MB分别交椭 3 a b 圆于 A, B两点,且斜率分别为 k 1, k 2,若点 A, B 关于原点对称,则 k1 ? k2 = ________.

2

bx b x1 2 2 解析:设点 M ( x, y ) , A( x1 , y 1) , B( - x1 ,- y 1) ,则 y = b - 2 , y 1= b - 2 , a a 2 2 2 2 y - y 1 y + y1 y - y1 b c 1 1 2 所以 k 1? k 2= ? = 2 ,即 k1 ? k2 的值为- . 2 =- 2 = 2 - 1 = e - 1=- x - x 1 x + x1 x - x1 a a 3 3
2 2

2 2

2 2

答案:-

1 3
2 2

9.椭圆 ax + by = 1 与直线 x+ y- 1 = 0 相交于 A, B 两点, C 是 AB 的中点,若 | AB |= 2 2, OC 的斜率为 解:法一:设 ,求椭圆的方程. 2 ( x1 , y 1) 、 B( x2 , y2 ) ,代入椭圆方程并作差得, A 2

a( x1 + x2 )( x1 - x2 ) + b( y1 + y2)( y1- y2) = 0.


y1 - y2 y1 + y2 2 =- 1 , = kOC= , x1 - x2 x1 + x2 2
| = 1 + k ? | x 2- x 1| = 2| x 2- x 1| = 2 2 ,其中 x1 、 x2 b= 2 a. 再由 | AB 2b 2 b- 1 - 4? = 4, a+ b a+ b
2

代入上式可得
2

是方程 ( a+ b) x - 2 bx+ b- 1= 0 的两根,故 将 b= 1 2 2a 代入得 a= ,所以 b= , 3 3

所以所求椭圆的方程是
2 2

x

2

3



2y = 1. 3
2

2

法二:由

ax + by = 1,

x+ y = 1 , 设 A( x 1, y 1) 、 B( x 2, y 2 ) ,
则 | AB |= = 2?
2 2

得 ( a+ b) x - 2 bx+ b- 1= 0.

( k + 1 )( x 1 - x 2) ( a+ b)
2

2

4 b - 4( a+ b)( b- 1)

. ①

a+ b- ab = 1. a+ b x 1+ x 2 b 设 C( x, y) ,则 x= = , 2 a+ b a y= 1 - x = , a+ b
因为 | AB | = 2 2,所以 2

a 2 1 2 因为 OC的斜率为 ,所以 = . 代入①, 得 a= ,b= . 所以所求椭圆的方程为 2 b 2 3 3
2 3

x

2

3



y = 1.
10.已知离心率为 (1) 求椭圆的方程; 8 2 2 (2) 已知与圆 x + y = 相切的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 3 2 x y 的椭圆 C: 2 + 2 = 1( a>b>0) 过点 M ( 2 a b
2 2

2

6 , 1) .

A,B, O 为坐标原点,求



OA ? OB 的值.
解: (1) 因为 e= 又椭圆 C 过点 M ( 2 , 2 6, 1) ,



3

a -b 1 = , 2 2 a
所以 6

2

2

a

2

+ 2 = 1,

1

解得

a = 8, b = 4.
2

2

b

所以椭圆方程为

x

2

8



y

2

4

= 1.

(2) 设 A( x1 , y 1) , B( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率不存在时, 则 x 1= x2 =±

l : x =±

2 6, 3

2 6, y 1=- y2, 3

2 2 → → 所以 OA ? OB = x1- y1 = 0. 当直线 l 的斜率存在时, 设 l : y= kx + m ,

由于 l 与圆相切得: 所以 3m- 8k - 8 = 0.
2 2

|m |

= 2 k +1

2 2 3



将 l 的方程代入椭圆方程得: 2 2 2 (1 + 2k ) x + 4 kmx + 2m- 8 = 0, 4 km 2m- 8 所以 x 1+ x 2=- 2 , x1 x2= 2, 1 + 2k 1+ 2 k 3 m- 8k - 8 所以 OA ? OB = x1x 2+ y 1y 2= (1 + k ) x 1x2 + km ( x1+ x2 ) + m= 2 = 0, 1+ 2 k → → 综上, OA ? OB = 0. [B. 能力提升 ] 2 2 1.已知点 ( m , n) 在椭圆 8x + 3y = 24 上,则 2m + 4 的取值范围是 ( ) → →
2 2 2 2 2

A. [4 - 2 3 , 4+ 2 3] C. [4 - 2 2 , 4+ 2 2] 解析:选 A. 该椭圆的标准方程为

B. [4 - D. [4 -

3 , 4+ 2 , 4+

3] 2] 3, 3] ,故 m ∈[ - 3, 3] ,

x

2

+ = 1 ,故 x∈ [ - 3 8

y

2

所以 2m + 4∈ [4 - 2 3, 4 + 2 3] . 2.以 F1 ( - 1 , 0) 、 F2(1 , 0) 为焦点且与直线 大的椭圆方程是 ( ) A. C.

x- y+ 3 = 0 有公共点的椭圆中,离心率最 y y
2

x x

2

20
2



=1 19
2

y

2

B. D.
2 2

x x

2

9
2

+ =1 8
2

5



y

4

=1

3

+ =1 2

x y 解析:选 C. 设椭圆方程为 2+ 2 = 1( a>1) , a a-1 2 2 x y = 1, 2+ 2 由 a a -1 x - y + 3= 0, 2 2 2 2 4 得 (2 a - 1) x + 6 a x+ (10 a - a ) = 0, 由 Δ≥ 0,得 a≥ 5 , c 1 5 e= = ≤ ,此时 a= 5, a a 5

4

故椭圆方程为

x

2

5



y
2

2

4

= 1.
2

3.已知椭圆 C :
2

x

+ y = 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P( x 0, y 0) 满足 0< + y0<1 ,则 | PF1| + 2 2

x0

2 2

2| 的取值范围为 | PF ________.

解析:因为 0< + y0 <1,所以 P( x0 , y0 ) 在椭圆内部. 2 所以 | F1 F2 | ≤ | PF 1| + | PF 2 |<2 a,
1 | + | PF 2 |<2 即 2≤| PF

x0

2

2.

答案: [2 , 2 2) 4. 如图所示,在平面直角坐标系
2

x 中, 1 , 2 , 1 , 2 为椭圆 2 xOy A A B B a

2

y + 2= 1( a>b>0) 的四个顶点, F 为其右焦点, 直线 A1B2 与直线 B1F 相交 b 于点 T,线段 OT与椭圆的交点 M恰为线段 OT的中点,则该椭圆的离
心率为 ________. -a y x y 2ac b( a+ c ) ac + = 1, 直线 B 的方程为 + = 1. 将两个方程联立, 解得 ( , ) , 则 ( , 1F T M b c -b a- c a- c a- c 2 2 b( a+ c) x y ) .又点 M在椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0) 上, 2( a- c) a b ( a+ c ) 2 2 2 所以 2+ 2= 1,整理,得 c + 10ac- 3 a = 0,即 e + 10e- 3 = 0,解得 ( a- c) 4( a- c ) 解析:设 F( c , 0) ,则 c = a - b . 由题意, 得直线 A1B2 的方程为
2 2 2

x

c

2

2

e= 2 7 - 5 或 e=- 2 7- 5( 舍去 ) .
答案: 2 7- 5 5.已知△ ABC 的周长为 12,顶点 A, B 的坐标分别为 ( - 2, 0) , (2 , 0) , C 为动点. (1) 求动点 C 的轨迹 E 的方程; (2) 过原点作两条关于 y 轴对称的直线 ( 不与坐标轴重合 ) ,使它们分别与曲线 E 交于两 点,求四点所对应的四边形的面积的最大值. 解: (1) 由题意知 | CA | + | CB | = 12- 4 = 8>| AB | ,所以动点 C 的轨迹是椭圆的一部分. 因 2 为 a= 4 , c= 2,所以 b = 12, 所以曲线 E 的方程为

x

2

16



= 1( x≠± 4) . 12

y

2

(2) 设两直线的方程为 y= kx 与 y =- kx ( k >0) , 记 y = kx 与曲线 E 在第一象限的交点为 ( x0 , y0 ) , 2 2 48 x y 2 2, y= kx 与 + = 1 联立得 x 0= 16 12 3 + 4k 所以 S= 4kx 0=
2

192k 192 3 3 ,因为 k >0 ,所以 S = ≤ 16 3 ,当且仅当 = 4 k ,即 k = 时, 2 3 + 4k 3 2 k + 4k

k

等号成立. 所以 k= 3 时四边形面积的最大值为 2 16 3.

6. ( 选做题 ) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O ,长轴左、右端点 M ,N 在 x 轴上,椭圆 C 2 的短轴为 MN ,且 C 1, C 2 的离心率都为 e. 直线 l ⊥ MN ,l 与 C 1 交于两点,与 C2 交于两点, 这四点按纵坐标从大到小依次为 ,D . A, B, C

5

(1) 设 e= ,求 | BC | 与 | AD | 的比值; (2) 当 e 变化时,是否存在直线 l ,使得 BO ∥ AN ,并说明理由. 解: (1) 由于 C1, C 2 的离心率相同,故依题意可设

1 2

x y by x C 1: 2+ 2 = 1, C 2: 4 + 2= 1( a> b>0) . a b a a 设直线 l : x = t (| t |< a) ,分别与 C1 , C2 的方程联立,求得 a 2 b 2 2 2 A( t , a -t ) , B (t, a -t ) . b a
1 3 2| y B| b 当 e= 时, b= a,分别用 y A, y B 表示 A、B 的纵坐标,可知 | BC | ∶| AD |= = 2= 2 2 2| y A| a 3 . 4 (2) 当 t = 0 时的 l 不符合题意,当 率 kAN 相等,即 ∥ AN当且仅当 OB的斜率 kOB与 AN的斜 t ≠0时, BO
2

2

2

2

2

2

b 2 a 2 2 2 - a t a -t a b = , t t -a 2 2 1- e ab 解得 t =- 2 2=- 2 ? a. a -b e
因为 | t |< a, 0<e<1,所以 1- e
2

e

2

<1,解得

2 <e<1. 2

一、选择 .下列 .绿洲 .地质 解析:选 .下列 .气候 .过度 解析:选 新中国成 .这些 .华南 .西北 .西北 .东北 .这些 .主要 .是人 .主要 .是由 解析: 位于长江 .长江 .泥沙 .水土 .气候 .河流 .根据 .四月 .七月 .茶园 .缺乏 .缺少 .土壤 .表层 解析: 二、综合

2 所以当 0< e ≤ 时,不存在直线 l ,使得 BO ∥ AN ; 2 2 当 <e<1 时,存在直线 l ,使得 BO ∥ AN . 2
题 属于相 荒漠交 灾害易 对脆弱 界带 发区 的自然 漠化问 生态系 题特别 统常见 严重的 的有海 自然原 岛生态 因是 ( 系统、 干旱区 生态系 统和高 寒带生 态系统 等。 .乱垦 .破坏 洲北部 ,我国 土地主 和华北 和东北 和华北 和西南 土地的 对土地 工农业 降水减 干旱, 为热带 沙漠化 要分布 地区 地区 地区 地区 形成 进行不 所致 少,蒸 沙丘不 题,沙 场,茶 坏后, 洪水排 球气候 化减小 特征可 ( 合理的 发加剧 断向农 漠化土 园面积 给下游 泄不畅 变暖 开发和 利用, 使植被 受到破 坏所致 在 沙漠气 土地面 ( 候,降 积不断 水稀少 扩大, ,气候 河北怀 干旱, 来沙漠 荒漠化 离北京 问题特 天安门 别严重 已不足 ;乱垦 70 km 滥伐、 。我国 过度放 形成的 牧和破 沙漠化 坏植被 土地有 为人为 原因。 85% 是滥垦、 滥牧和 滥伐森 林的结 果; 10%是水资 源利用 不当和 工矿建 设破坏 林草造 成的; 5% 是沙 丘入侵 农田和 草场所 致。据 此完成 ~ 题。 滥伐 植被 的自然 生态系 统的是 .水土 .高寒 流失严 带生态 重区 系统 D 相 对脆弱 属于非 洲的荒 干旱 放牧 A 非 立以来 沙漠化 、华东 、西南 、东北 、华北 沙漠化 是人类 类发展 是由于 于气候 牧业土 地主要 600 亩 地区带 ,致使 地推进 分布在 ,每年 来的危 洪涝灾 干旱、 四月、 害是 ( 害频繁 半干旱 七月、 和具有 十一月 旱害的 要锄草 半湿润 三次, 地区, 久而久 在我国 之,茶 主要分 园“消 布在东 瘦”了 北、华 。同时 北和西 ,锄草 北地区 需要大 。第 量劳动 题,由 力,困 材料可 惑之际 知,我 ,茶场 国形成 主人想 的沙漠 到“羊 化土地 喜吃嫩 有 85%是滥垦 草,却 不吃嫩 、滥牧 茶”, 和滥伐 于是把 森林的 羊引进 结果。 茶园, 既节约 人力、 物力, 又保持 了水土 ,肥沃 了茶园 ,可谓 一举 两得。据 此完成 ~ 题。 3. C 4.A 第 中上游 的某茶 中上游 淤积河 流失日 恶化, 径流的 长江流 、七月 “消瘦 分解者 枯枝落 中有机 土壤被 5. A 题 ”的主 叶 质被微 大量冲 6.C 7.D 要原因 是 ( 植被破 、湖, 趋严重 导致全 季节变 域地理

以推知

,三次

锄草中

,水土

流失最

严重的



( .四月 .十一 月

生物分 走 第



题,长

江中上

游植被

破坏后

,导致

水土流

失加重

,河流

含沙量

增大,

因而造

成下游

淤积严

重,洪

水排泄

不畅,

致使洪

涝灾害

频繁。



题,长江

流域降

水夏季

最为集

中,在

暴雨冲

刷下,

水土流

失严重

,因此

四月、

七月、

十一月

相比,

水土流

失最严

重的

是七月。





,从材

料中可

以看出

茶园“

消瘦”

的主要

原因是

水土流

失造成

的表层

土壤被

大量冲

走。

6


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