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高中数学


2.3 直线与圆的位置关系

想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系? 在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系: (1)直线和圆有两个公共点,直线与圆相交; (2)直线和圆只有一个公共点,直线与圆相切; (3)直线和圆没有公共点,直线与圆相离.

(1)

(2)

(3)

直线与圆的位置关系

r

d

C
l

C l

C l

d ? r ? 相交

d ? r ? 相切

2、现在,如何用直线方程和圆的方程判断它们 之间的位置关系? 先看以下问题,看看你能否从问题中总结来.

构建新知
已知直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 判断它们的位置关系。

x2 ? y 2 ? 1 ,

已知圆的圆心是O(0,0),半径是r=1,圆心到直线的距离

d?

3? 0 ? 4 ? 0 ? 5 3 ?4
2 2

y

?1? r
o

p

所以,此直线与圆相切

x

构建新知

已知直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 判断它们的位置关系。

x2 ? y 2 ? 1 ,

?3x ? 4 y ? 5 ? 0 ① 建立方程组 ? x2 ? y2 ? 1 ② ?
3 5 由①可知 y ? ? x ? 4 4
,代入②中

3 5 x 2 ? (? x ? )2 ? 1 ,化简得 得 4 4

25x ? 30 x ? 9 ? 0
2

3 x? 5

,方程组有唯一一个解

3 ? x? ? ? 5 ? ?y ? 4 ? 5 ?

34 ) ,从而直线与圆相切 即此直线与圆只有一个公共点 ( 5, 5

回顾我们前面提出的问题:如何用直线和 圆的方程判断它们之间的位置关系?
判断直线与圆的位置关系有两种方法: 几何法:根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系 来判断.如果d< r ,直线与圆相交;如果d= r ,直线 与圆相切;如果d> r ,直线与圆相离. 代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况 来判断.如果有两组实数解时,直线与圆相交;有一 组实数解时,直线与圆相切;无实数解时,直线与圆 相离.

例1、如图,已知直线l:3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;
分析:依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系(几何法);
2 2 解法一:圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 可化为 x ? ( y ? 1) ? 5.

其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 直线 l 的距离

5,点C (0,1)到

d?

| 3? 0 ?1? 6 | 32 ? 12

5 5 ? ? ? 5?r 10 2

所以,直线 l 与圆相交.

分析 :根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断(代数法) 解法二:

?3 x ? y ? 6 ? 0 ① 建立方程组 ? 2 x ? y2 ? 2 y ? 4 ? 0 ?



由①可得 消去y, 得

y ? ?3x ? 6

代入②,

x 2 ? 3x ? 2 ? 0

? ? (?3)2 ? 4 ?1? 2 ? 1 ? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 x1 ? 1, x2 ? 2 ?? ? ? y1 ? 3 ? y 2 ? 0

所以,直线与圆有两个交点,直线 l 与圆 相交。

例2 设直线 mx ? y ? 2 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,
求实数m的值。 解法一:已知圆的圆心为O( 0, 0), 半径r =1, 则O到已知直线的距离
y

d?

m ? 0 ? (?1) ? 0 ? 2 m ? (?1)
2 2

?

2 m ?1
2

(0,2)

由已知得 d=r , 即 解得 m= ? 3

2 m2 ? 1

?1
O

x

解法二:把直线方程与圆的方程联立得

? y ? mx ? 2 ① ? 2 x ? y 2 ? 1② ?
由直线和圆相切可得:

y

把①代入②中得
2

(1 ? m 2 ) x 2 ? 4mx ? 3 ? 0
x
2

? ? 16m ? 4 ? 3 ? (1 ? m ) ? 0
2

O

m2 ? 3? m ? ? 3

例3、设有圆C : ( x ? 2)2 +(y-4)2 =9与直线l : ax ? y ? 4 ? a ? 0
(1)证明:无论a为何实数,直线l与圆C恒相交 (2)试求直线l被圆C截得弦长的最大值
解:(1)如图设圆心到l的距离为d ?圆心C (2, 4), 半径r ? 3 d? 2a ? 4 ? 4 ? a a ?1
2

?

a a2 ? 1

又? a2 ? 1 ? a2 ? a ? 0 a a ?1
2

y
D

B
d
C(2,4)

?? 1 ? 3 ? r ? l与C 恒相交

(2)作直线l与圆C相交与A、B两点,CD ? AB, 垂足为D,连结BC,令弦长为 AB , 则 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 9 ? 当a=0时, max ? 6 AB a
2

A

a2 ? 1

? 2 8?

1 a2 ? 1

0

x

另解:(1)因为l:y=a(x-1)+4 过定点N(1,4) N与圆心C(2,4)相距为1 显然N在圆C内部,故直线l与圆C恒相交 A (2)在y=ax+4-a中, a为斜率,当a=0时, l过圆心,弦AB的最大值为直径的长,等于6
N C(2,4)

y

B

0

x

练习:

( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 36 1、判断直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0与圆
的位置关系。

16 2、以C(1,3)为圆心, 为半径的圆与直线 3x ? my ? 7 ? 0 5
相切,求实数m的值

归纳小节
几何方法

直线和圆的位置关系的判断方法

代数方法
把直线方程代入圆的方程

确定圆的圆心坐标和半径r

计算圆心到直线的距离d

得到一元 二次方程

判断 d与圆半径r的大小关系

求 出 △ 的 值

?d ? r, 直线与圆相离 ? ?d ? r, 直线与圆相切 ?d ? r, 直线与圆相交 ?

? ? ? 0,直线与圆相交 ? ? ? ? 0, 直线与圆相切 ? ? ? 0, 直线与圆相离 ?


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