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2018高考复习数学第一轮 第41讲 数列极限(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)


数列极限(2018 年 5 月) 一、 知识要点 1、 定义:一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 {an } 的项 an 无限趋近于 某个 ..... 常数 a (即 | an ? a | 无限地接近于 0 ) ,那么就说数列 {an } 以 a 为极限,记作 lim an ? a . n ?? 2、 极限的四则运算:如果 lim a n ? A, lim bn ? B, 那么 n ?? n ?? lim(an ? bn ) ? A ? B ; n ?? lim(an ? bn ) ? A ? B ; n ?? lim an A ? ( B ? 0) . n ?? b B n 数列的加法、乘法的极限运算只能推广到有限个数列的情况. 3、 无穷递缩等比数列各项和 S ? lim Sn ? n ?? a1 , (0 ?| q |? 1) . 1? q 4、 三个基本数列的极限: 1 n ? 0 (2) lim C ? C ( C 是常数) (3) lim q ? 0( q ? 1) n?? n ?? (1) n?? n lim 二、 例题精讲 例 1、求下列极限: (1) lim ? n ?? 2 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 n ?1 n ?1 n ? 1 ? n ?1 ; ? ? 2n ? ?; n ?1 ? 2 (2) lim n?? ? ? (3) lim ? ? 1 1 1 ? ? ? n ?? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 ? ? 1 ?; n ? n ? 2? ? ? (4) lim ?1 ? ? n ?? ? 1 ?? 1? 1? 2 ? 2 ?? 2 ?? 3 ? 1 ? ? ?1 ? 2 ? ; ? n ? (5) lim 2n ? 3n ?1 . n ?? 3n ? 2 ? 100 ? 2n ?10 3 1 ; (4) ; (5) ?3 . 4 2 答案: (1)2; (2)0; (3) 例 2、首项为 1,公比为 q 的等比数列前 n 项和为 Sn ,求 lim Sn . n ?? S n ?1 答案: lim Sn n ?? S n ?1 ?1 | q |? 1, ?q , ? ? ? ?1, q ? 1或 | q |? 1, ?不存在,q ? ?1 ? ? ? 例 3、已知数列 ?an ? 是由正数构成的数列, a1 ? 3 ,且满足 lg an ? lg an?1 ? lg c ,其中 n 是大于 1 的整数, c 是正数. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2) 求 lim 2n ?1 ? an 的值. n ?? 2 n ? a n ?1 c ? 1, ?3n, ? 答案: (1) an ? 3 ? cn?1 ; S n ? ? 3 1 ? c n ; , c ? 0且c ? 1 ? ? 1? c ? ? 2n ?1 ? an 2n ?1 ? an 1 1 ? ? ;当 c ? 2 时,lim n ? ? ;当 0 ? c ? 2 (2)当 c ? 2 时,lim n n ?? 2 ? a n ?? 2 ? a 4 c n ?1 n ?1 时, lim 2n ?1 ? an 1 ? . n ?? 2 n ? a 2 n ?1 例 4、 (1)已知 lim 3n 3 n ?1 n ?? ? ? a ? 1? n ? 1 ,求 a 的取值范围; 3 (2) 已知 a 和 b 均为常数, 数列 ? ? n 2 ? 2n ? 2 ? 试求数列的极限. ? an ? b ? 的极限存在, ? n ?1 ? 答案: (1) ?4 ? a ? 2 ; (2) b ? 1 . 例 5、一个动点 P ,从原点 O (0, 0) 开始,沿 x 轴正方向前进一个单位一个单位到点 2 2 4 A1 (1, 0) ,后沿 y 轴的正方向前进 个单位到点 B1 (1, ) ,再沿 x 轴的负方向前进 个 3 3 9 5 2 8 5 10 单位到点 A2 ( , ) ,又再沿 y 轴的负方向前进 个单位到达点 B2 ( , ) ,又再沿 x 9 3 27 9 27 16 61 10 轴的正方向前进 个单位到达点 A3 ( , ) , 如此无限地进行下去, 求点 P 最终能到 81 81 27 达的极限位置. 答案: P ( 9 6 , ) 13 13 例 6、设首项为 2,公比为 q ? q ? 0? 的等比数列的前 n 项和为 Sn ,又设 Tn ? 求 lim Tn . n ?? Sn ? 1 , Sn 答案:若 q ? ? 0,1? , lim Tn ? n ?? 1? q ,若 q ? ?1, ?? ? , lim Tn ? 1 . n ?? 2 例 7、已知数列 ?an ? ,满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d ? c ? 1, c ? 0? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若 c ? 1 时,求 lim an ?1 的值. n ?? a n d ? c b? ?0 ? d ? n?1 d ? ? c ?1 答案: (1) an ? ? b ? ; (2) ? . ?c ? c ?1 ? c ?1 ? ?1 b ? d ? 0 ? c ?1 ? *例 8、 数列 ?an ? 是由正数组成的数列,a1 ? c , 其中 c 为正常数,bn ? lg an , 数列 ?bn ? 成等差数列,公差为 lg c . (1) 求证 ?an ? 是等比数列; (2) ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求 lim n ?? an 的值; Sn (3) 令 cn ? an ? lg an ,是否存在 c ,使得 ?cn ? 中的每一项恒小于它后面的项,若存 在,请求出

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