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高中数学第一章基本初等函数II13三角函数的图象与性质132余弦函数正切函数的图象与性质课堂导学案新人教B版


1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 课堂导学 三点剖析 一、图象问题 余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到 ,也可以仿照正弦函数图象的作法,使 用“五点法”;正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的,即几何法.正切函数的图象不 连续 , 只在区间 (kπ ( k? ,0),k∈Z. 2 ? ? ,kπ + ) 上有图象 , 正切函数图象关于中心对称 , 对称中心是 2 2 【例 1】 用“五点法”画下列函数的简图. y=-cosx,x∈[0,2π ]. 画法一:按五个关键点列表: x Cosx -cosx 0 1 -1 ? 2 0 0 ? 3 -1 1 3? 2 0 0 2π 1 -1 描点画图(如图所示): 画法二:先用五点法画 y=cosx 的图象,再作它关于 x 轴的对称图形.图象如上图. 温馨提示 类似于正弦函数,也可以由 y=cosx 变换为 y=Acos(ω x+φ ),x∈R,并讨论其周期性,单调 性,奇偶性等. 各个击破 类题演练 1 作出函数 y=tan( x ? ? )在一个周期内的图象是( 2 3 ) 1 解析:首先函数的周期为 2π ,可排除 B,D,其次当 x= ? 答案:A 变式提升 1 在区间( ? A.1 ? 3 时,函数无意义,又可排除 C. 3? 3? , )范围内,函数 y=tanx 与函数 y=sinx 的图象交点的个数为( 2 2 B.2 C.3 D.4 ) 解法一 : 在同一坐标系中 , 首先作出 y=sinx 与 y=tanx 在 (x∈(0, ? )时,有 sinx<x<tanx(利用单位圆中的正弦线,正切线就可证明),然后利用对称性 2 3? 3? 作出 x∈(, )的两函数的图象如图,由图象可知它们有三个交点. 2 2 ? ? , ) 内的图象 , 需明确 2 2 所以应选 C. 解法二: ? ? y ? sin x, 3? 3? x∈(, ), 2 2 ? y ? tan x, sin x , cos x 即 sinx=tanx= sinx(1- 1 )=0,sinx=0 或 cosx=1. cos x 3? 3? 在 x∈(, )内 x=-π ,0,π 满足 sinx=0,x=0 满足 cosx=1,所以交点个数为 3. 2 2 所以应选 C. 答案:C 二、定义域与值域 余弦函数 y=cosx 与 y=sinx 的定义域,值域一样,从图象上看是夹在两直线 y=±1 之间, 故是有界的,利用有界性可以解决与余弦函数有关的问题;正切函数的定义域是 {x|x≠kπ + ? ,k∈Z},值域是 R,图象只有增区间,无减区间,整个定义域不具备单调性. 2 【例 2】 求下列函数的定义域: (1)y= sin x ? tan x ; (2)y= lg( 2 sin x ? 1) ? ? tan x ? 1 x ? cos( ? ) 2 8 2 解:(1) ? ?sin x ? 0, 将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内,如图所示.由图显然可 ?tan x ? 0. 得函数定义域集合为 {x|2kπ ≤x<2kπ + ? ,k∈Z}∪{x|x=2kπ +π ,k∈Z}. 2 1 ? ? ?sin x ? 2 , ?2 sin x ? 1 ? 0, ? ? (2)由 ?? tan x ? 1 ? 0, 得?tan x ? ?1, ? ?x ? x ? ? ?cos( ? ) ? 0, ? ? ? k? ? , k ? Z . 2 8 2 ? ?2 8 可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集,如图所示, ? 5? ? ?2k? ? 6 ? x ? 2k? ? 6 , ? ? ? ? 即 ?k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 2 4 ? 3 ? ? ? x ? 2k? ? 4 . ? ∴定义域为{x|2kπ + 类题演练 2 ? 3? <x<2kπ + ,k∈Z }. 4 2 ? )的定义域. 4 ? 思路分析:把 2x+ 作为一个整体,转化为求 y=tanx 的定义域的问题. 4 ? ? 解:令 z=2x+ ,根据 y=tanz 的定义域为{z|z≠kπ + ,k∈Z }, 4 2 ? ? k? ? 得 2x+ ≠kπ + ,于是 x≠ + . 2 8 4 2 求函数 y=tan(2x+ 3 所以 y=tan(2x+ ? k? ? )的定义域为{x|x≠ + ,k∈Z }. 2 8 4 变式提升 2 解答下列各题: (1)求函数 f(x)=tanx·cosx 的定义域与值域; (2)求函数 f(x)=tan|x|的定义域与值域,并作其图象. 思路分析:先化简函数,然后确定. 解:(1) 其定义域是{x|x∈R 且 x≠kπ + 由 f(x)= ? ,k∈Z}. 2 sin x ·cosx=sinx∈(-1,1), cos x ∴f(x)的值域是(-1,1). ? ? tan x, x ? k? ? , x ? 0, ? ? 2 (2)f(x)= ? k∈Z. ?? tan x, x ? k? ? ? , x ? 0, ? 2 ? 可知,函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ + ? ,k∈Z},值域为(-∞,+∞),其图象如图所示. 2 温馨提示 (1)为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形,化简,在变形,化简过程中一定要注 意等价变形,否则作出的图象不是给出函数的图象. (2)由图象可以看到 f(x)=tan|x|不是周期函数. 三、周期,单调性问题 根据诱导公式知 y=cosx 的周期 T=2π ,y=tanx 的周期为 π .求函数的单调区间和判断函 数的单调性常用的方法是:定义法和图象法.利用单调性可以比较三角函数值的大小,也可以 求函数的值域等. ? ? 3? ),g(x)=btan(kx- ),

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